Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 38
Текст из файла (страница 38)
линейное подпространство0W =sXWi ,(19.8)i=1будем называть собственной суммой для ϕ и обозначать S(ϕ).(В случае пустоты спектра л.э., т. е. при s = 0, собственная суммасчитается нулевым подпространством.)Из предложения 19.1 и замечания 19.1 немедленно следуетПредложение 19.2. Собственная суммаS(ϕ) =sXSλi (ϕ)(19.9)i=1является ϕ-инвариантным подпространством. ¤Замечание 19.3. Подпространство S(ϕ) содержит все собственные векторы для л.э. ϕ. Однако, вообще говоря, не все его векторыявляются собственными.С этим связана известная "задачка-ловилка" для студентов: "Верно ли утверждение, что сумма двух собственных векторов для линейного оператора снова является собственным вектором для этогооператора?"Простодушные студенты не замечают того, что им не уточнили,одному и тому же или разным собственным значениям отвечаютданные собственные векторы, и заявляют примерно так: "Да, поскольку собственные векторы образуют подпространство."Однако сумма двух собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям, никогда не будет собственным вектором.
(Убедитесь в этом самостоятельно, с помощью предложения 19.3, которое мы чуть ниже докажем.)Более того, приведенное выше "студенческое" утверждение ложнодаже в том случае, когда рассматриваются собственные векторы,отвечающие одному и тому же собственному значению. Дело в том,что сумма двух таких векторов может оказаться нулевым вектором,который, по определению, не считается собственным.Правильный ответ: сумма двух собственных векторов будет собственным вектором тогда и только тогда, когда они отвечают одномуи тому же собственному значению и не противоположны.222Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
319.3. Независимость в совокупности собственных подпространств л.э. В данном пункте мы докажем, что собственная суммадля л.э. является на самом деле прямой. (Разумеется, нужно исключить случай пустого спектра. Случай одноточечного спектра такжеявляется бессодержательным, хотя, конечно, никто не мешает намсчитать прямой "сумму", содержащую одно слагаемое.)Предварительно нам придется доказать вспомогательное (но важное и само по себе)Предложение 19.3.
Конечная системаA = [ a1 , a2 , ... , ak ],(19.10)составленная из собственных векторов aj (j = 1, ..., k) для л.э. ϕ, отвечающих попарно различным собственным значениям λj , линейнонезависима.Доказательство проведем индукцией по количеству k векторов вс.в. (19.10).При k = 1 эта система состоит из одного вектора: A = [a1 ], причем — ненулевого (в силу определения собственного вектора). Следовательно, в этом случае с.в. A линейно независима.Предположим теперь, что утверждение предложения справедливодля любой с.в., содержащей k собственных векторов, отвечающихk попарно различным собственным значениям, и докажем его дляпроизвольной системыA0 = [ a1 , a2 , ...
, ak , ak+1 ]; aj ∈ Sλj (ϕ),(19.11)из k + 1 собственного вектора, где снова все собственные значенияλj ∈ σ(ϕ) (j = 1, ... , k + 1) попарно различны.Предположим, что система (19.11) линейно зависима, и учтем тотфакт, что ее подсистема A, составленная из первых k векторов и имеющая вид (19.10), будет, в силу предположения индукции, линейнонезависимой.Из этого, при посредстве предложения 3.1, следует, что векторak+1 , последний из входящих в A0 , линейно выражается через A,т. е. найдутся скаляры µj ∈ P (j = 1, ... , k) такие, чтоak+1 = µ1 a1 + µ2 a2 + ...
+ µk ak .(19.12)§ 19Свойства собственных подпространств223Применим к обеим частям равенства (19.12) оператор ϕ, воспользуемся его линейностью, а также определением собственных векторов:ϕ(aj ) = λj aj ; j = 1, ... , k + 1.(19.13)Получим:λk+1 ak+1 = µ1 λ1 a1 + µ2 λ2 a2 + ... + µk λk ak ,(19.14)или, после подстановки в левую часть (19.14) выражения (19.12) длявектора ak+1 :λk+1 (µ1 a1 +µ2 a2 +...+µk ak ) = µ1 λ1 a1 +µ2 λ2 a2 +...+µk λk ak .
