Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Остается прояснить общую закономерность, прослеживаемую в трех последних примерах. С этой целью придетсяввести новое алгебраическое действие над матрицами, называемоекронекеровским умножением.Для любых прямоугольных матриц A и B, произвольных размеров m × n и p × q соответственно, определяется следующая матрицаразмера mp × nq:a11 B a12 B · · · a1n Ba21 B a22 B · · · a2n B .C = A ⊗ B =(12.46)mp×nqm×np×q············am1 B am2 B · · · amn BПринцип составления матрицы (12.46) таков: каждай элемент aijпервой матрицы заменяется на блок aij B, равный произведению этого элемента на вторую матрицу.Матрица A ⊗ B называется кронекеровским (или, иногда, тензорным) произведением матриц A и B.Теперь можно объявить, что матрица (12.45) есть не что иное, каккронекеровское произведениеC = B t ⊗ A.(12.47)Матрицы (12.39) и (12.43) также можно представить в виде кронекеровских произведений:A = E ⊗ A; B = B t ⊗ E.(12.48)156Линейные отображения конечномерных пространствГл.
2Важно то, что полученное в примере 12.5 представление для матрицы линейного оператора X 7→ AXB в виде тензорного произведения (12.47) сохраняет свою силу при любых размерах матриц A и B(размеры переменной матрицы X обязаны быть такими, чтобы былиосуществимы оба умножения).Подробнее со свойствами и приложениями кронекеровского произведения можно познакомиться, например, по справочнику [10].Интересно, что эта алгебраическая операция играет ключевуюроль при исследовании линейных матричных уравнений (в связис чем читателям можно напомнить, что блочные матрицы, являющиеся по сути кронекеровскими произведениями, встречались нам в[A1 , § 7]).§ 13.
Преобразование матрицылинейного отображения при замене базисов.Эквивалентные матрицы. Подобные матрицы13.1. Замена базисов и преобразование матрицы линейного отображения. В § 7 были определены матрицы перехода отодного базиса в конечномерном линейном пространстве к другомуи были установлены правила пересчета координатных столбцов призамене базисов. В данном параграфе мы рассмотрим зависимостьматрицы линейного отображения (оператора) ϕ : V → W в конечномерных линейных пространствах V и W (над полем P ) от выборабазисов в этих пространствах.Теорема 13.1.
Пусть в n-мерном линейном пространстве V заданы два базиса B и B 0 , с матрицей перехода T от первого базисако второму. Аналогично, пусть в m-мерном пространстве W заданыбазисы C и C 0 и матрица перехода Q. Рассмотрим линейный операторϕ : V −→ W,(13.1)и пусть ему отвечает в базисах B и C матрица A, а в базисах B0 иC 0 — матрица A0 . ТогдаA0 = Q−1 · A · T ;(13.2a)A = Q · A0 · T −1 .(13.2b)§ 13Преобразование матрицы линейного отображения157Доказательство. Рассмотрим произвольный вектор x ∈ V и егообраз y = ϕ(x) ∈ W при отображении (13.1). Согласно (12.32), будемиметь:y = A · x;(13.3a)y 0 = A0 · x0 ,(13.3b)где векторы-столбцы x и x0 (y и y 0 ) связаны формулами типа (7.12):x = T · x0 ; x0 = T −1 · x;(13.4a)y = Q · y 0 ; y 0 = Q−1 · y.(13.4b)Обратите внимание на то, что (как и в § 7) штрихи в формулах(13.3b), (13.4a) и (13.4b) относятся не к буквам x или y, а к чертамнад ними; так арифметические векторы x и x0 изображают один итот же абстрактный вектор x ∈ V , но в разных базисах B и B0 .Подставляя во вторую из формул (13.4b) значение y из формулы(13.3a), а в полученный результат — значение x из (13.4a), получим(с учетом ассоциативности матричного умножения):y 0 = (Q−1 · A · T ) · x0 .(13.5)Приравнивая правые части формул (13.3b) и (13.5), получим равенствоA0 · x0 = (Q−1 · A · T ) · x0 ,(13.6)которое должно иметь место для любого вектора x ∈ V , или, чторавносильно, для любого вектора-столбца x0 ∈ P n .
(Соответствиемежду x и x0 является изоморфизмом, и когда x пробегает все V —x0 пробегает все P n .)Неопытные читатели захотят здесь просто "сократить" равенство(13.6) на x0 . Но, увы, "сокращение на вектор" абсолютно незаконно!Из соотношенияA · x = B · x(13.7)m×nn×1m×nn×1отнюдь не следует A = B. Однако это заключение становится справедливым, если (13.7) верно для любого x ∈ P n . Действительно,тогда в качестве x можно выбирать по очереди все векторы естественного базиса ej (j = 1, ..., n), в результате чего окажутся равными все соответствующие столбцы рассматриваемых матриц: aj = bj(j = 1, ..., n). Следовательно, будут равны и сами матрицы: A = B.158Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2С соотношением (13.6) у нас как раз такая ситуация: x0 пробегаетвсе арифметическое линейное пространство P n .
Поэтому из (13.6)вытекает (13.2a).Равенство (13.2b) очевидным образом получается из (13.2a) домножением обеих частей (слева на Q, а справа — на T −1 ). ¤13.2.∗ Изменение "оцифровки" для линейного операторапри замене базисов. В п. 12.4 арифметизацией (или "оцифровкой") линейного оператора (13.1) назывался операторΦ : P n −→ P m ,(13.8)определяемый с помощью координатных изоморфизмов как композиция (12.26). Замена базисов меняет и оператор (13.8).
