Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 33
Текст из файла (страница 33)
Критерии обратимости (необратимости) линейныхэндоморфизмов. А этот пункт является "затравкой" для следующей главы, самой объемной и сложной в курсе. Линейный эндоморфизм (л.э.) является (см. п. 13.5) линейным гомоморфизмомϕ : V −→ V(15.6)из линейного пространства V в само это пространство.Если dim(V ) = n и в пространстве V выбран некоторый базис B,то оператору (15.6) сопоставляется квадратная (n × n)-матрица A,ранг которой, мы, как и выше, обозначим r. Будет использоватьсятакже дефект d = n − r.При m = n условия эпиморфности и мономорфности, приведенные в предыдущем пункте, оказываются равносильными друг другу,а также — условию изоморфности.
(Напомним, что изоморфизм линейного пространства на себя называется автоморфизмом.)В терминах матрицы л.э. можно утверждать, что— если r < n (или, что равносильно: d > 0; матрица A необратима), то эндоморфизм не является ни моно-, ни эпиморфизмом;— если r = n (или, что равносильно: d = 0; матрица A обратима),то эндоморфизм является автоморфизмом.§ 15Теоремы о линейных гомоморфизмах191Сформулированные выше условия используют лишь одну числовую характеристику матрицы — ее ранг (или же — связанный сним — дефект).
Однако для л.э. существуют и другие инструментыисследования их свойств, главным из которых можно назвать определитель (детерминант); см. п. 13.9. Напомним, что определительл.э. считается равным определителю его матрицы в каком-либо базисе (от выбора базиса результат не зависит).Л.э. является обратимым (необратимым) тогда и только тогда,когда его определитель отличен от нуля (равен нулю). Это сразуследует из аналогичного факта для матриц.Кроме того, можно выразить интересующие нас условия на языкеоднородных с.л.у.: невырожденность (вырожденность) матрицы Aравносильна отсутствию (наличию) у системы A · x = 0 нетривиальных решений.Соберем все упоминавшиеся выше критерии обратимости (необратимости) для эндоморфизмов в виде следующей сводки.У с л о в и я о б р а т и м о с т и (н е о б р а т и м о с т и)для линейных эндоморфизмовЛинейный эндоморфизм ϕ ∈ L(V ), заданный (n × n)-матрицей A,обратим тогда и только тогда,когда выполнено любое изравносильных условий:--------------------Ker(ϕ) = O;dfc(ϕ) = 0;Im(ϕ) = V ;rank(ϕ) = n;det(ϕ) 6= 0;необратим тогда и только тогда,когда выполнено любое изравносильных условий:-----------------------Ker(ϕ) 6= O;dfc(ϕ) > 0;Im(ϕ) 6= V ;rank(ϕ) < n;det(ϕ) = 0;dfc(A) = 0;rank(A) = n;det(A) 6= 0;dfc(A) > 0;rank(A) < n;det(A) = 0;с.л.у.
A · x = 0 имеетлишь тривиальное решение.с.л.у. A · x = 0 имеетнетривиальное решение.Глава 3СПЕКТРАЛЬНАЯ ТЕОРИЯЛИНЕЙНЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВВ КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХПРОСТРАНСТВАХ§ 16. Собственные значения (спектр)и собственные подпространствадля линейного эндоморфизма16.1.
Определение собственных значений, собственныхвекторов и собственных подпространств для линейного эндоморфизма. Мы приступаем к изучению ключевого раздела линейной алгебры, который принято красиво именовать спектральнойтеорией (или спектральным анализом) линейных операторов. Безсомнения, эта теория является важнейшим инструментом познанияприроды (причем не только природы математических, но также иреальных объектов — в естествовознании, экономике, технике).Пусть V — линейное пространство над полем P , ϕ — линейныйэндоморфизм, действующий в V .Определение 16.1.
Собственным вектором для л.э. ϕ называется такой ненулевой вектор x ∈ V, который под действием ϕ переходит в пропорциональный векторϕ(x) = λx,(16.1)где λ — коэффициент пропорциональности (скаляр, принадлежащийполю P ), который называется собственным значением для л.э.
