Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Согласно примеру 4.1, естественный базис E в L(n, P ) составляют n2 матриц Eij (i, j = 1, ..., n). Среди них есть n диагональных(и, следовательно, симметрических) матрицEii ; i = 1, ..., n.(9.28)Если i 6= j, то матрица Eij не является ни симметрической, ни антисимметрической. Предположим, что i < j и подвергнем каждуюиз Cn2 матриц такого вида симметризации (9.24) и антисимметризации (9.25). Получим Cn2 симметрических матриц1(Eij + Eji ); 1 6 i < j 6 n2и столько же антисимметрических матрицFij =Gij =1(Eij − Eji ); 1 6 i < j 6 n.2(9.29)(9.30)Автор надеется, что для читателей будет несложным упражнением доказать, что матрицы видов (9.28) и (9.29) составляют базис Es(из n + Cn2 = n(n+1)элементов) в подпространстве Ls (n, P ), а мат2рицы вида (9.30) составляют базис Ea (из Cn2 = n(n−1)элементов)2в подпространстве La (n, P ).
Так что подпространства-слагаемые в(9.27) имеют размерности:dim(Ls (n, P )) =n(n + 1)n(n − 1); dim(La (n, P )) =.22(9.31)§9Прямые суммы и прямые дополнения105Объединение базисов Es и Ea будет приспособленным базисом впрямой сумме (9.27).Замечание 9.5. В дальнейшем нам понадобится, как принято говорить, относительная версия определения 9.3.
Рассматриваетсялинейное подпространство W1 в линейном подпространстве W в линейном пространстве V и определяется прямое дополнение к подпространству W1 в подпространстве W (как такое подпространствоW2 6 W, что W1 ⊕ W2 = W ).Ничего принципиально нового в понятии относительного прямого дополнения нет, ибо подпространство W в линейном пространстве V само является линейным пространством. Однако, именно втакой версии нам придется многократно использовать понятие прямого дополнения в самой сложной (и важной), третьей главе настоящего пособия.9.3. Полные прямые суммы.
Операторы вложения и проектирования. В данном пункте будет описана конструкция, обобщающая (на случай произвольного количества слагаемых) разбиение(9.15) линейного пространства в сумму двух взаимно дополнительных подпространств.Определение 9.4. Сумма семейства {Wi }si=1 линейных подпространств Wi 6 V называется полной, если она совпадает со всемпространством V :sXV =Wi .(9.32)i=1Особенно важны полные прямые суммы:V =sMWi .(9.33)i=1Частным случаем суммы (9.33) является разбиение данного пространства V в прямую сумму двух взаимно дополнительных подпространств:V = W1 ⊕ W2 .(9.34)Со всякой полной прямой суммой вида (9.33) [и, в частности, ссуммой (9.34)] связаны семейства линейных отображений (операторов, гомоморфизмов) вложения и проектирования.
(См. определения и словарь морфизмов в п. 1.6.)106Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Вообще, для любого линейного подпространства W 6 V определен линейный операторαW,V : W −→ V ; αW,V (x) = x; x ∈ W,(9.35)сопоставляющий вектору x из подпространства W тот же самый вектор x, но рассматриваемый как элемент пространства V. Этот оператор является, очевидно, мономорфизмом.Беря в качестве W каждое из слагаемых Wi в полной прямойсумме (9.33), мы получим семейство операторов вложенияαi = αWi ,V : Wi −→ V ; αi (yi ) = yi ; yi ∈ Wi (i = 1, ..., s).(9.36)Имеются также встречные отображения — операторы проектированияπi : V −→ Wi ; πi (x) = yi ; x ∈ V (i = 1, ..., s),(9.37)сопоставляющие произвольному вектору x из прямой суммы i-ю компоненту yi в егоPs[однозначно определенном; см.
формулу (9.2)] разложении x = i=1 yi . (Докажите линейность и эпиморфность операторов πi .)Каждый оператор πi является левым обратным для соответствующего оператора αi , т. е.πi ◦ αi = εWi ; i = 1, ..., s.(9.38)Другими словами, вектор из подпространства-слагаемого можновложить в прямую сумму, а затем — спроектировать на то же самоеподпространство; при этом мы вернемся к исходному вектору.(Если хотите вспомнить терминологию, связанную с левыми, правыми и двусторонними обратными к линейным отображениям, топросмотрите еще раз § 15 в пособии [A1 ].)Правым обратным для αi оператор πi не является (если, конечно,число слагаемых s > 1).
Композицияρi = αi ◦ πi : V −→ V ; ρi (x) = yi ; x ∈ V(9.39)является линейным эндоморфизмом пространства V , сопоставляющим произвольному вектору x его i-ю компоненту, но рассматриваемую [в отличие от формулы (9.37)] как элемент пространства V.§9Прямые суммы и прямые дополнения107Эндоморфизмам ρi присваивается имя проекторы. В отличие отоператоров проектирования πi , проекторы не являются эпиморфизмами.Отметим еще некоторые свойства операторов αi , πi и ρi .Если i 6= j, то композицияπi ◦ αj = o,(9.40)т.
