Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Таким образом, нуль является единственным собственным значением,а соответствующее собственное подпространство состоит из всех констант.Этот вывод сохраняется, если, вместо бесконечномерного пространства всех многочленов, рассматривать конечномерное пространство Rn [x] многочленов степени, не превосходящей n.§ 17. Характеристический многочлени характеристические корнидля линейного эндоморфизма17.1. Характеристическая матрица и характеристическиймногочлен. В предыдущем парагарафе линейное пространство V,на котором был задан л.э.
ϕ не предполагалось конечномерным. Теперь мы это предположение сделаем и зафиксируем базисB = [ b1 , b2 , ... , bn ](17.1)в пространстве V. Пусть оператору ϕ в базисе B отвечает матрица A.§ 17Характеристический многочлен и его корни197Рассмотрим л.э., который фигурировал (и играл самую существенную роль) в § 16:ψ(λ) = ϕ − λε.(17.2)Здесь мы будем считать λ ∈ P параметром. Таким образом, ψ(λ)есть л.э. (оператор), зависящий от параметра. В базисе B ему соответствует (также зависящая от λ) матрицаB(λ) = A − λE.(17.3)Как станет ясно ниже (см. замечание 17.2), в некоторых формулахудобнее использовать противоположную матрицу:C(λ) = −B(λ) = λE − A.(17.4)Сразу дадим ей имя.Определение 17.1.
Матрица (17.4) называется характеристической матрицей для квадратной матрицы A = (aij )ni,j=1 .Матрицы (17.3) и (17.4) могут рассматриваться над кольцом многочленов P [λ]. В самом деле, их элементами служат многочлены(степени не выше первой) от переменной λ. Приведем развернутуюзапись характеристической матрицы:λ − a11 −a21C(λ) = ...−an1−a12λ − a22...−an2...−a1n...−a2n .......... λ − ann(17.5)Далее нам надо "освежить" (и, в некоторой степени, расширить)представление читателей об определителях.
В четвертой главе пособия [A1 ] определялись и изучались определители для квадратныхматриц с элементами из поля действительных чисел R, при этом объяснялось, что все результаты остаются справедливыми над произвольным полем. Между тем, большинство формул и теорем теорииопределителей (все те, в которых не используется деление) сохраняют силу и над произвольным коммутативным кольцом.Например, теорема Лапласа 25.1, обеспечивающая вычислениеопределителя разложением по строке или столбцу, теорема 27.1(определитель блочно-треугольной матрицы) и теорема 27.2 (мультипликативное свойство определителя) — переносятся на случай198Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3матриц с элементами из коммутативного кольца. (Несколько иначеобстоит дело с вопросами обратимости матриц, но нас это пока некоснется. Подробнее об этом см. ниже, в п. 30.1.)Итак, можно обычным образом вычислить определитель полиномиальной матрицы (17.5) и быть заранее уверенным, что результаттоже будет полиномом (многочленом).
Для этого многочлена такжевводится имя и обозначение.Определение 17.2. Характеристическим многочленом для квадратной матрицы A называется определитель ее характеристическойматрицы. Используется обозначение:hA (λ) = det(C(λ)).(17.6)Изучим влияние выбора базиса на характеристическую матрицуи характеристический многочлен. ПустьB0 = [ b01 , b02 , ... , b0n ](17.10 )— еще один базис в пространстве V и T — матрица перехода отстарого базиса к новому. Тогда в новом базисе B0 л.э. ϕ будет, всоответствии с формулой (13.14), иметь матрицуA0 = T −1 · A · T,(17.7)подобную A.Предложение 17.1.
При замене матрицы на подобную ее характеристическая матрица также заменится на подобную, а характеристический многочлен не изменится.Доказательство. Характеристическая матрица для матрицы A0может быть выражена следующим образом:C 0 (λ) = λE − A0 = λE − T −1 AT == T −1 (λE)T − T −1 A · T = T −1 (λE − A)T = T −1 C(λ)T.(Вставляя множители T −1 и T слева и справа от матрицы λE,мы использовали тот факт, что последняя матрица коммутируетсо всеми матрицами.)ФормулаC 0 (λ) = T −1 C(λ)T(17.8)§ 17Характеристический многочлен и его корни199может рассматриваться над полем P (при каждом фиксированномзначении переменной). При любом λ ∈ P матрицы C(λ) и C 0 (λ)подобны и, следовательно, по предложению 13.3, имеют одинаковыеопределители:det(C 0 (λ)) = det(C(λ)).Значит, при любом λ равны значения многочленов:hA0 (λ) = hA (λ),(17.9)т.
е. равны полиномиальные функции, соответствующие этим многочленам.О тонком различии между многочленами и полиномиальнымифункциями (которое проявляется лишь в случае, когда поле P конечно) говорилось в [A1 , п. 39.4]. Пока мы получили (17.9) как равенство полиномиальных функций. В случае бесконечного P этогодостаточно. В общем же случае надо рассмотреть (17.8) над кольцоммногочленов P [λ] и воспользоваться (справедливой и над кольцами)мультипликативностью определителя. [На первый взгляд, формула(17.8) "содержит деление", поскольку в ней фигурирует обратнаяматрица T −1 .
