Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 31
Текст из файла (страница 31)
В частности, определенобраз линейного отображения Im(ϕ) = ϕ(V ).Для любого линейного подпространства W1 6 W определен его−1прообраз ϕ (V1 ) при отображении ϕ, являющийся подмножеством(фактически — подпространством) в V. Особую роль будет игратьпрообраз нулевого подпространства W1 = O (состоящий из тех итолько тех векторов в V, которые под действием ϕ переходят в нуль).Для этого прообраза вводится особый термин и обозначение.§ 14Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения179Определение 14.1. Ядром линейного отображения (14.8) называется подмножество−1Ker(ϕ) = ϕ (O) = { x ∈ V : ϕ(x) = 0 }.(14.9)Предложение 14.1.
Образы и прообразы линейных подпространств при линейном отображении сами являются линейными подпространствами:−1[ V1 6 V ] ⇒ [ ϕ(V1 ) 6 W ]; [ W1 6 W ] ⇒ [ ϕ (W1 ) 6 V ].(14.10)В частности,Im(ϕ) 6 W ; Ker(ϕ) 6 V.(14.11)Доказательство является совсем простым упражнением. Например, при проверке справедливости второго из утверждений (14.10)может быть применена следующая цепочка заключений:−1[ x, u ∈ ϕ (W1 ) ] ⇒ [ ϕ(x), ϕ(u) ∈ W1 ] ⇒−1⇒ [ ϕ(x + u) = ϕ(x) + ϕ(u) ∈ W1 ] ⇒ [ x + u ∈ ϕ (W1 ) ].Вам предлагается восстановить все подробности. ¤Замечание 14.2.
В частном случае линейного отображения ϕ :P → P m арифметических линейных пространств понятия образа иядра фигурировали в [A1 , § 15]. Для образа оператора ϕ использовалось обозначение Rϕ , увязанное с обозначеним образа (линейнойоболочки векторов-столбцов) соответствующей (m × n)-матрицы A:nRϕ = RA = ha1 , a2 , ... , an i .(14.12)Для ядра (см. определение 15.8) также использовалось иное обозначение, отсылающее к матричному заданию оператора:L0ϕ = L0A = { x ∈ P n : A · x = 0 }.(14.13)Далее мы предполагаем, что данные линейные пространства V иW являются конечномерными, размерностей n и m соответственно.Тогда определены размерности образа и ядра линейного отображения (14.8).180Линейные отображения конечномерных пространствГл.
2Определение 14.2. Размерность образа линейного отображения(14.8) называется рангом этого отображения; используется обозначение:rank(ϕ) = dim(Im(ϕ)).(14.14)Размерность ядра (14.9) отображения (14.8) называется дефектомэтого отображения; используется обозначение:dfc(ϕ) = dim(Ker(ϕ)).(14.15)Зафиксируем в пространствах V и W какие-либо базисыB = [b1 , b1 , ... , bn ](14.16)C = [c1 , c1 , ... , cm ].(14.17)иВ этих базисах оператору ϕ соответствует (m×n)-матрица A.
Ранги дефект оператора ϕ оказываются связанными с рангом матрицы A.Точнее, справедливо следующееПредложение 14.2. 1. Образ Im(ϕ) линейного оператора (14.8)является линейной оболочкой образа ϕ(B) базиса (14.16):Im(ϕ) = hϕ(B)i .(14.18)2. Ранг оператора ϕ совпадает с рангом соответствующей матрицы:rank(ϕ) = rank(A);(14.19)дефект ϕ выражается формулойdfc(ϕ) = n − rank(A).(14.20)3.
Сумма ранга и дефекта линейного отображения равняется размерности первого пространства:rank(ϕ) + dfc(ϕ) = dim(V ).(14.21)Доказательство. 1. Рассмотрим произвольный вектор y = ϕ(x),принадлежащий Im(ϕ). Разлагая x ∈ V по базису B и пользуясь линейностью ϕ, мы получаем для y разложение по с.в.
