Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Базисы и размерностиГл. 1Эти операторы вложения действуют и обозначаются несколько иначе, нежели аналогичные операторы для внутренней прямой суммы(см. п. 9.3). Определяются они формуламиβi : Vi −→ V ; βi (xi ) = (0, ..., 0, xi , 0, ..., 0); i = 1, ..., s,(9.48)где элемент xi ∈ Vi ставится на свое место (с номером i); все остальные элементы в наборе являются нулевыми векторами (в соответствующих пространствах).Линейность и инъективность отображений (9.48) совершенно очевидны, так что применение к этим отображениям термина линейныймономорфизм является обоснованным. Всякий мономорфизм является изоморфизмом на свой образ. Для любого i = 1, ..., s образоммономорфизма (9.47) является подмножествоWi = βi (Vi ) = { (0, ..., 0, xi , 0, ..., 0) : xi ∈ Vi }(9.49)в пространстве V , являющееся линейным подпространством в V, попостроению изоморфным пространству Vi .Предложение 9.5. Внешняя прямая сумма (9.47) линейныхпространств {Vi }si=1 является внутренней прямой суммойV =sMWi(9.50)i=1линейных подпространств Wi 6 V , которые заданы формулами(9.49) и изоморфны соответствующим пространствам Vi .Доказательство.
Должны быть очевидны независимость в совокупности подпространств (9.49) и тот факт, что эти подпространства порождают V . (Если не очевидно, то еще раз просмотрите доказательство предложения 9.2. Здесь рассуждение совершенно аналогично.)Значит, по предложению 9.1, пространство V является (внутренней) прямой суммой подпространств (9.49). ¤§ 10Алгоритмы построения базисов в подпространствах111§ 10. Алгоритмы построения базисовв линейных подпространствахконечномерных линейных пространств10.1. Два способа задания линейных подпространств иалгоритмы построения базисов в них.
Как только дело доходит до алгоритмов практического нахождения базисов в подпространствах некоторого к.л.п., мы возвращаемся к ситуации, когдатребуется "оцифровка" (арифметизация) данного пространства спомощью фиксации в нем некоторого исходного базиса (см. вышеп. 7.3). В данном пункте мы будем считать, что арифметизация ужепроведена, т. е. фактически будем работать в пространстве V = P n .Кроме того, надо помнить о двух основных способах задания линейных подпространств в арифметическом линейном пространстве(см.
пример 1.5, а также § 13 в [A1 ]).Здесь (с целью систематизации) мы дадим краткий пересказ трехуже изученных (в указанном параграфе первого пособия) алгоритмов, связанных с построением базисов в подпространствах, при различных способах их задания. В следующих пунктах мы (в аналогичном ключе) изложим еще три алгоритма (продолжение базисов,построение базисов в сумме и пересечении). Числовым примерамбудет посвящен отдельный параграф.Еще раз подчеркнем, что наши описания алгоритмов будут сугубосхематическими, все подробности разбирались ранее, а доведениеизлагаемых схем до "настоящих" алгоритмов — предмет не нашегокурса.А л г о р и т м 10.
1.Построение базиса в линейном подпространстве,заданном первым способом: W = L0A 6 P nРассмотрим (m×n)-матрицу A с элементами из поля P и линейноеподпространствоW = L0A = { x ∈ P n : A · x = 0 },(10.1)состоящее из всех решений однородной с.л.у.A · x = 0 .m×nn×1m×1(10.2)112Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 11. Приведем, с помощью элементарных преобразований над строками, данную матрицу A к виду Жордана — Гаусса A0 , где числоr×nстрок r = rank(A). Тем самым мы получим новое задание W , опятьже первым способом:W = L0A0 ,(10.10 )но экономное (не содержащее лишних уравнений).
Другими словами, от с.л.у. (10.2) мы переходим к равносильной с.л.у.A0 · x = 0 .r×nn×1r×1(10.20 )2. Решим с.л.у. (10.20 ) (см. [A1 , п. 13.2]) и сформируем фундаментальную матрицу F , размера n × d, где d = n − r, затем перейдемко второму способу задания данного подпространства:W = RF ,(10.3)в виде линейной оболочки векторов-столбцов матрицы F.
Эти столбцы будут составлять базис W . Полученное представление данногоподпространства вторым способом окажется, по построению, экономным (не будет лишних порождающих столбцов).3. Размерность данного подпространства определяется формулой:dim(W ) = d = n − r = n − rank(A) = rank(F ).(10.4)А л г о р и т м 10. 2.Построение базиса в линейном подпространстве,заданном вторым способом: W = RG 6 P nРассмотрим (n×k)-матрицу G с элементами из поля P и линейноеподпространство, являющееся линейной оболочкой столбцов матрицы G :W = RG = hg1 , g2 , ...
, gk i 6 P n .(10.5)1. Приведем матрицу G к ступенчатому виду (с помощью элементарных преобразований над строками, хотя можно допустить иперестановки столбцов, если позаботиться о метках для них, сохраняющих память об изначальной нумерации). Определим базисные§ 10Алгоритмы построения базисов в подпространствах113столбцы и соберем их (в исходном виде) в подматрицу B, размераn × r, где r = rank(G).2.
