Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 22
Текст из файла (страница 22)
На том, как "разъяснить" этот вопрос, мы остановимся чутьниже, а пока подумаем, что дает алгоритм 10.4 без дополнительного предположения о наличии включения W1 6 W2 . Ответ: в такойситуации алгоритм 10.4 сводится к алгоритму 10.5 и выдает базис впрямом дополнении к W1 в сумме W3 = W1 + W2 . (Наличие включения W1 6 W2 влечет равенство W3 = W2 ; см. замечания 8.1 и 8.2.)122Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 15. Обратимся теперь к алгоритмам 10.5 и 10.6. Условия досрочного выхода из этих алгоритмов усматриваются из сравнения четырехчисел di = dim(Wi ); i = 0, 1, 2, 3.
(Благодаря формуле Грассмана, достаточно знать какие-либо три из этих чисел, четвертое по ним однозначно определяется. Имеются также очевидные неравенства междуразмерностями di , вытекающие из включений, показанных на диаграмме 8.2.) Искомые базисы Bi (i = 0, 1, 2, 3) или, что равносильно,содержащие эти базисы матрицы Bi иногда можно определить безвычислений.5.1. Если d0 = 0 , то пересечение W0 тривиально и базис B0 пуст(как и соответствующая матрица B0 ); сумма W3 является прямой;базис B3 находится простым объединением базисов B1 и B2 ; соответствующая матрица находится как конкатенация B3 = (B1 |B2 ).5.2. Если d3 = n , то сумма является полной: W3 = V ; алгоритмможет выдать какой-то базис в V = P n , но можно взять "всегдаготовый" естественный базис B3 = En .5.3. Необходимым и достаточным условием наличия включенияW1 6 W2 является равенство W3 = W2 , которое, в свою очередь,равносильно (по свойствам размерности; см.
предложение 5.6) равенству d3 = d2 . Еще раз обращаясь к диаграмме 8.2 (или к формулеГрассмана), замечаем, что равносильным вариантом последнего равенства является d0 = d1 . Любая из обведенных в боксы формулможет послужить сигналом для остановки вычислений. Искомыебазисы в сумме и пересечении могут быть выбраны совпадающимис базисами в бо́льшем и меньшем подпространстве соответственно:B3 = B2 ; B0 = B1 .5.4. Разумеется, подпространства W1 и W2 могут поменятьсяролями, и досрочный выход произойдет по сигналам d3 = d1 илиd0 = d2 .
Возможна и совсем тривиальная ситуация d3 = d0 , когдасовпадают все четыре рассматриваемые подпространства и вообщеничего больше не надо искать.§ 11. Примеры решения задачна построение базисовв линейных подпространствах11.1. Типовой расчет по теме "Базисы в подпространствах". Ниже будет описано индивидуальное задание (ТР1 — ти-§ 11Задачи на построение базисов в подпространствах123повой расчет № 1) на применение алгоритмов 10.1 — 10.6 для построения базисов в линейных подпространствах в некотором линейномпространстве и будет приведено подробное решение демонстрационного варианта.Как уже неоднократно подчеркивалось, постановка и решение вычислительных задач линейной алгебры предполагает фиксацию врассматриваемом линейном пространстве V (размерности n, над полем P ) некоторого базиса, что позволяет отождествить V с арифметическим линейным пространством P n .
Обычно считается, чтоотождествление уже произведено, т. е. V = P n (с естественным базисом En в качестве исходного).Для задания подпространств W 6 V могут быть использованыдва известных способа: либо V определяется как образ (линейнаяоболочка векторов-столбцов) некоторой матрицы G (число строк вкоторой равно n), либо — как ядро (нуль-пространство) некоторойматрицы A (число столбцов в которой равняется n).В качестве основного поля в типовом расчете будет фигурироватьполе рациональных чисел P = Q или любое расширение этого поля (например, поле действительных чисел R, что является наиболеепривычным для первокурсников, которых пока смущает разнообразие полей в математике).Общее условие типового расчетап о т е м е "Б а з и с ы в п о д п р о с т р а н с т в а х"В линейном пространствеV = Rnзаданы два линейных подпространства W1 и W2 .
