Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 32
Текст из файла (страница 32)
j ), Vector ) ]:od:> M1 := Basis(VA); 1−20 2 −1 1 1 1 0 M 1 := , , 0 1 1 100−1−20К полученным результатам можно добавить значения ранга и дефекта:rank(ϕ) = 3; dfc(ϕ) = 2.186Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2§ 15.
Теоремы о линейных гомоморфизмах15.1. Первая теорема о линейных гомоморфизмах. В общей алгебре важную роль играют так называемые теоремы о гомоморфизмах. Они сходным образом формулируются для различныхтипов алгебраических объектов: групп, колец и т. п. Мы изучаем линейные пространства. В этом случае формулировки теорем о гомоморфизмах имеют некоторые особенности: их можно сделать проще(хотя не исключается и более абстактный, "общий" вариант). В наши планы (в данном семестре) не входит изучение общей алгебры,но мы надеемся, что те из читателей, которым в будущем придетсязаниматься гомоморфизмами групп и/или колец, вспомнят приводимые здесь версии теорем о гомоморфизмах линейных пространств,или, что то же, — о линейных отображениях.Теорема 15.1 (первая теорема о линейных гомоморфизмах).Пусть V и W — линейные пространства над одним и тем же полем P, ϕ — линейный гомоморфизм из V в W, N = Ker(ϕ) — егоядро.1.
Значения гомоморфизма ϕ на векторах x, y ∈ V совпадаюттогда и только тогда, когда разность этих векторов принадлежит N,т. е.[ ϕ(x) = ϕ(y) ] ⇔ [ y − x ∈ N ].(15.1)2. Гомоморфизм ϕ является мономорфизмом тогда и только тогда, когда его ядро тривиально, т. е. N = O.Доказательство. 1. Равенство ϕ(x) = ϕ(y) равносильно равенству ϕ(y) − ϕ(x) = 0 и, далее, в силу линейности ϕ, — равенствуϕ(y − x) = 0, т. е. факту принадлежности разности u = y − x ядру N.2. Пусть ϕ — мономорфизм, т. е.
является инъективным отображением. Тогда, в частности, в нуль может перейти только нуль, азначит N = Ker(ϕ) состоит лишь из нулевого вектора.Обратно, пусть N = O. тогда, в силу первой части данного предложения, равенство ϕ(x) = ϕ(y) равносильно x = y, что свидетельствует об инъективности (мономорфности) ϕ. ¤Замечание 15.1. Первое утверждение теоремы 15.1 можно трактовать следующим образом. Линейное отображение работает "послойно": ядро N целиком отображается в нуль, всякий слой (аффинноеподпространство x + N ) целиком отображается в одну точку ϕ(x).§ 15Теоремы о линейных гомоморфизмах187[Напомним (см. [A1 , п.
3.2]), что аффинное подпространство определяются как сдвиг на какой-либо вектор линейного подпространства.] В случае мономорфизма как ядро, так и все слои яляютсяодноточечными.Терема 15.1, вместе с настоящим замечанием, иллюстрируетсярис. 15.1 в прил. 2.15.2. Вторая теорема о линейных гомоморфизмах. Перваятеорема о линейных гомоморфизмах является совершенно элементарным фактом, справедливым, кстати, для произвольных (не обязательно конечномерных) линейных пространств. Это утверждениегромко именуется теоремой исключительно по традиции. Втораятеорема — значительно более содержательна и (в приводимой здесьформулировке) имеет место только для конечномерных линейныхпространств.Теорема 15.2 (вторая теорема о линейных гомоморфизмах).Пусть V и W — конечномерные линейные пространства над полем P, ϕ — линейный гомоморфизм из V в W, N = Ker(ϕ) — егоядро, N 0 — какое-либо прямое дополнение к подпространству N впространстве V,¯ M = Im(ϕ) — образ гомоморфизма ϕ.
Рассмотримсужение ϕ 0 = ϕ¯N 0 гомоморфизма ϕ на подпространство N 0 .Тогда ϕ 0 является изоморфизмом N 0 на M.Доказательство. Очевидно, образ сужения Im(ϕ 0 ) содержитсяв M = Im(ϕ). Докажем, что эти подпространства на самом делеравны.Возьмем любой вектор y = ϕ(x) ∈ M. Вектор x ∈ V = N ⊕ N 0 ,по определению прямой суммы, однозначно представляется в видеx = u + v, где u ∈ N и v ∈ N 0 .
Поскольку ϕ(u) = 0, мы получаем:y = ϕ(u + v) = ϕ(v) = ϕ 0 (v) ∈ Im(ϕ 0 ),что и требовалось.Таким образом, ϕ 0 можно рассматривать как эпиморфизмϕ 0 : N 0 −→ M ; v 7→ ϕ(v); v ∈ N 0 .(15.2)Рассмотрим ядро эпиморфизма (15.2). Если вектор v ∈ N 0 принадлежит Ker(ϕ 0 ), то, поскольку ϕ 0 действует так же, как ϕ, получаем, что v ∈ Ker(ϕ) = N. Но N ∩ N 0 = O, значит v = 0. Приходимк выводу о тривиальности ядра ϕ 0 . Следовательно, по теореме 15.1,ϕ 0 является моно-, а значит, и изоморфизмом. ¤188Линейные отображения конечномерных пространствГл.