Данное подпространство (10.5) снова окажется заданным вторым способом:W = RB ,(10.6)но уже экономно, без лишних порождающих столбцов; столбцы Bбудут составлять базис W.3. Размерность данного подпространства определяется формулой:dim(W ) = r = rank(G) = rank(B).(10.7)А л г о р и т м 10. 3.Переход от задания линейного подпространствавторым способом (W = RG )к его заданию первым способом (W = L0A )Рассмотрим линейное подпространство W размерности r, заданное вторым способом, посредством описания (10.5).С помощью алгоритма 10.2 можно перейти к экономному заданию(10.6). Считаем далее, что это уже сделано, т.
е. W = RB , где (n×r)матрица B имеет полный ранг по столбцам:r = rank(B) = rank(G).(Данный предварительный этап не является обязательным: слегка модифицированный алгоритм работает с исходной матрицей G,без удаления лишних порождающих векторов.)1. Будем искать построчно ((n − r) × n)-матрицу A, такую, чтобыона задавала первым способом подпространство W. Каждая строкаat неизвестной матрицы A должна удовлетворять однородной с.л.у.at1×n· B = 0t ,n×r1×r(10.8)т. е. все произведения at на базисные векторы bj (j = 1, ..., r) должны быть нулевыми. Причем требуется найти ровно n − r линейно независимых строк, удовлетворяющих (10.8). Тогда полученная114Линейные пространства.
Базисы и размерностиГл. 1матрица A, размера m × n, где m = n − r, будет определять нульпространство (ядро) L0A , которое, во-первых, содержит W, а, вовторых, имеет такую же размерность: n − (n − r) = r. Тем самыммы добьемся равенства W = L0A .2. Транспонируем обе части уравнения (10.8), переходя к привычной записи с.л.у., с расположением неизвестных в столбец:Bt · a = 0 ,r×nгдеn×1r×1(10.8t )α1α a= 2···αn— "переделанная в столбец" неизвестная строка матрицы A.3. Решая с.л.у.
(10.8t ), определяем фундаментальную матрицуF , размера n × (n − r). Эта матрица будет иметь полный ранг постолбцам; искомая матрица A, которая должна иметь полный рангпо строкам, получается из F транспонированием:A = F t.(10.9)4. Необязательный, но полезный этап: проведем контроль правильности вычислений с помощью проверки выполнения матричногоравенстваA · G = O ,(n−r)×nn×k(n−r)×kгде можно было вторым множителем взять матрицу B, а можно —и исходную матрицу G.Замечание 10.1.
Последний алгоритм заметно сложнее двух предыдущих. Но он очень важен для дальнейшего и, в частности, будетиграть ключевую роль в описании алгоритма 10.6. В связи с этимвам рекомендуется вернуться к более детальному изложению данного вопроса в п. 13.4 пособия [A1 ].Запомните, что размерность линейного подпространства естьмощность (любого) базиса в этом подпространстве и, следовательно, равна количеству столбцов в матрице, экономно задающей данное подпространство вторым способом.§ 10Алгоритмы построения базисов в подпространствах115А коразмерность линейного подпространства равняется количеству линейных однородных уравнений в экономном задании этогоподпространства первым способом.Оговорим особые (крайние) случаи: W = O и W = V.Нулевое подпространство имеет пустой базис; можно (условно)считать, что вторым способом оно задается с помощью пустой матрицы (размера n×0).
[Для программистов пустые матрицы — отнюдьне экзотика, но суровая необходимость!]Первым способом подпространство O можно (причем — экономно)задать с помощью однородной с.л.у.x1 = x2 = ... = xn = 0,имеющей стандартную запись вида (10.2), с единичной матрицей Enв качестве матрицы A.Наибольшее из подпространств W = V = P n может быть задано вторым способом (причем — экономно) как линейная оболочкастолбцов единичной матрицы En .Считается (условно), что экономное задание наибольшего подпространства первым способом осуществляется с помощью пустой системы уравнений. (Можно, конечно, задать это подпространство инепустой однородной с.л.у., например, одним уравнением0 · x1 + 0 · x2 + ...
+ 0 · xn = 0,но это не будет экономным заданием.)10.2. Алгоритм продолжения базиса. Переходим к описанию новых (не разбиравшихся в первом семестре) алгоритмов. Четвертый алгоритм будет решать задачу продолжения базиса в некотором подпространстве W1 6 V до базиса в некотором другом, болеешироком подпространстве W2 (W1 6 W2 6 V ); см. по этому поводу п. 5.4 выше. Добавочные векторы, дополняющие базис в W1 добазиса в W2 , составляют базис в некотором прямом дополнении (см.п.
9.2 и, в частности, замечание 9.5) к меньшему подпространству вбольшем.А л г о р и т м 10. 4.Продолжение базиса в линейном подпространстве W1 6 Vдо базиса в более широком подпространстве W2 6 V.116Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Построение базиса в некотором прямом дополнениик подпространству W1 в подпространстве W2Рассмотрим два вложенных подпространстваW1 6 W2 6 V = P n ,(10.10)каждое из которых задано вторым способом:W1 = RB1 ; W2 = RB2 ,(10.11)причем матрицы B1 и B2 имеют полные ранги по столбцам и размеры n × r1 и n × r2 соответственно, где r1 = dim(W1 ) и r2 = dim(W2 ),т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