Но T является (обратимой) матрицей с элементамииз P , она не содержит переменную λ. А деление на ненулевые константы в кольце многочленов, разумеется, допустимо.]При таком подходе становится ясным, что (17.9) является равенством многочленов. ¤Предложение 17.1 позволяет дать иную версию определения 17.2,которая относится уже не к матрицам, но к линейным эндоморфизмам.Определение 17.20 . Характеристическим многочленом для линейного эндоморфизма ϕ называется характеристический многочлендля матрицы A, соответствующей этому эндоморфизму (в произвольном базисе):hϕ (λ) = hA (λ).(17.10)Замечание 17.1. При каждом фиксированном значении λ можнорассматривать (17.2) как линейный эндоморфизм, для которого (см.п. 13.9) имеет смысл понятие определителя, в связи с чем формулу(17.10) можно переписать в инвариантном виде:hϕ (λ) = det(λε − ϕ).(17.100 )200Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Пример 17.1. Рассмотрим скалярный л.э. ϕ = λ0 ε (λ0 ∈ P ).В любом базисе ему будет отвечать скалярная матрица A = λ0 E.Следовательно, характеристический многочлен будет выражатьсяформулойhλ0 ε (λ) = det((λ − λ0 )E) = (λ − λ0 )n ,(17.11)где n = dim(V ).17.2. Коэффициенты характеристического многочлена.Раскроем определитель (17.6) матрицы (17.5) по определению определителя (или, как еще говорят, по формуле полного разложения;см.
[A1 , § 23]).Разложение будет содержать n! членов, каждый из которых будетопределяться некоторой перестановкой σ степени n и будет представлять из себя произведение знакового множителя sgn(σ) и n элементов матрицы (взятых по одному из каждой ее строки и каждогостолбца; перестановка σ указывает, какие по номеру элементы выбираются в строках).Тождественной перестановке σ = ε соответствует произведениедиагональных элементов матрицы (17.5):(λ−a11 )(λ−a22 )...(λ−ann ) = λn −(a11 +a22 +...+ann )λn−1 +... (17.12)В правой части формулы (17.12) мы уже начали раскрывать этопроизведение. Всего после перемножения n двучленов получится(в неприведенном виде) 2n слагаемых.
Одно из них является старшим членом λn . Еще n слагаемых содержат множителем λn−1 ; ониобразуются, если из всех скобок, кроме одной, выбрать член λ; изоставшейся скобки будет выбран член −aii (i = 1, ..., n). Сгруппировав полученные члены степени n − 1, мы придем к выражению,показанному в формуле. Все остальные слагаемые будут иметь степень не выше n − 2; в формуле их сумма заменена на многоточие.Любой нетождественной перестановке σ будет соответствоватьпроизведение n элементов матрицы C(λ), в котором как минимумдва множителя являются недиагональными.
(В самом деле, диагональные элементы, входящие в произведение, соответствуют номерам, остающимся неподвижными при действии σ; если в перестановке имеется n − 1 таких номеров, то, очевидно, все n номеровнеподвижны и σ = ε.)Значит, при раскрытии скобок в этом произведении получитсямногочлен степени не выше n − 2.§ 17Характеристический многочлен и его корни201Приходим к выводу, что определитель (17.6), т. е. характеристический многочлен для (n × n)-матрицы A, имеет степень, в точности равную n. Более того, этот многочлен является нормализованным: его старший коэффициент равен единице, что непосредственноусматривается из формулы (7.12).Кстати, из этой же формулы усматривается и коэффициент, следующий за старшим: при λn−1 стоит взятый с противоположнымзнаком след матрицы A (см.
определение 13.3).Запишем характеристический многочлен по убывающим степеням λ, сначала — в общем виде (учтя нормализованность):hA (λ) = λn + c1 λn−1 + c2 λn−2 + ... + cn−2 λ2 + cn−1 λ + cn .(17.13)Затем отметим, что коэффициент c1 уже определен:c1 = −tr(A).(17.14)Не составляет труда определить также и свободный член, но приэтом применяется другой прием. Свободный член любого многочлена равен значению этого многочлена в нуле. Значит, cn = hA (0).Подставляя λ = 0 в формулу (17.6), мы получаем, что cn = det(−A),или окончательно:cn = (−1)n det(A).(17.15)Можно подвести первые итоги исследования вида характеристического многочлена.Предложение 17.2. Характеристический многочлен (n×n)-матрицы A является нормализованным многочленом степени n.
Егокоэффициенты c1 и cn выражаются через скалярные характеристикиданной матрицы (след и определитель) формулами (17.14) и (17.15).Доказательство см. выше, перед формулировкой. ¤Замечание 17.2. Если характеристический многочлен определятьне по матрице C(λ), а по B(λ) [см. формулу (17.3)], то он получится"не совсем нормализованным": старший коэффициент c0 окажетсяравным (−1)n , что гораздо менее удобно (хотя в некоторых учебниках делается именно так).Принятый нами вариант определения тоже имеет недостатки: нампридется постоянно использовать в последующих вычислениях матрицу (17.3), и одновременно будет фигурировать определитель, ноне этой матрицы, а — противоположной к ней.202Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
