Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 17
Текст из файла (страница 17)
, bm , h1 , ... , hl−m ](8.5)в подпространстве W2 .Затем составим следующую систему из m + (k − m) + (l − m) =k + l − m векторов:B3 = [ b1 , ... , bm , g1 , ... , gk−m , h1 , ... , hl−m ].(8.6)Доказав, что B3 является базисом в W3 , мы, как следствие, получим равенство (8.2а).Сначала убедимся в том, что с.в. (8.6) порождает W3 . В самомделе, всякий вектор x ∈ W3 , по определению суммы подпространств,представляется в виде x = y + z, где y ∈ W1 , а z ∈ W2 . Вектор yможно представить разложением по базису (8.4), а z — разложениемпо (8.5); сложив два этих разложения и приведя подобные члены(содержащие векторы из B0 ), получим разложение для x по с.в.
(8.6).§8Сумма и пересечение подпространств93Остается проверить линейную независимость последней с.в. Рассмотрим линейную комбинацию с нулевым значеним:λ1 b1 +...+λm bm +µ1 g1 +...+µk−m gl−m +ν1 h1 +...+νl−m hl−m = 0. (8.7)Докажем, что обращаются в нуль все ее коэффициентыλ1 , ... , λm , µ1 , ... , µk−m , ν1 , ... , νl−m ∈ P.Перенесем в формуле (8.7) в правую часть слагаемые из третьейгруппы:λ1 b1 +...+λm bm +µ1 g1 +...+µk−m gk−m = −ν1 h1 −...−νl−m hl−m .
(8.8)Обозначим буквой u вектор, являющийся общим значением левойи правой частей равенства (8.8). Этот вектор, в силу своего "левого"представления, принадлежит подпространству W1 , а, в силу "правого", — подпространству W2 . Значит, он принадлежит пересечениюW0 и его можно разложить по базису (8.4):u = α1 b1 + ... + αm bm (α1 , ..., αm ∈ P ).(8.9)Приравняем выражение (8.9) к правой части (8.8) и перенесем вполученном равенстве все члены в левую часть. Будем иметь:α1 b1 + ... + αm bm + ν1 h1 + ... + νl−m hl−m = 0.(8.10)В равенстве (8.10) фигурирует линейная комбинация с нулевымзначением для базиса B2 . Значит, должны равняться нулю все еекоэффициенты:α1 = ...
= αm = ν1 = ... = νl−m = 0.Как следствие, получаем равенство нулю вектора u, а значит илевой части (8.8):λ1 b1 + ... + λm bm + µ1 g1 + ... + µk−m gk−m = 0.(8.11)Снова имеем линейную комбинацию с нулевым значением, теперьуже — для базиса B1 . Как и выше, приходим к равенству нулю коэффициентов:λ1 = ... = λm = µ1 = ... = µk−m = 0.94Линейные пространства.
Базисы и размерностиГл. 1Все доказано. ¤Замечание 8.4. Из формулы Грассмана следует уже упоминавшееся в начале данного пункта свойство: размерность суммы двухподпространств не превышает суммы размерностей слагаемых. Этоутверждение остается справедливым и для суммы нескольких конечномерных подпространств:dim(nXi=1Wi ) 6nXdim(Wi ).(8.12)i=1В самом деле, выберем в каждом из слагаемых базис Bi , содержащий, скажем, ni векторов. Тогда с.в.B = [ B1 , B2 , ... , Bs ](8.13)является порождающей для W и, следовательно, по теореме 4.2, содержит некоторый базис в W, мощность которого, т. е. размерностьпространства W , мы обозначим n. Убеждаемся в справедливостинеравенстваsXn6ni ,i=1совпадающего с (8.12).Замечание 8.5.∗ Формула Грассмана (8.2) имеет разнообразныеаналоги в других математических науках, а также — обобщения наслучай нескольких слагаемых.Рассмотрим сначала два конечных множества A1 и A2 , содержащие d1 и d2 элементов соответственно.
Пусть их пересечениеA0 = A1 ∩ A2 и объединение A3 = A1 ∪ A2 содержат d0 и d3 элементовсоответственно. Если сложить числа d1 и d2 , то элементы пересечения будут посчитаны дважды. Удаляя это повторение, получаем:d3 = d1 + d2 − d0 . Вспоминая "плохое" обозначение (с помощью палочек; см. замечание 16.4 в пособии [A1 ]) для мощности множеств,можем записать простейший случай так называемой формулы включений и исключений:|A1 ∪ A2 | = |A1 | + |A2 | − |A1 ∩ A2 |.В самом общем виде формула с таким названием позволяет вычислить мощность произвольного конечного объединения |A1 ∪ ... ∪ An |.§9Прямые суммы и прямые дополнения95Ее вы будете изучать в курсе дискретной математики.