ϕ(B); включение§ 14Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения181Im(ϕ) ⊆ hϕ(B)i доказано. Обратное включение очевидно ввиду того,что линейная оболочка hϕ(B)i является наименьшим из линейныхподпространств, содержащих все векторы ϕ(bj ) (j = 1, ... , n).2. Рассмотрим диаграмму 12.1, описывающую арифметизацию Φоператора ϕ; напомним, что в этой диаграмме β и γ являются координатными изоморфизмами, определяемыми выбранными базисами.Убедимся в том, что эти изоморфизмы отображают ядро (образ)оператора ϕ на ядро (образ) оператора Φ, или, что равносильно,докажем следующие утверждения:[ x ∈ Ker(ϕ) ] ⇔ [ x ∈ Ker(Φ) ];[ y ∈ Im(ϕ) ] ⇔ [ y ∈ Im(Φ) ],(14.22)где "надчеркнутые" векторы, как обычно, обозначают координатныестолбцы, отвечающиее (в выбранных базисах) исходным (абстрактным) векторам x ∈ V и y ∈ W.Первое из утверждений (14.22) доказывается так: если x ∈ Ker(ϕ),т.
е. ϕ(x) = 0, то, в силу (12.27), Φ(x) = ϕ(x) = 0, т. е. x ∈ Ker(Φ);обратно, если Φ(x) = 0, то ϕ(x) = 0 и, следовательно, ϕ(x) = 0.Второе из утверждений (14.22) проверяется аналогично, займитесь этим самостоятельно.Из того, что ядро и образ оператора ϕ изоморфны (соответственно) ядру и образу Φ, вытекает, что указанные операторы имеютодинаковые ранги и дефекты. Более того, по установленному ранее первому утверждению данного предложения [см. также формулу (14.13)], Im(Φ) порождается векторами Φ(ej ) = A · ej = aj(j = 1, ..., n), т.
е. является линейной оболочкой столбцов матрицы A.Напомним еще раз, что, начиная с п. 13.1 книги [A1 ] (см. также внастоящем пособии: п. 10.1 и замечание 14.2), мы говорили об образеRA матрицы, понимая под этим линейную оболочку ее столбцов.Этот образ оказывается не чем иным, как образом RΦ :RA = RΦ = Im(Φ) ∼= Im(ϕ).(14.23)Для рангов получим:rank(ϕ) = rank(Φ) = dim(RA ) = rank(A).(14.24)Аналогично, второе из утверждений (14.22) влечет совпадение ядра (нуль-пространства) L0A матрицы A [см.
(14.14)] с ядром L0Φ , всвою очередь, изоморфным ядру исходного оператора:L0A = L0Φ = Ker(Φ) ∼= Ker(ϕ).(14.25)182Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2Для дефектов получим:dfc(ϕ) = dfc(Φ) = dim(L0A ) = n − rank(A).(14.26)Второе утверждение предложения доказано. Добавим только, чтовеличина n − rank(A) получает название дефекта матрицы A и обозначение dfc(A).3.
Третье утверждение предложения (известное как связь ранга и дефекта для линейного отображения) немедленно следует из(14.22). [В следующем параграфе (см. замечание 15.3) это важноеутверждение получит новую, более наглядную трактовку и независимое доказательство.] ¤Из предложения 14.2 немедленно следуют несколько простых, ноочень часто используемых свойств рангов и дефектов для линейныхотображений и для матриц.
Мы соберем эти утверждения в следующем предложении.Предложение 14.3. 1. Всякий линейный оператор (14.8) обладает свойством неповышения размерности, выражаемым формулами:dim(Im(ϕ)) 6 dim(V )(14.27)и( ∀ V1 6 V ) [ dim(ϕ(V1 )) 6 dim(V1 ) ].ϕ(14.28)ψ2. Для композиции V → W → U имеют место неравенстваrank(ψ ◦ ϕ) 6 min(rank(ϕ), rank(ψ))(14.29)dfc(ψ ◦ ϕ) > dfc(ϕ).(14.30)и3. Аналогичные неравенства справедливы для произведения матриц (согласованных размеров):rank(B · A) 6 min(rank(A), rank(B));(14.31)dfc(B · A) > dfc(A).(14.32)Доказательство.
1. Из (14.21) вытекает неравенствоrank(ϕ) 6 dim(V ),§ 14Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения183которое можно переписать в виде (14.27).¯ Неравенство (14.28) получается применением (14.27) к сужению ϕ¯V1 оператора ϕ на подпространство V1 .2. Из очевидного включенияIm(ψ ◦ ϕ) = ψ(ϕ(V )) ⊆ ψ(W ) = Im(ψ)(14.33)следует, что rank(ψ ◦ϕ) 6 rank(ψ). Применяя (14.28) к оператору ψ иподпространству W1 = ϕ(V ), мы получим, что rank(ψ ◦ ϕ) 6 rank(ϕ).Значит, справедливо неравенство (14.29).Неравенство (14.30) выводится из включенияKer(ψ ◦ ϕ) ⊇ Ker(ϕ).(14.34)[Обратите внимание на то, что для дефектов нет полного аналога неравенства (14.29).