(19.140 )Перенося в равенстве (19.140 ) все слагаемые в левую часть и группируя их (с использованием аксиом линейного пространства), мыпридем к следующему соотношению:µ1 (λk+1 − λ1 )a1 + µ2 (λk+1 − λ2 )a2 + ... + µk (λk+1 − λk )ak = 0. (19.15)Равенство (19.15) представляет некоторую линейную комбинациюдля с.в. A, значение которой равно нулю. В силу линейной независимости системы A, все коэффициенты этой линейной комбинациидолжны равняться нулю:µj (λk+1 − λj ) = 0; j = 1, ..., k.(19.16)Однако разности λk+1 − λj (j = 1, ..., k) в формулах (19.16) отличны от нуля, т. к., по предположению, все собственные значенияпопарно различны.
Значит, обращаются в нуль все коэффициентыµj (j = 1, ..., k).Возвращаясь к выражению (19.12), получаем, что ak+1 = 0. А этоуже противоречие: собственный вектор не может быть нулевым.Убеждаемся в ошибочности предположения о линейной зависимости с.в. A0 . Следовательно, эта система линейно независима; шагиндукции успешно завершен; предложение доказано. ¤Теперь мы в состоянии доказать "прямизну" собственной суммы (19.9).224Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Теорема 19.1. 1. Собственные подпространства Wi = Sλi (ϕ)(i = 1, ..., s) для линейного эндоморфизма ϕ, действующего в конечномерном пространстве V, независимы в совокупности.2. Собственная сумма является прямой:S(ϕ) =sMSλi (ϕ).(19.17)i=13. В подпространстве W 0 = S(ϕ) можно выбрать базис видаB0 = [ B1 , B2 , ... , Bs ],(19.18)где все Bi (i = 1, ..., s) являются базисами в соответствующих собственных подпространствах Wi .4. Размерность подпространства (19.17) равняется сумме n0 геометрических кратностей всех собственных значений:00dim(W ) = n =sXni .(19.19)i=1Доказательство.
1. Докажем что собственные подпространстваWi = Sλi (ϕ) независимы в совокупности (см. определение 9.2), т. е.установим тривиальность всех пересечений:cj = O; j = 1, ..., s,Wj ∩ Wгдеcj =WsXWi .(19.20)(19.21)i=1i6=jПредположим, что существует ненулевой вектор x, принадежаcj . Тогда имеет место равенствощий пересечению Wj ∩ Wx=sXyi ,i=1i6=jгде x ∈ Wj ; yi ∈ Wi (i = 1, ... , s; i 6= j).(19.22)§ 20Линейные эндоморфизмы в прямой сумме225Среди векторов-слагаемых в правой части (19.22) обязательно существуют ненулевые (иначе нулевым был бы вектор x). Оставим всумме только их и новую сумму (без нулевых слагаемых) пометимштрихом:sX0x=yi .(19.220 )i=1i6=jПоследняя формула представляет собой линейное соотношениедля системы векторов, составленной из вектора x и тех yi , которые отличны от нуля.
Следовательно, указанная с.в. будет линейнозависимой.Между тем она составлена из собственных векторов для л.э. ϕ,отвечающих попарно различным собственным значениям. Получилось противоречие с результатом предыдущего предложения. Значит, предположение о нетривиальности какого-либо из пересечений(19.20) ошибочно, и первое утверждение теоремы доказано.2. Второе утверждение немедленно вытекает из первого в силу"критерия прямизны" (см. предложение 9.1).3. Напомним (см. замечание 9.3) термин: базис, приспособленныйк прямой сумме. О существовании именно такого базиса говоритсяв третьем утверждении теоремы.
