Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

Итог проведенному анализу подводит следующееПредложение 12.4. Пусть V и W — линейные пространстваразмерностей n и m соответственно, с зафиксированными в них базисами B и C, заданными списками (12.4) и (12.5). Тогда определеныпопарные изоморфизмы между линейными пространствамиL(V, W )∼=&∼=−−−−−−→L(P n , P m ).∼=Mat(m, n; P )такие, что линейному оператору ϕ ∈ L(V, W ) соответствует линейный оператор Φ ∈ L(P n , P m ), заданный формулой (12.26), и, далее, — матрица A, являющаяся матрицей оператора ϕ относительно150Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2базисов B и C и, в то же время, — матрицей оператора Φ относительно естественных базисов En и Em в пространствах P n и P m .Указанные изоморфизмы согласованы с алгебраическими действиями композиции линейных операторов и умножения матриц.Доказательство.

Почти все высказанные в предложении утверждения уже доказаны выше, перед формулировкой. Согласно теореме 12.1 и теореме 15.1 из [A1 ], соответствия ϕ−−→A−→A←−− и Φ−←−− являются линейными изоморфизмами, согласованными с композициямии умножениями. Следовательно, теми же свойствами обладает соответствие ϕ−−→Φ.←−− Впрочем, последний факт легко установить и непосредственно: из формулы (12.26) ясна линейность и обратимость этого соответствия, а его согласованность с композициями усматривается из следующей диаграммы (в которой координатный изоморфизмδ порождается некоторым базисом D в линейном пространстве U ).Диагр.

12.2ΦΨP n −−−−−−−−−−→ P m −−−−−−−−−−→ P lβ ↑↓β −1γ ↑↓γ −1δ ↑↓δ −1ϕψV −−−−−−−−−−→ W −−−−−−−−−−→ UДействительно, если операторам ϕ и ψ отвечают "оцифровки" Φи Ψ соответственно, то композиции ψ◦ϕ будет отвечать "оцифровка"δ ◦ (ψ ◦ ϕ) ◦ β −1 = (δ ◦ ψ ◦ γ −1 ) ◦ (γ ◦ ϕ ◦ β −1 ) = Ψ ◦ Φ. ¤12.5. Примеры вычисления матриц линейных отображенийПример 12.1. Рассмотрим пространства многочленов V = Rn [x]и W = Rn−1 [x] и оператор дифференцирования ϕ = 0 , который, очевидно, можно рассматривать действующим из V в W .

В естественных базисах B = Bn = [1, x, ..., xn ] и C = Bn−1 = [1, x, ..., xn−1 ] (см.примеры 2.4 и 3.1) этому оператору отвечает матрица0 10 00 0A=0 0n×(n+1) ... ...0 00 00 02 00 30 0... ...0 00 0...0...0...0...0......... n − 1...00000 .... 0n(12.34)§ 12Алгебра линейных отображений и алгебра матриц151В самом деле, (1)0 = 0 и (xk )0 = 0·1+0·x+...+k ·xk−1 +...+0·xn−1при k = 1, ..., n.К оператору дифференцирования многочленов мы вернемся (нобудем рассматривать его несколько иначе: как линейный эндоморфизм пространства V ) в следующем параграфе (см. пример 13.4).Пример 12.2.

Рассмотрим теперь (опять же — на многочленах:V = Rn [x]) оператор вычисления определенного интеграла (см. пример 1.11):Z bf (x)dx; f (x) ∈ V.(12.35)int[a,b] : Rn [x] −→ R; f (x) 7→aЗдесь роль второго пространства играет поле R, в котором мы выберем естественный базис C = E1 = [ 1 ], состоящий из единственногоэлемента (числа) 1; в первом пространстве V , как и в предыдущемпримере, выбирается естественный базис Bn .Матрица оператора (12.35) будет иметь вид:¡¢b2 −a2bn+1 −an+1 .A = b−a...12n+11×(n+1)Действительно, для любого k = 0, ..., n имеем:¯Z bk+1 ¯bk+1x− ak+1¯ =bint[a,b] (xk ) =.xk dx =¯k+1k+1aaЗамечание 12.4.

Оператор (12.34) является примером так называемых линейных форм, определяемых как линейные отображения изданного линейного пространства в одномерное линейное пространство, совпадающее с основным полем. Линейные формы являютсяодним из важнейших объектов изучения в линейной алгебре. В настоящем пособии основы соответствующей теории будут излагатьсяв начале четвертой главы.

Как правило, в поле, рассматриваемомкак линейное пространство над самим собой, выбирается одноэлементный базис E1 = [ 1 ]. (Именно так мы поступили в примере 12.2.)Матрица линейной формы всегда является матрицей-строкой.Пример 12.3. Рассмотрим два линейных пространства матриц(см. пример 1.1): V1 = Mat(3, 2; P ) и V2 = Mat(2, 2; P ); зафиксируемматрицуµ¶a11 a12 a13A =.a21 a22 a232×3152Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2и определим отображение (очевидно, являющееся линейным) умножения слева матриц из V1 на матрицу A (результат будет матрицейиз V2 ):λA : V1 −→ V2 ; X 7→ A · X; X ∈ V1 .(12.36)В пространствах V1 и V2 рассмотрим естественные базисы E (1)и E (2) , составленные из матриц вида Eij (см.