Контрпример легко построить, если в качестве ϕ взять, скажем, нулевой оператор.]3. Результаты для матриц не требуют отдельного доказательства[в силу теоремы 12.1 (о соответствии между опреаторами и матрицами) и формулы (14.19)]. Заметим, что эти неравенства могут бытьполучены и без привлечения линейных операторов, на языке матриц, но такое доказательство оказывается значительно менее "прозрачным".
¤14.3. Алгоритмы построения базисов в ядре и образе линейного отображения. Как уже не раз объяснялось, для пускаалгоритмов требуется, чтобы исходные объекты были арифметизованы (оцифрованы). В данном случае:— в линейных пространствах V и W должны быть зафиксированы некоторые базисы (14.14) и (14.15), после чего рассматриваемыепространства отождествляются с арифметическими, P n и P m соответственно;— линейное отображение ϕ определяется своей матрицей A относительно выбранных базисов (фактически оно отождествляется сосвоей оцифровкой Φ).После этого вполне естественно, что алгоритм построения базисав Ker(ϕ) сводится к алгоритму 10.1, определяющему базис в L0A , аалгоритм построения базиса в Im(ϕ) — к алгоритму 10.2, находящему базис в RA .Заметьте, что ядро линейного оператора оказывается заданнымпервым способом, а образ — вторым.184Линейные отображения конечномерных пространствГл.
2Замечание 14.3. Между прочим, именно теперь становится ясным происхождение этих способов: задать подпространство в некотором линейном пространстве первым способом — это значит представить его как ядро некоторого линейного оператора, действующегоиз данного линейного пространства в некоторое другое; задать подпространство вторым способом — значит представить его как образ оператора, действующего из некоторого другого линейного пространства — в данное. Применяя алгоритм 10.1, мы находим пооператору, ядром которого служит данное подпространство, другой оператор, для которого это подпространство является образом.Наоборот, применяя алгоритм 10.3, по оператору, образом которогослужит рассматриваемое подпространство, мы отыскиваем другойоператор, имеющий это подпространство своим ядром.Пример 14.1.
Решим средствами Maple следующую типовую задачу. Рассмотрим линейный оператор ϕ : R6 → R5 , заданный матрицей1 −2 −1 −4 01 1 2 −1 1125 0 1A=.113 1 01012 0−1 −2 −3 −8 0(Как обычно, оцифровка считается уже произведенной, а оператор — действующим в арифметических линейных пространствах.)Загрузим пакет LinearAlgebra, введем заданную матрицу и применим команду, возвращающую (в виде списка векторов) базис в ядреданного оператора (нуль-пространстве матрицы A).> with(LinearAlgebra):>A := < <1, 2, 1, 0, 1, −1> | <−2, −1, 1, 1, 0, −2> |<−1, 1, 2, 1, 1, −3> | <−4, 1, 5, 3, 2, −8> | <0, 1, 0, 1, 0, 0> >:>N:=NullSpace(A); −2−1 −3 −1 N := 0 , 1 1000Векторы-столбцы, порождающие ядро, можно проверить, умножив их слева на A.
Получатся нулевые векторы.> A . N[1], A . N[2];§ 14Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения185Столь же просто находится базис в образе оператора ϕ, т. е. влинейной оболочке векторов-столбцов матрицы A:> M := ColumnSpace(A);01 0 0 0 0 1 1 −4 −2 0 M := 3 , , 3 1 1 2 0 3 0 3 1−433Однако базис, представленный списком M , выбирается не из числа порождающих векторов (столбцов A).
Если требуется найти базис из числа порождающих, то можно применить другую команду —Basis, которая, к сожалению, ожидает на вход не матрицы, а спискивекторов. Придется "рассы́пать" A на отдельные столбцы. Мы ихбудем выбирать как одностолбцовые подматрицы в A, затем конвертировать в векторы и накапливать в списке V A. В ответе получимновый базис в Im(ϕ), в виде списка M 1.> VA := [ ]:> for j from 1 to ColumnDimension(A) doVA := [ VA[ ], convert(SubMatrix( A, 1 .. RowDimension(A), j ..
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
