Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Базисы и размерностиГл. 1значением левой и правой частей (9.8), принадлежит пересечениюcj , которое, по предположению, должно быть нулевым. СлеWj ∩ Wдовательно, yj = yj0 . Номер j в предыдущем рассуждении был произвольным, так что разложения (9.2) и (9.20 ) идентичны, что и требовалось. ¤Перейдем теперь к рассмотрению конечномерных пространств.Пока нам достаточно будет предполагать, что конечномерным является подпространство W — сумма для семейства подпространств{Wi }si=1 . Следующее предложение играет вспомогательную роль ибудет использовано при выводе второго критерия прямизны суммы.Предложение 9.2. Пусть W является конечномерным линейным подпространством в линейном пространстве V и dim(W ) = n.1. Предположим, что базис B этого подпространства разбит в объединениеB = [ B1 , B2 , ... , Bs ](9.9)попарно не пересекающихся подсистем векторов, причем мощностьсистемы Bi равняется ni , гдеsXni = n.(9.10)i=1Рассмотрим линейные подпространстваWi = hBi i 6 W ; dim(Wi ) = ni ; i = 1, ..., s.ТогдаW =sMWi .(9.11)(9.12)i=12.
Обратно, предположим, что подпространство W разбито в прямую сумму (9.12). Тогда в W существует базис вида (9.9), где системы векторов Bi попарно не пересекаются и каждая из них являетсябазисом в соответствующем Wi .Доказательство. 1. РассмотримPнекоторое разбиение (9.9) некоsторого базиса в W.
Ясно, что W = i=1 Wi . (Действительно, всякийвектор x ∈ W разлагается по базису B и это разложение можносгруппировать в сумму x = y1 + ... + ys , где каждый из векторов yiпринадлежит соответствующему Wi .)§9Прямые суммы и прямые дополнения99Убедимся в том, что W является прямой суммой.
В силу предложения 9.1, для этого достаточно доказать, что для любого номераcj тривиально. Но это так, поскольj = 1, ..., s пересечение Wj ∩ Wку Wj состоит из тех и только тех векторов x ∈ W , у которых приразложении по базису B могут быть ненулевыми лишь координаты,отвечающие базисным векторам, входящим в Bj , а в подпространстcj попадают лишь те векторы у которых все указанные коордиво Wнаты равны нулю.2. Пусть теперь имеется прямая сумма конечномерных подпространств (9.12).
В каждом из слагаемых Wi выберем (произвольный) базис Bi и затем все эти базисы объединим в с.в. (9.9). Согласно замечанию 8.4, эта с.в. является порождающей для W. Остаетсядоказать ее линейную независимость.Предположим, что существует линейная комбинация для с.в. B,значение которой равно нулю. Слагаемые в линейной комбинациисгруппируем в соответствии с разбиением (9.9), а именно: суммувсех слагаемых, отвечающих векторам из Bi , обозначим yi .
Получимравенствоy1 + y2 + ... + ys = 0; yi ∈ Wi (i = 1, ..., s).(9.13)По предположению сумма W является прямой, следовательно нулевой вектор может иметь представление вида (9.13) лишь со всеминулевыми yi .Вектор yi , по построению, является линейной комбинацией векторов базиса Bi , поэтому тот факт, что yi = 0, влечет обращение внуль всех коэффициентов этой линейной комбинации.Так обстоит дело при любом i = 1, ..., s. Значит, равны нулю вообще все коэфициенты исходной (имевшей нулевое значение) линейнойкомбинации для с.в. B. Линейная независимость B доказана.
¤Замечание 9.3. Базис в прямой сумме подпространств, которыйимеет блочную структуру (9.9), где каждая из подсистем (блоков)является базисом в сооветствующем подпространстве-слагаемом Wi ,мы будем в дальнейшем называть приспособленным к прямой сумме(9.12) [или согласованным с этой суммой].Ниже доказывается второй критерий прямизны для суммы конечномерных подпространств.Предложение 9.3. Предположим, что сумма (9.1) является конечномерным линейным подпространством в линейном пространст-100Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1ве V . Тогда прямизна этой суммы равносильна равенствуdim(W ) =sXdim(Wi ).(9.14)i=1Доказательство.