ϕ.При этом говорят, что собственный вектор x отвечает (соответствует) собственному значению λ.Множество всех собственных значений для л.э. ϕ называется спектром этого эндоморфизма и обозначается σ(ϕ).§ 16Собственные значения и собственные подпространства193Прокомментируем данное выше определение. Согласно ему, скаляр λ принадлежит спектру оператора ϕ тогда и только тогда, когданайдется ненулевой вектор x ∈ V \{0} такой, что выполняется равенство (16.1). Это равенство можно (с привлечением тождественногоэндоморфизма ε) представить в виде ϕ(x) − λε(x) = 0, или же(ϕ − λε)(x) = 0.(16.2)Уравнение (16.2) равносильно факту принадлежности вектора xядру оператора (эндоморфизма) ϕ − λε. Таким образом, x удовлетворяет (16.1) тогда и только тогда, когдаx ∈ Ker(ϕ − λε).(16.3)Далее, скаляр λ принадлежит σ(ϕ) в том и только том случае,когда найдется ненулевой вектор x, удовлетворяющий (16.1), или,что равносильно, принадлежащий Ker(ϕ−λε).
Выходит, что принадлежность λ спектру равносильна тому, что указанное ядро являетсяненулевым:[ λ ∈ σ(ϕ) ] ⇔ [ Ker(ϕ − λε) 6= O ].(16.4)Ядро любого линейного оператора является линейным подпространством; оно может быть нулевым или ненулевым. Согласносводке условий обратимости (необратимости) для линейных эндоморфизмов (см. п. 15.4), нетривиальность ядра в (16.4) равносильнанеобратимости л.э. ϕ − λε. Поэтому[ λ ∈ σ(ϕ) ] ⇔ [ эндоморфизм ϕ − λε необратим ].(16.5)Подпространство Ker(ϕ − λε) в случае, когда оно является ненулевым, содержит все собственные векторы для л.э. ϕ, отвечающиесобственному значению λ, и, кроме них, это подпространство содержит лишь нулевой вектор, который, по определению, собственнымвектором не считается.
В связи с этим дается следующееОпределение 16.2. Пусть λ ∈ σ(ϕ). Собственным подпространством, отвечающим собственному значению λ, называется ядрооператора ϕ − λε. Используется обозначение:Sλ (ϕ) = Ker(ϕ − λε).(16.6)По построению, всякое собственное подпространство является ненулевым. Резюмируем полученные результаты в следующем предложении.194Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Предложение 16.1. Скаляр λ ∈ P является собственным значением для л.э.
ϕ ∈ L(V ) тогда и только тогда, когда выполнено любоеиз следующих утверждений:(1) Ker(ϕ − λε) 6= O;(2) л.э. ϕ − λε необратим. ¤16.2. Примеры отыскания спектра и собственных подпространствПример 16.1. Зафиксируем скаляр λ0 ∈ P и рассмотрим скалярный эндоморфизм ϕ = λ0 ε ∈ L(V ) [при λ0 = 0 получается нулевойоператор, при λ0 = 1 — тождественный].Для любого x ∈ V будем иметь ϕ(x) = λ0 x, поэтому всякий векторx ∈ V \ {0} является собственным для ϕ, отвечающим собственномузначению λ0 . Спектр является одноточечным: σ(ϕ) = {λ0 }; единственное собственное подпространство свопадает со всем пространством: Sλ0 (ϕ) = V.Пример 16.2.
В соответствии с предложением 16.1, нуль является собственным значением для л.э. ϕ ∈ L(V ) тогда и только тогда,когда оператор ϕ необратим; при этом его ядро является ненулевыми служит собственным подпространством:S0 (ϕ) = Ker(ϕ).(16.7)Выделим полученный результат (для дальнейшего использования):[ 0 ∈ σ(ϕ) ] ⇔ [ ϕ необратим ].(16.8)Пример 16.3. Рассмотрим евклидову плоскость V = R2 . Мысчитаем ее состоящей из векторов, которые все приложены в началекоординат. (Это — алгебраический подход; в геометрии плоскостьсчитается состоящей из точек и векторы могут прикладываться влюбой точке.) Рассмотрим оператор ϕ = rα поворота плоскостивокруг начала координат, против часовой стрелки, на угол α (см.[A1 , пример 15.2]).Если угол α 6= πk (k ∈ Z), то при повороте ни один ненулевой вектор не перейдет в себе пропорциональный.