Первое из нихзадано вторым способом:W1 = R G ,а второе — первым способом:W2 = L0H .Рассматриваются суммаW3 = W1 + W2124Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1и пересечениеW0 = W1 ∩ W2данных подпространств, а также предлагается определить некотороепрямое дополнение W4 к подпространству W0 в подпространстве W3 :W0 ⊕ W4 = W3 .Для каждого из подпространств Wi (i = 0, 1, 2, 3, 4) требуется— построить базис, который следует записать в матрицу Bi ; темсамым будет получено экономное представление подпространстваWi вторым способом:Wi = RBi ;— вычислить размерность di = dim(Wi );— найти матрицу Ai , определяющую экономное задание подпространства Wi первым способом:Wi = L0Ai ;— указать коразмерность ci = n − di подпространства Wi ;— расписать (в координатах) определяющую с.л.у.Ai · x = 0.Далее требуется выявить особые случаи взамного расположениярассматриваемых подпространств, каковыми считаются те ситуации, когда по крайней мере два из подпространствO, W0 , W1 , W2 , W3 , W4 , Vсовпадают между собой.
(В таких ситауциях предлагается выбиратьбазисы и определяющие с.л.у. для подпространств с учетом специфики случая.)Исходные данныек д е м о н с т р а ц и о н н о м у в а р и а н т у:n = 6;§ 11Задачи на построение базисов в подпространствах−1 1 −1G= −1−112 3H= 11−1111−1−3−1−4−7−623−23−2−3−42−5−8−4−131110−1−1−2−1−2011010−1−1−1−2−21112501 0 ;−1 −20−2−3 −1 .−11Решение демонстрационного вариантаНиже приводятся основные этапы решения.
Все подробности,связанные с приведением матриц к ступенчатому виду (виду Жордана — Гаусса), решением систем линейных уравнений, формированием для них фундаментальных матриц и т. п., опускаются.(В случае необходимости освежить соответствующие навыки вампридется заглянуть в свои конспекты за первый семестр или в книгу [A1 ].)1. Следуя алгоритму 10.2, приведем (с помощью элементарныхпреобразований над строками) матрицу G к ступенчатому виду (нулевые строки удалим):−1 1 −2 1 1 0G → ... → G0 = 0 2 1 2 1 1 .3×66×60 0 0 1 0 0По виду матрицы G0 определяем, что базис подпространства W1составят первый, второй и четвертый столбцы матрицы G.
Получаемэкономное задание W1 вторым способом: W1 = RB1 , где−1 1 −1B1 = −16×3−11111−1−3−1определяем также размерность d1 = 3.11 1 ;0 −1−1126Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Найдем (экономное) задание W1 первым способом.
Для этого,следуя алгоритму 10.3, приведем к виду Жордана — Гаусса транспонированную матрицу B1t :1 0tB1 → ... → 0 13×60 01 00 00 1−1 −100 .20По полученной матрице составляем однородную с.л.у.+α3−α5 −α6 = 0; α1α2= 0;α4 +2α5= 0.Решая эту систему [относительно неизвестных αj (j = 1, ..., 6) —элементов строки искомой матрицы A1 ], находим фундаментальнуюматрицу−1 1 10 0 00 0 1F1 = , 0 −2 0 6×301 000 1транспонируя которую мы получаем−1 0 1 0 0 0A1 = F1t = 1 0 0 −2 1 0 .3×61 0 0 0 0 1Линейное пространство W1 является ядром (нуль-пространством)матрицы A1 (которая имеет полный ранг по строкам).