Оно справедливо в силу предложения 9.2.4. Четвертое утверждение вытекает из третьего (и, в свою очередь, влечет неравенство n0 6 n). ¤§ 20. Линейные эндоморфизмы в прямой суммеи их матрицы20.1. Операторы вложения и проектирования в полнойпрямой сумме и их матрицы. Данный параграф не относитсянепосредственно к спектральной теории линейных эндоморфизмов.Мы систематизируем в нем (уже неоднократно "всплывавший") материал, относящийся к линейным операторам, которые действуютв линейном пространстве, разбитом в (полную) прямую сумму линейных подпространств. Если в таком пространстве выбрать приспособленный к указанному разбиению базис, то всякому л.э.
будетсоответствовать (квадратная) матрица, имеющая особое — блочное(или клеточное) — строение.226Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Блочные матрицы (не обязательно квадратные) нам встречались,начиная с § 5 пособия [A1 ]; см. также п. 27.1 этого пособия, в котором доказывалась теорема об определителе квадратной, блочно треугольной матрицы. Кроме того, вы можете припомнить материалпримера 12.3 из настоящего пособия. Ясно, что блочные матрицыочень важны и удобны в вычислениях. Нам предстоит подробноразобраться в том, как и почему они возникают, какой операторныйсмысл имеют.Первый пункт параграфа фактически будет продолжением п. 9.3,в котором были введены в рассмотрение операторы вложения прямых слагаемых в сумму и операторы проектирования суммы на прямые слагаемые.
Мы разберемся с этими операторами более детально, вычислим соответствующие им матрицы (в предположении, чтопрямая сумма наделяется приспособленным базисом).Итак, пусть n-мерное линейное пространство V (над полем P )разбито в прямую суммуV =sMWi(20.1)i=1Psлинейных подпространств Wi 6 V [ dim(Wi ) = ni ; i=1 ni = n ].Рассмотрим порождаемые разложением (20.1) операторы вложения [см. (9.36)]αi : Wi −→ V ; αi (yi ) = yi ; yi ∈ Wi (i = 1, ... , s),(20.2)а также [см. (9.37)] — операторы проектированияπi : V −→ Wi ; πi (x) = yi ; x =sXyi ∈ V (i = 1, ... , s).(20.3)i=1Напомним соотношения между этими операторами [см. формулы(9.38) и (9.40)]:πi ◦ αi = εi ;(20.4)πi ◦ αj = o (i 6= j),(20.5)где i, j = 1, ... , s; o — нулевые операторы, а εi — тождественные(в подпространствах с соответствующими номерами).Будут использваться также эндоморфизмы проектирования [или,как они короче именуются, проекторы; см.(9.39)]ρi = αi ◦ πi : V −→ V ; i = 1, ...
s,(20.6)§ 20Линейные эндоморфизмы в прямой сумме227обладающие [см. (9.41) — (9.43)] свойствами:ρ2i= ρi ; ρi ◦ ρj = o (i 6= j);sXρi = ε.(20.7)i=1Выберем в каждом из прямых слагаемых Wi произвольный базис Bi . Объединив эти базисы и приняв сквозную нумерацию векторов, мы получим [приспособленный к разбиению (20.1)] базис впространстве V :B = [B1 , B2 , ... , Bs ] = [b1 , ..., bn1 , bn1 +1 , ..., bn1 +n2 , ..., bn ].(20.8)Вектор, занимающий k-ю позицию в базисе Bi (1 6 k 6 ni ) будетиметь сквозной номерk 0 = n1 + ... + ni−1 + k(20.9)в объединенном базисе (20.8).Определим матрицу оператора вложения (20.2) относительно базисов Bi в Wi и B в V .
Образом k-го вектора из базиса Bi привложении αi будет этот же самый вектор, но рассматриваемый вовсем пространстве V . Если разложить этот вектор по объединенному базису B, то все координаты будут равны нулю, кроме одной(равной единице), которая будет иметь "сквозной номер" k 0 , определяемый формулой (20.9).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