пример 4.1), содержащих лишь один ненулевой элемент — единицу, в указываемой индексами позиции. Базис остается базисом при произвольном переупорядочивании своих элементов. Но это уже будет другой базис. И длясоставления матрицы линейного отображения (12.36) порядок, в котором записываются элементы базисов, отнюдь не безразличен.Примем следующий порядок элементов в первом базисе:(1)(1)(1)(1)(1)(1)E (1) = [ E11 , E21 , E31 , E12 , E22 , E32 ].(12.37)(Мы вынуждены здесь снабдить матрицы еще одним, третьим индексом (в скобках, вверху), чтобы отличать базисы в разных пространствах. Матрица E11 в размере 3 × 2 и матрица с таким жеобозначением в размере 2 × 2 — это разные матрицы.)Такой выбор порядка элементов базиса приводит к описанномуранее (в примере 1.9) линейному изоморфизму — оператору векторизации vec, сопоставляющему матрицеx11 x12X =  x21 x22  ∈ V13×2x31 x32"высокий" вектор-столбецx11 x21  x31 x= ∈ P 6, x12 x22x32составленный из записанных один под другим столбцов матрицы X.Аналогичным образом выбирается базис в пространстве V2 :(1)(2)(2)(2)E (2) = [ E11 , E21 , E12 , E22 ].(12.38)§ 12Алгебра линейных отображений и алгебра матриц153В базисах (12.37) и (12.38) оператору (12.36) будет отвечать матрица (для обозначения которой мы применим полужирный шрифти которую естественным образом разобьем на блоки):a11 a12 a13 0 0 0A Oa21 a22 a23 0 0 0   2×3 2×3 A =.(12.39)=4×6 0 0 0 a11 a12 a13O A2×3 2×30 0 0 a21 a22 a23Поясним заполнение, скажем, четвертого столбца матрицы A.Применим оператор λA к четвертой матрице в списке (12.37):µ¶0 1a11 a12 a13(1)(1)λA (E12 ) = A · E12 =· 0 0 =a21 a22 a230 0¶¶µ¶µµ0 00 10 a11=+ a12 ·== a11 ·0 00 10 a12(2)(2)(2)(2)= 0 · E11 + 0 · E21 + a11 · E12 + a12 · E22 .(1)В базисе (12.38) матрице λA (E12 ) будет отвечать вектор-столбец(фактически: векторизация этой матрицы):0 0 (1)λA (E12 ) = .a11a12Пример 12.4.

Рассмотрим снова пространство матриц V2 , то жесамое, что и в предыдущем примере, и с тем же базисом (12.38), и,наряду с ним — пространство V3 = Mat(4, 2; P ) с базисом(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)(3)E (3) = [ E11 , E21 , E12 , E22 , E13 , E23 , E14 , E24 ].(12.40)Зафиксируем матрицуµB =2×4b11b21b12b22b13b23b14b24¶и рассмотрим линейный оператор правого умножения матриц из V2на матрицу B (результат будет матрицей из V3 ):ρB : V2 −→ V3 ; Y 7→ Y · B; Y ∈ V2 .(12.41)154Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2Столь же простыми рассуждениями, как и в предыдущем примере, получаем матрицу для оператора (12.41):b11 0 b21 0 0 b11 0 b21  b12 0 b22 0  0 b12 0 b22 B =(12.42).8×4 b12 0 b22 0  0 b12 0 b22 b14 0 b24 00 b14 0 b24На первый взгляд, строение матрицы (12.42) совсем не похожена строение матрицы (12.39) из предыдущего примера.

Не видноблоков, равных B. Но зато легко усматривается 8 блоков, пропорциональных единичной матрице E размера 2 × 2:b11 E2×2b21 E2×2b E b E  12 2×2 22 2×2 B=. b13 E b23 E  2×22×2 b14 E b24 E2×2(12.43)2×2После разбора еще одного примера мы объясним (см. замечание 12.5), что же все-таки имеется общего в облике матриц A и B.Пример 12.5. Рассмотрим теперь композициюµA,B = ρB ◦ λA : V1 −→ V3 ; X 7→ A · X · B; X ∈ V.(12.44)Согласно предложению 12.3, матрица оператора (12.44) относительно базисов (12.37) и (12.40) находится как произведение:b11 a11 b11 a12 b11 a13 b21 a11 b21 a12 b21 a13b11 a21 b11 a22 b11 a23 b21 a21 b21 a22 b21 a23b12 a11 b12 a12 b12 a13 b22 a11 b22 a12 b22 a13b12 a21 b12 a22 b12 a23 b22 a21 b22 a22 b22 a23C = B · A =b13 a11 b13 a12 b13 a13 b23 a11 b23 a12 b23 a13 ,8×68×4 4×6b13 a21 b13 a22 b13 a23 b23 a21 b23 a22 b23 a23b14 a11 b14 a12 b14 a13 b24 a11 b24 a12 b24 a13b14 a21 b14 a22 b14 a23 b24 a21 b24 a22 b24 a23§ 12Алгебра линейных отображений и алгебра матриц155с легко усматриваемым блочным строением:b11 A2×3b21 A2×3b A b A  12 2×3 22 2×3 C=. b13 A b23 A  2×32×3 b14 A b24 A2×3(12.45)2×3Обратите внимание на такую деталь: скалярными множителямив блоках, перед матричными множителями A служат элементы матрицы B t , транспонированной к B.Замечание 12.5.

Характеристики

Список файлов книги