1. Пусть сумма (9.1) является прямой. По второму утверждению предложения 9.2, в W существует приспособленный к прямой сумме базис, из построения которого ясно, что егомощность равна сумме мощностей базисов в слагаемых, т. е. справедлива формула (9.14).2. Обратно, предположим, что выполнено условие (9.14).
Докажем, что сумма (9.1) является прямой. Снова выберем в каждом изслагаемых Wi некоторый базис Bi и составим с.в. (9.9), которая (см.замечание 8.4) является порождающей для W. Но, в силу (9.14), этапорождающая с.в. содержит ровно столько векторов, сколько должно быть в базисе. Значит, она является базисом в W (см. предложение 5.4). Более того, этот базис разбит в объединение [вида (9.9)]попарно непересекающихся подсистем (базисов в Wi ). По первомуутверждению предложения 9.2, сумма (9.1) является прямой. ¤9.2. Прямые дополнения к линейному подпространству.Рассмотрим снова линейное пространство V над полем P и линейноеподпространство W 6 V.Определение 9.3.
Линейное подпространство W 0 6 V называется прямым дополнением к подпространству W , еслиW ⊕ W 0 = V.(9.15)Замечание 9.4. Прокомментируем данное выше определение. Ясно, что если W 0 является прямым дополнением к W, то и W является прямым дополнением к W 0 . Таким образом, можно говорить одвух взаимно дополнительных подпространствах (в заданном пространстве). Взаимно дополнительными в пространстве V являются тривиальные подпространства V и O. В случае конечномерного пространства V существование прямого дополнения для любогоподпространства W будет доказано ниже, в предложении 9.4.Кроме тривиального случая V ⊕ O = V , всегда существует болееодного прямого дополнения к заданному подпространству.
(Этот§9Прямые суммы и прямые дополнения101факт можно усмотреть по ходу доказательства предложения 9.4; попытайтесь сделать это самостоятельно.)Представьте себе также простейшую ситуацию координатной плоскости V = R2 (или P 2 , над любым полем P ): одномерными подпространствами в V являются прямые W , проходящие через началокоординат (и только они). Прямым дополнением к W будет любаяпрямая W 0 , отличная от W .Предложение 9.4. Пусть V — линейное пространство размерности n над полем P , а W — произвольное линейное подпространство(размерности k) в пространстве V.
Тогда1) существует прямое дополнение W 0 для подпространства W,причем размерность любого прямого дополнения равна коразмерности данного пространства:dim(W 0 ) = codim(W ) = n − k;(9.16)более того,2) для любого подпространства U 6 V, независимого с W , т. е.такого, чтоW ∩ U = O,(9.17)существует прямое дополнение к W , содержащее U.Доказательство. 1. Выберем произвольный базисB = [ b1 , b2 , ...
, bk ](9.18)в подпространстве W и продолжим (в соответствии с предложением 5.5) этот базис до базисаD = [ b1 , b2 , ... , bk , c1 , c2 , ... , cn−k ](9.19)в пространстве V. ОбозначимW 0 = hCiлинейную оболочку системы дополнительных векторовC = [ c1 , c2 , ... , cn−k ].(9.20)С.в. (9.20) является базисом подпространства W 0 , которое, такимобразом, имеет размерность, равную n − k. Понятие коразмерности102Линейные пространства. Базисы и размерностиГл.
1(для случая линейных подпространств в арифметических линейныхпространствах) определялось в [A1 ] (см. замечание 11.3) как разность между размерностью всего пространства и размерностью подпространства. Так что формула (9.16) уже установлена.Базис (9.19) в пространстве V , по построению, разбит на две непересекающиеся подсистемы B и C, являющиеся базисами в W и W 0соответственно. Согласно предложению 9.2, пространство V разбивается в прямую сумму (9.15), т. е. W 0 является прямым дополнениемк W.2. Второе утверждение предложения доказывается небольшой модификацией доказательства первого утверждения.