Познакомиться с ней можно по любому учебнику комбинаторики или, скажем, по очень занимательной "детской" книжке: Виленкин Н. Я.Комбинаторика. М.: Наука, 1969.В нашем основном задачнике по алгебре [4] эта формула фигурирует в качестве одного из начальных упражнений (см. задачу 103).После знакомства с (обобщенным) комбинаторным аналогом формулы Грассмана вам наверняка захочетсяи самое эту форPобобщитьnмулу, т. е. вычислить размерность dim( i=1 Wi ) суммы несколькихконечномерных подпространств.Есть еще и геометрические аналоги формулы включений и исключений.
Например, для двух пересекающихся плоских фигур, A1 иA2 , справедлива следующая формула для площади объединения:S(A1 ∪ A2 ) = S(A1 ) + S(A2 ) − S(A1 ∩ A2 ).Эта формула сохраняет силу для трехмерных объемов (и другихгеометрических мер) и также допускает обобщение на случай произвольного числа фигур (тел, множеств и т. п.).§ 9.
Прямые суммы и прямые дополнения9.1. Внутренняя прямая сумма линейных подпространств.Критерий прямизны. Согласно определению 8.1, суммаW =sXWi(9.1)i=1линейных подпространств Wi 6 V (i = 1, ..., s) состоит из тех итолько тех векторов x в линейном пространстве V , которые представляются в видеsXx=yi ,(9.2)i=1где yi ∈ Wi . Ниже определяется частный случай этого понятия —прямая сумма линейных подпространств.Определение 9.1. Сумма (9.1) называется внутренней прямойсуммой линейных подпространств, если для любого вектора x ∈ W96Линейные пространства. Базисы и размерностиГл.
1представление (9.2) определено однозначно, т. е. все компоненты(слагаемые) yi в правой части этой формулы определены единственным образом.Для прямой суммы используются обозначения:W =sMWi = W1 ⊕ W2 ⊕ ... ⊕ Ws .(9.3)i=1Замечание 9.1. В определении 9.1 уточняющий эпитет внутренняя перед термином прямая сумма не был мотивирован. А появилсяон в связи с тем, что сумма (9.1) содержит свои слагаемые в качестве линейных подпространств, в отличие от (определяемой в п. 9.4)внешней прямой суммы линейных пространств, которая свои слагаемые не содержит (хотя содержит их изоморфные копии).И еще хотелось бы прокомментировать рискованный термин прямизна (в отношении суммы подпространств).
В словарях русскогоязыка это слово присутствует, однако математики его старательноизбегают. Автор берет на себя определенную лингвистическую смелость, полагая, что употребление необщепринятого термина оправдывается его выразительностью.Ниже устанавливаются два критерия прямизны. Первый из нихсправедлив безусловно, а второй — в предположении конечномерности подпространства (9.1). Для формулировки этих результатов нампонадобится следующееОпределение 9.2. 1. Два линейных подпространства W1 и W2в линейном пространстве V называются независимыми, если их пересечение тривиально:W1 ∩ W2 = O.(9.4)2. Семейство {Wi }si=1 линейных подпространств Wi 6 V называется независимым в совокупности, если любое из них имеет тривиальное пересечение с суммой остальных, т.
е. если для любого номераj = 1, ..., s справедливо:cj = O,Wj ∩ Wгдеcj =WnXi=1i6=jWi(9.5)(9.6)§9Прямые суммы и прямые дополнения97есть сумма всех подпространств семейства, кроме j-го.Замечание 9.2. При s > 2 свойство семейства линейных подпространств быть независимым в совокупности сильнее, нежели свойство попарной независимости. Чтобы убедиться в этом, достаточнорассмотреть три попарно различных одномерных подпространства вдвумерном пространстве P 2 .Предложение 9.1.
Сумма (9.1) является прямой тогда и толькотогда, когда ее слагаемые независимы в совокупности.Доказательство. 1. Пусть сумма (9.1) является прямой. Докажем тривиальность любого пересечения (9.5). Для этого рассмотримcj . Для этого элемента имеем двапроизвольный элемент x ∈ Wj ∩ Wпредставления, которые можно приравнять:yj =nXyi ; yi ∈ Wi (i = 1, ..., s).(9.7)i=1i6=jВ левом представлении x все компоненты, кроме, может быть, j-й,равны нулю. В правом представлении, наоборот, именно j-я компонента обращается в нуль.
Элемент x принадлежит cумме (9.1), всилу прямизны которой, представление для него [вида (9.2)] определено однозначно. Значит, все компоненты, как в левой, так и в правой частях (9.7), должны быть нулевыми, и, следовательно, x = 0.2. Обратно, пусть подпространства Wi независимы в совокупности. Рассмотрим произвольный элемент x ∈ W и докажем для негоединственность представления вида (9.2).Если имеются два представления для x, (9.2) и аналогичное:x=sXyi0 ,(9.20 )i=1то, приравнивая эти представления, а затем перенося в левую частьравенства j-е компоненты разложений, а остальные собирая в правой, получим:nX0(9.8)yj − yj =(yi0 − yi ).i=1i6=jЛевая часть равенства (9.8) принадлежит подпространству Wj ,cj . Значит, элемент z ∈ W, являющийся общима правая — сумме W98Линейные пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