е. если вектор из Wj вложить в V , а затем спроектировать на Wi(i 6= j), то получится нулевой результат.Вспоминая (см. [A1 , п. 15.1]) понятие суммы линейных отображений (она определяется поточечно; подробнее см. ниже, в п. 12.1),мы можем легко понять, что сумма всех проекторов (9.39) являетсятождественным эндоморфизмом пространства V :sXρi = εV .(9.41)i=1В самом деле, сложив все проекции (компоненты) вектора x, мыснова получим этот вектор.Далее, каждый из проекторов совпадает со своим квадратом:ρ2i = ρi ; i = 1, ..., s.(9.42)В самом деле, на подпространстве Wi проектор ρi действует тождественно.
Применив этот проектор к любому вектору x ∈ V дважды, мы при первом применении попадаем в подпространство Wi и,следовательно, второе применение уже ничего не меняет.Композиция двух проекторов с разными номерами равна нулевому эндоморфизму:ρi ◦ ρj = o; i, j = 1, ..., s; i 6= j.(9.43)Это доказывается примерно так же, как свойство (9.40).Пример 9.3. В случае разбиения V = W1 ⊕ W2 линейного пространства V в сумму двух взаимно дополнительных подпространств,имеются два оператора вложения и два проектора.
Скажем, в условиях примера 9.2, проекторы ρ1 , ρ2 : L(n, P ) → L(n, P ) являются нечем иным, как операторами симметризации и антисимметризации:ρ1 (A) =11(A + At ); ρ2 (A) = (A − At ); A ∈ L(n, P ).22108Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Проведите самостоятельно в этом примере непосредственную проверку соотношений:ρ1 + ρ2 = ε; ρ1 ◦ ρ2 = ρ2 ◦ ρ1 = o; ρ21 = ρ1 ; ρ22 = ρ2 .9.4. Внешняя прямая сумма линейных пространств. В данном пункте мы работаем не с подпространствами в каком-то фиксированном линейном пространстве, а с семейством {Vi }si=1 линейныхпространств (над одним и тем же полем P ).Из ознакомительного курса "Введение в математику" вам должнобыть известно понятие декартова произведения для (двух и нескольких) множеств.
Декартово произведение состоит из упорядоченныхнаборов элементов, взятых по одному из каждого из перемножаемыхмножеств. (Такие наборы принято записывать по типу векторовстрок, но — с использованием запятых как разделителей.)Определение 9.5. Декартово произведениеV =sYVi = V1 × V2 × ... × Vs =i=1= { x = (x1 , x2 , ... , xs ) : xi ∈ Vi (i = 1, ..., s) }(9.44)линейных пространств, входящих в заданное семейство, наделенноепокомпонентными алгебраическими действиями сложения и умножения на скаляр:(x1 , x2 , ... , xs ) + (y1 , y2 , ... , ys ) = (x1 + y1 , x2 + y2 , ... , xs + ys ); (9.45)λ(x1 , x2 , ...
, xs ) = (λx1 , λx2 , ... , λxs ),(9.46)где xi , yi ∈ Vi (i = 1, ..., s); λ ∈ P, называется внешней прямой суммой данных линейных пространств и обозначаетсяV =sMVi = V1 ⊕ V2 ⊕ ... ⊕ Vs .(9.47)i=1Совершенно стандартной является проверка выполнения в V аксиом (V1 ) — (V8 ), после осуществления которой мы получаем право§9Прямые суммы и прямые дополнения109говорить о множестве (9.47) как о линейном пространстве (над темже полем P ).Сразу заметим, что пространства-слагаемые Vi не содержатся всвоей прямой сумме (9.47), в связи с чем эта последняя и называетсявнешней.Замечание 9.6 (для служебного пользования). В данной теме происходит своеобразное наслоение мультипликатвной и аддитивнойтерминологии (и соответствующих обозначений).Мультипликативная терминология происходит от использованиядекартова произведения (линейных пространств, рассматриваемыхкак множества).
И обозначения при этом [в формуле (9.44)] используются мультипликативные.Однако, как данные множества Vi , так и их произведение V несутаддитивную структуру (наделены алгебраическим действием сложения). В связи с этим к ним применяется аддитивная терминология:V называется не "прямым произведением", а прямой суммой, чтозакрепляется и в обозначениях [см. формулу (9.47)].Интересная коллизия (непоследовательность в обозначениях) возникает при рассмотрении прямой суммы нескольких одинаковыхслагаемых. СуммаV ⊕ V ⊕ V ⊕ ...
⊕ V|{z}s разобозначается мультипликативно, как степень V s , и, соответственно,называется прямой степенью линейного пространства V.С этим явлением мы знакомы с первых страниц данного курса,поскольку с самого начала работаем с арифметическими линейнымипространствами типа Rn , которые, как теперь очевидно, являются,по сути, прямыми степенями пространства (поля) R. Точнее было быговорить об их изоморфизме с прямыми степенями; отличие здесь —сугубо "косметическое", оно выражается в стиле записи (в столбикили в строчку).Далее будет установлена связь введенного в данном пункте понятия внешней прямой суммы линейных пространств с рассматривавшимся в п. 9.2 понятием внутренней прямой суммы линейныхподпространств в некотором линейном пространстве.Как уже отмечалось, пространства Vi не содержатся в пространстве V. Имеются однако естественные линейные мономорфизмы, изоморфно вкладывающие слагаемые в их (внешнюю) прямую сумму.110Линейные пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