Если уже имеется некоторое подпространство U 6 V , независимое с W и имеющее,скажем, размерность l, то сумма W + U будет прямой, и ее размерность будет равна k + l. Можно выбрать в этой сумме приспособленный базис [B, G], где G = [ g1 , ... , gl ] — произвольный базис в U, азатем, добавляя еще n − (k + l) векторов, продолжить этот базис добазиса во всем пространстве.(Разумеется, не исключается случай нулевого подпространства U ;тогда базис G будет пустым.) ¤Пример 9.1. Рассмотрим арифметическое линейное пространство V = P n и два подпространства в нем: (n − 1)-мерное подпространство W1 , определяемое однородной системой из одного линейного уравнения x1 + x2 + ...
+ xn = 0, и одномерное подпространствоW2 , порожденное вектором1 1 a=.···1Эти подпространства, очевидно, независимы: вектор λa, пропорциональный базисному вектору в W2 , принадлежит W1 тогда и только тогда, когда λ = 0. Следовательно, сумма W1 + W2 является прямой, а поскольку ее размерность равна n, то она совпадает со всемпространством V. Значит, данные подпространства взаимно дополнительны. (Можете сопоставить полученный результат с примером13.1 в [A1 ].)Пример 9.2.
Рассмотрим n2 -мерное пространство квадратныхматриц V = L(n, P ) и в нем подмножества симметрических и антисимметрических матриц:Ls (n, P ) = { A ∈ L(n, P ) : At = A };(9.21)§9Прямые суммы и прямые дополненияLa (n, P ) = { A ∈ L(n, P ) : At = −A }.103(9.22)Проделайте простейшее упражнение на законы матричной алгебры (связанные с операцией транспонирования): докажите, что (9.21)и (9.22) являются линейными подпространствами в L(n, P ).Введем дополнительное предположение: будем считать, что полеP имеет характеристику, отличную от 2 (см. [A1 , п.
47.1]). Этоозначает, что в поле P2 · 1 = 1 + 1 6= 0.(9.23)(Выражаясь не совсем строго, можно сказать, что поле P содерdefжит отличный от нуля элемент 2 == 2 · 1 = 1 + 1. Как следствие аксиомы 9 , получим тогда, что в поле P существует элемент 2−1 = 21 .Не все поля таковы. В п. 1.7 мы как раз работали с полем F2 , вкотором — наоборот: "2 = 0" или, что равносильно, "−1 = 1".)В предположении (9.23) можно доказать независимость подпространств (9.21) и (9.22). В самом деле, если матрица A принадлежит обоим этим подпространствам, то она удовлетворяет равенствуA = −A, которое можно переписать в виде A + A = O, или, с учетомвыкладкиA + A = 1 · A + 1 · A = (1 + 1) · A = 2 · A,в равносильном виде 2 · A = O.
Последнее равенство можно домножить на элемент 12 ∈ P [существующий в силу предположения (9.23)]и перейти к равносильному равенству A = O. Следовательно, рассматриваемые подпространства имеют нулевое пересечение.Условие (9.23) позволяет также доказать, что сумма линейныхподпространств (9.21) и (9.22) совпадает со всем пространством квадратных матриц. Действительно, любую матрицу A ∈ L(n, P ) можно симметризовать, сопоставив ей матрицуB=1(A + At ) ∈ Ls (n, P ),2(9.24)и антисимметризовать, сопоставив матрицуC=1(A − At ) ∈ La (n, P ).2(9.25)104Линейные пространства.
Базисы и размерностиГл. 1Симметричность (B t = B) матрицы B и антисимметричность(C t = −C) матрицы C доказываются элементарно, с помощью законов алгебры матриц. Множитель 12 в формулах (9.24) и (9.25) никак не отражается на факте симметричности (антисимметричности)соответствующих матриц. Он нужен для обеспечения равенстваA = B + C,(9.26)благодаря которому можно утверждать, чтоL(n, P ) = Ls (n, P ) ⊕ La (n, P ).(9.27)Итак, установлено, что подпространства симметрических и антисимметрических матриц являются взаимно дополнительными в пространстве всех квадратных матриц.Полезно определить базисы, приспособленные к прямой сумме(9.27).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