Таким образом, собственных векторов не существует. Значит, не существует и собственныхзначений: σ(ϕ) = ∅.Контрольный вопрос: а что будет, если α = πk?§ 16Собственные значения и собственные подпространства195Пример 16.4. Выйдем с нашим оператором поворота в трехмерный мир V = R3 , в евклидово пространство с естественным базисом[e1 , e2 , e3 ] и координатами x1 , x2 , x3 (в аналитической геометрии выпривыкли к ~i, ~j, ~k и x, y, z). Поворот ϕ = rα будем производитьвокруг "вертикальной оси" Ox3 , которую мы (со своей алгебраической точки зрения) будем понимать как линейное подпространствоW = he3 i .
Рассмотрим также "горизонтальную плоскость" Ox1 x2 —как подпространство U = he1 , e2 i .Все векторы подпространства W остаются при действии ϕ неподвижными, т. е. являются для этого оператора собственными векторами, отвечающими собственному значению λ = 1. Все остальныевекторы реально поворачиваются и, в силу предположения α 6= πk,не могут переходить в себе пропорциональные.Так что, σ(ϕ) = {1} и S1 (ϕ) = W.Пример 16.5.
Останемся еще немного в "сфере влияния" геометрии и сохраним обозначения предыдущего примера. Но эндоморфизм будем рассматривать другой. А именно, определим операторψ : V → V как ортопроектор на плоскость U : под действием ψвсякий вектор x ∈ V переходит в свою ортопроекцию x0 ∈ U.При проектировании векторы из U остаются неподвижными и,следовательно, они составят собственное подпространство S1 (ϕ). Векторы из W проектируются в нуль, они составляют ядро оператора ψ, которое (см. пример 16.2) есть не что иное, как собственноеподпространство S0 (ψ). Больше собственных векторов нет.Итог: σ(ψ) = {0, 1}; S0 (ψ) = W ; S1 (ψ) = U.Пример 16.6.
Теперь нам предстоит небольшая "интервенция"на территорию, подконтрольную математическому анализу. Рассмотрим оператор дифференцирования ϕ = 0 как л.э. (бесконечномерного) пространства гладких функций C ∞ (R, R):ϕ(f ) (x) = f 0 (x); f ∈ C ∞ (R, R); x ∈ R.(16.9)Для любого скаляра λ ∈ R существует ненулевая гладкая функция f , такая, чтоf 0 (x) = λf (x).(16.10)Нужную функцию вы сами легко угадаете:f (x) = eλx .(16.11)196Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Можно доказать, что множество всех решений дифференциального уравнения (16.10) исчерпывается функциями aeλx (a ∈ R), пропорциональными экспоненте (16.11).
[В специальной математической дисциплине "Дифференциальные уравнения", которую вы скоро начнете изучать, устанавливаются общие теоремы о существовании и единственности решений для таких уравнений.]В результате оказывается, что любое действительное число является собственным значением для оператора дифференцирования(16.9), а соответствующие собственные подпространства являютсяодномерными, с порождающими (16.11): ®(16.12)σ(0 ) = R; Sλ (0 ) = eλx (λ ∈ R).Пример 16.7. Картина резко меняется, если оператор дифференцирования рассмотреть на (более узком, но тоже бесконечномерном) пространстве многочленов W = R[x]. Поскольку при дифференцировании степень ненулевого многочлена уменьшается на единицу, то результат может оказаться пропорциональным исходномумногочлену лишь в случае многочленов нулевой степени (констант).Коэффициентом пропорциональности в этом случае будет нуль.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