2Замечание 15.2. Теорему 15.2 иллюстрирует рис. 15.2 в прил. 2Замечание 15.3. Если ввести обозначения для размерностейdim(V ) = n, dim(N ) = dfc(ϕ) = d, dim(M ) = rank(ϕ) = r,то, в силу изоморфизма N 0 ∼= M, мы получим, чтоdim(N 0 ) = dim(M ) = r,(15.3)и, в силу наличия прямой суммы V = N ⊕ N 0 , — чтоn = d + r.(15.4)Последнее равенство выражает (выведенную ранее из других соображений; см.
предложение 14.2) связь ранга и дефекта для линейного отображения.Замечание 15.4. Выполним обещание, данное в замечании 13.3, —докажем существование таких базисов B и C в V и W соответственно, в которых оператору ϕ отвечает матрица скелетного вида. Длядостижения этого достаточно:— взять любой базис B 0 в подпространстве N 0 ;— взять любой базис B 00 в ядре N ;— составить базис B = [ B0 , B 00 ] в пространстве V ;— взять образ C 0 = ϕ(B 0 ) выбранного базиса в N 0 при изоморфизме (15.3);— дополнить C 0 до базиса C в W.В базисах B 0 и C 0 изоморфизм ϕ 0 будет иметь единичную матрицу.В базисах B и C гомоморфизм ϕ будет иметь матрицу скелетноговида (с r единицами на диагонали).В качестве очевидного следствия из теоремы 15.2 получается простое, но многократно используемое в следующей главеПредложение 15.1.
Сужение линейного гомоморфизмаϕ : V −→ Wна любое подпространство U 6 V, независимое с ядром N = Ker(ϕ)(т. е. такое, что N ∩ U = O), является изоморфизмом:¯∼=ϕ¯U : U −→ ϕ(U ) 6 W.(15.5)§ 15Теоремы о линейных гомоморфизмах189Доказательство.
В силу предложения 9.4, подпространство U ,независмое с подпространством N, расширяется до некоторого прямого дополнения N 0 к N . Согласно теореме 15.2, сужение ϕ на N 0является изоморфизмом на образ ϕ(N 0 ) = ϕ(V ) = M.Любое сужение изоморфизма также является изоморфизмом — насвой образ. Значит, можно утверждать, что является изоморфизмомотображение (15.5). ¤Замечание 15.5 ∗ (для служебного пользования). Обращаясь копытным читателям, уточним особые черты теорем о гомоморфизмах, присущие конечномерной линейной алгебре и не характерныедля общей алгебры. (Мы упоминали о том, что такие особенностиимеются, в начале данного пункта.)В теориях групп, колец и многих других типов алгебраическихсистем подобъекты (подгруппы, подкольца и т. д.) не обязаны иметьпрямые дополнения (которым полагается тривиально пересекаться сданным подобъектом).Определенной заменой прямым дополнениям могут служить такназываемые фактор-объекты, которые имеют даже некоторые преимущества: в отличие от дополнений, они определены однозначно.(Однако фактор-объекты уже не являются подобъектами в данномобъекте.)Идея факторизации является одной из самых выдающихся и плодотворных идей в математике.
По сути она очень проста и сводитсяк отождествлению элементов по подходящему отношению эквивалентности. Но, как показывает опыт, уровень абстрагирования приреализации этой идеи "зашкаливает" возможности первокурсников.Так что, хотя в наших основных учебниках [1] и [2] понятие фактор-пространства появляется уже на первых страницах, мы предпочитаем отложить обстоятельное знакомство с ним до второго курса. (Не в последнюю очередь это связано с тем, что компьютерщикиявляются обычно людьми весьма "конкретными".)15.3. Критерии эпи-(моно-, изо-)морфности. Линейный гомоморфизм ϕ : V → W конечномерных линейных пространств [размерностей dim(V ) = n и dim(W ) = m] является эпиморфизмом тогдаи только тогда, когда Im(ϕ) = W.Если в некоторых базисах оператор ϕ задается (m × n)-матрицей A ранга r, то условие эпиморфности можно выразить числовымравенством r = m.
(В этом случае мы говорим, что матрица A имеетполный ранг по строкам.)190Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2В частности, не существует эпиморфизма n-мерного пространствана m-мерное, если n < m.В силу теоремы 15.1, необходимым и достаточным условием мономорфности ϕ является тривиальность его ядра, или, что равносильно, равенство нулю его дефекта. В терминах матрицы A, дефекткоторой выражается через ранг формулой d = n − r, получается следующий критерий мономорфности: r = n. (Матрица A здесь имеетполный ранг по столбцам.)В частности, не существует мономорфизма из n-мерного пространства в m-мерное, если n > m.Гомоморфизм ϕ является изоморфизмом тогда и только тогда,когда m = n = r, т.
е. матрица A должна быть квадратной и невырожденной.Замечание 15.6. Все результаты данного пункта в частном случае арифметических линейных пространств уже фигурировали вп. 15.6 пособия [A1 ]. Правда, при лекционной реализации курса автору очень редко удавалось изложить этот материал, и в книгу онвключен из логических соображений и из надежды на существование вдумчивых (и даже въедливых) читателей.15.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