Все соотношения между двумя "оцифровками" и координатными изоморфизмами усматриваются на следующей диаграмме, содержащей в себедве диаграммы типа 12.1 и две диаграммы типа 7.1.Диагр. 13.1Pn↑ -βτV.β 0nPΦ−−−−→P mϕγ% ↑−−−−−→ WκΦ0γ 0&−−−−→P mПриведем также сводку формул, связывающих стрелки (отображения) диаграммы 13.1:y = ϕ(x);x = β(x); y = γ(y);x0 = β 0 (x); y 0 = γ 0 (y);x = τ (x0 ) = T · x0 ; y = κ(y 0 ) = Q · y 0 ;y = Φ(x) = A · x; y 0 = Φ0 (x0 ) = A0 · x0 ;Φ ◦ τ = κ ◦ Φ0 ; Φ0 = κ −1 ◦ Φ ◦ τ ;A0 = Q−1 · A · T.13.3.
Эквивалентные матрицы. При замене базисов матрицалинейного оператора (гомоморфизма) преобразуется так [см. формулу (13.2a)]: слева и справа она домножается на обратимые квадратные матрицы (соответствующих размеров). В связи с этим, оказывается важным исследование следующего отношения на множествевсех матриц (фиксированного размера).§ 13Преобразование матрицы линейного отображения159Определение 13.1. Две матрицы A, B ∈ Mat(m, n; P ) называются эквивалентными (и это обозначается A ∼ B), если существуют две обратимые квадратные матрицы, L (размера m × m) и R(размера n × n), такие, чтоB = L · A · R.(13.9)Отношение A ∼ B является отношением эквивалентности, т.
е.оно рефлексивно, симметрично и транзитивно. В самом деле, рефлексивностьA∼Aполучается, если в (13.9) взять в качестве L и R единичные матрицы;симметричность[ A ∼ B ] =⇒ [ B ∼ A ]следует из того, что (13.9) влечетA = L−1 · B · R−1 ,(13.90 )а транзитивность[ A ∼ B ] ∧ [ B ∼ C ] =⇒ [ A ∼ C ]доказывается так:[ B = L · A · R ] ∧ [ C = L1 · B · R1 ] =⇒ [ C = (L1 L) · A · (RR1 ) ],где произведения L1 L и RR1 являются обратимыми матрицами.Замечание 13.1.
Мы не впервые в курсе алгебры сталкиваемся сотношениями эвивалентности. Скажем, в п. 36.5 пособия [A1 ] вводилось отношение ассоциированности для элементов коммутативногокольца, которое также является отношением эквивалентности. Более того, оно обозначалось тем же символом ∼ (в связи с чем ужеговорилось о "перегруженности" последнего). Разумеется, это — совершенно разные отношения, заданные на разных множествах.Можно заметить, однако, что любое отношение эквивалентностиразбивает множество, на котором оно задано, в объединение попарно не пересекающихся подмножеств — классов эквивалентности(в один класс попадают эквивалентные друг другу элементы; элементы различных классов не эквивалентны между собой).В [A1 , п.
44.3] говорилось также о "проблеме представительства":требуется "назначить" канонических представителей, по одному откаждого класса эквивалентености. Ниже эта задача будет решенадля отношения эквивалентности прямоугольных матриц.160Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2Предложение 13.1. Следующие четыре утверждения о матрицах A, B ∈ Mat(m, n; P ) равносильны:1) матрицы A и B эквивалентны (A ∼ B);2) от одной из этих матриц можно перейти к другой за конечное число шагов — элементарных преобразований типов I — III надстроками и столбцами;3) матрицы A и B имеют одинаковые ранги:rank(A) = rank(B);(13.10)4) матрицы A и B имеют одинаковые скелетные виды.Доказательство. Данное предложение фактически уже доказанов первом семестре, хотя там не было явной формулировки, посколькуне был еще введен термин эквивалентные матрицы.
Тем не менее,равносильность второго, третьего и четвертого утверждений установлена в [A1 ] по ходу доказательства первой теоремы о ранге матрицы (теоремы 12.1): две матрицы имеют одинаковые ранги тогда итолько тогда, когда они приводятся к одному и тому же скелетномуb матрицы A в начале главвиду. (Напомним, что в скелетном виде Aной диагонали стоят r = rank(A) единиц, а все остальные элементыравны нулю.)Далее, в п.
14.4 [A1 ], при изучении обратимых матриц установлено, что такие матрицы представляются как произведения элементарных матриц, или, что равносильно, получаются из единичнойматрицы элементарными преобразованиями над строками и столбцами. Из предложения 14.4 усматривается также тот факт, что двематрицы можно соединить конечной цепочкой элементарных преобразований (типов I — III, над строками и столбцами) тогда и толькотогда, когда каждая из них получается из другой домножением слева и справа на обратимые матрицы. А это уже означает, что первоеутверждение настоящего предложения равносильно любому из трехпоследующих. ¤Замечание 13.2. Возвращаясь к проблематике замечания 13.1, можно констатировать, что в каждом классе эквивалентности (m × n)матриц имеется однозначно определенная матрица скелетного вида.
Ясно также, что общее количество классов эквивалентностив Mat(m, n; P ) конечно и равно 1 + min(m, n). (Почему?) Один изклассов эквивалентности является одноэлементным, т. е. содержитединственную матрицу. (Какую?)§ 13Преобразование матрицы линейного отображения161Выше, в замечании 7.1, объяснялось, что в каждом n-мерном пространстве существует биекция между множеством всех базисов имножеством обратимых матриц GL(n, P ).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