Так что получается экономное представление первым способом: W1 = LA1 . Иначеговоря, W1 является подпространством решений однородной с.л.у.A1 · x = 0, количество уравнений в которой равно коразмерностиc1 = codim(W1 ) = n − d1 = 3.И, наконец, представим последнюю систему в подробной координатной записи:+x3= 0; −x1x−2x4 +x5= 0; 1x1+x6 = 0.§ 11Задачи на построение базисов в подпространствах1272. Приступаем к работе с подпространством W2 .
В соответствиис алгоритмом 10.1, приведем матрицу H к виду Жордана — Гаусса (который можно будет рассматривать как искомую матрицу A2 ,определяющую W2 опять же первым способом, но — экономно):10H → ... → 05×600100001000012 −10 0 = A2 .1 04×60 0Выписывая и решая однородную с.л.у. A2 · x = 0, мы найдем фундаментальную матрицу этой системы, которую сразу обозначим B2 ,поскольку она будет содержать базис для W2 :−2 0 −1B2 = 06×210100.001Вносим в сводку ответов размерность d2 = dim(W2 ) = 2, а такжекоразмерность c2 = codim(W2 ) = 4 второго подпространства.3.
Займемся подпространством W3 , представляющим из себя сумму двух данных подпространств. Следуя алгоритму 10.5, составимконкатенацию G3 матриц B1 и B2 , приведем ее к ступенчатому виду(с выброшенными нулевыми строками), затем выберем (и запишемв матрицу B3 ) базис в подпространстве W3 , продолжающий базис вW1 (содержащийся в матрице B1 ):−1 1 −1G3 = (B1 |B2 ) = −16×5−11¯11 ¯ −2¯11 ¯ 0¯11 ¯ −1¯−1 0 ¯ 0¯−3 −1 ¯ 1¯−1 −1 0100→001−1 0→ ... → 00¯1 1 ¯ −2¯2 2 ¯ −2¯0 1 ¯ 0¯0 0 111 ;0−1128Линейные пространства.
Базисы и размерности−1 1 −1B3 = −16×4−11111−1−3−11110−1−1Гл. 1−20 −1 .0 10Уже определены размерность и коразмерность суммы:d3 = dim(W3 ) = 4; c3 = codim(W3 ) = 2.Осталось задать W3 первым способом. Повторяя вычисления,аналогичные проведенным выше для W1 , находим (с помощью алгоритма 10.3) матрицу, имеющую полный ранг по строкам, нульпространством которой является подпространство W3 . Покажем безкомментариев основные этапы работы:−1 1 −1 −1 −1 1 1 1 1 −1 −3 −1 B3t = →1 1 10 −1 −1−2 0 −1 0101 0 0 0 010 0 1 0 0 0→ ... → ;0 0 1 0 −1 −20 0 0 1 20α+α6 = 0; 1α2= 0;α3−α5 −2α6 = 0;α4 +2α5= 0;0 −10 02 1F3 = ; −2 0 6×21001µ¶0 0 1 −2 1 0tA3 = F3 =;−1 2 0 0 0 12×6½x3 −2x4 +x5= 0;−x1 +2x2+x6 = 0.§ 11Задачи на построение базисов в подпространствах129Благодарая формуле Грассмана, уже известна размерность пересечения W0 данных подпространств: d0 = d1 + d2 − d3 = 1.4.
Переходим к отысканию базиса и определяющей с.л.у. для подпространства W0 . Следуя алгоритму 10.6, составляем вертикальнуюe0 матриц A1 и A2 ; затем приводим эту конкатенаконкатенацию Aцию к виду Жордана — Гаусса (без нулевых строк), получая темсамым матрицу A0 , задающую первым способом (причем экономно)подпространство W0 : −1 0 1 0 0 0 µe0 =A5×6A1A2¶ 1 1= 0−100000012−2 10 0−2 10 010→ ... → 00001→010100000100000100000110 1 = A0 . 5×60−1e0Выяснилось, что в данном примере уже сама конкатенация Aимеет полный ранг по строкам, т. е. определяет W0 экономно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
