Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 39

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 39)

Так что получится координатный столбецek0 ∈ P n . Приходим к выводу, что оператору αi будет соответствовать матрицаOn ×n 1 i ··· E .Ei = (20.10)ni ×ni n×ni ··· Ons ×niМатрица, отвечающая πi (в базисах B и Bi ), должна иметь размеры ni × n; векторы базиса Bi оператором πi отображаются сами всебя; при этом элемент базиса B со сквозным номером k 0 переходитв элемент Bi с номером k, что дает единичный вектор ek в качестве столбца с номером k 0 в матрице, соответствующей πi ; остальные базисные векторы, входящие в B, отображаются в нуль.

Такимобразом, оператору πi соответствует матрица228Спектральная теория линейных эндоморфизмов³Πini ×n=Oni ×n1...Eni ×ni...OГл. 3´ni ×ns.(20.11)Матрица Pi проектора ρi находится либо непосредственно, либо —как произведение:O...O ...On1 ×nin1 ×ns n1 ×n1 ... ... ... ... ...  O...O Pi = Ei · Πi =  ni ×n1 . . . niE.(20.12)×nn×ns iin×nn×ni ni ×n ... ... ... ... ... O...O ...Ons ×n1ns ×nins ×nsРазумеется, свойства (20.4), (20.5), (20.7) операторов (20.2), (20.3),(20.6) находят свое матричное выражение. [Например, последнее изсвойств (20.7) проявляется в том, что сумма всех матриц Pi равняется единичной (n × n)-матрице.]20.2.

Полные прямые суммы и фильтрации. Сумму линейных подпространств (20.1) можно "собирать постепенно", формируячастичные суммыW0q = O; Wqi = W1 ⊕ W2 ⊕ · · · ⊕ Wi ; i = 1, ..., s.(20.13)Частичные суммы (20.13) образуют строго возрастающую (если,конечно, среди слагаемых нет нулевых) последовательность подпространствO = W0q < W1q < W2q < ... < Wsq = V,(20.14)которую принято называть фильтрацией или флагом.Обратно, по всякой фильтрацииO = Y0 < Y1 < Y2 < ... < Ys−1 < Ys = V,(20.15)можно (хотя и не однозначно) построить прямую сумму вида (20.1)такую, что Wqi = Yi (i = 1, ... , s), если положить W1 = Y1 и длялюбого i (1 < i 6 s) взять в качестве Wi (произвольное) прямоедополнение к Yi−1 в Yi .В фильтрации (20.14) размерностями подпространств Wqi будуткумулятивные (накапливаемые) размерностиnqi = n1 + n2 + ...

+ ni ; i = 1, ... , s.(20.16)§ 20Линейные эндоморфизмы в прямой сумме229Попробуйте обосновать следующее простое утверждение: суммаэндоморфизмов проектированияρqi = ρ1 + ρ2 + ... + ρiявляется проектором на подпространство Wqi .20.3. Матрица л.э., действующего в полной прямой сумме, и ее блочное строение. Рассмотрим л.э.ϕ : V −→ V(20.17)полной прямой суммы (20.1) в себя. Его можно сузить на любое изпрямых слагаемых Wj (j = 1, ... , s).

Получатся линейные операторы(гомоморфизмы)¯ϕj = ϕ¯W = ϕ ◦ αj : Wj −→ V ; ϕj (x) = ϕ(x); x ∈ Wj .(20.18)j(Обратите внимание на то, что сужение оператора на подпространство можно представить как его композицию с оператором вложения для подпространства.)Далее, для любого i = 1, ... , s можно взять композицию оператора(20.18) и (применяемого следующим) оператора πi ; так возникаютоператорыϕij = πi ◦ ϕj = πi ◦ ϕ ◦ αj : Wj −→ Wi ,(20.19)действующие по правилу:ϕij (x) = πi (ϕ(x)); x ∈ Wj .(20.20)При i = j оператор ϕii является эндоморфизмом подпространства Wi .Снова привлечем базисы Bi в подпространствах-слагаемых и приспособленный к прямой сумме базис (20.8) и опишем матрицу, отвечающую л.э. ϕ.Предложение 20.1.

Пусть операторам ϕij отвечают (в базисах Bj и Bi ) матрицы Aij (i, j = 1, ..., s). Тогда операторам ϕj будутсоответствовать (в базисах Bj и B) матрицыA1jn1 ×nj  A2j n2 ×nj  ,Aj = (20.21)n×nj ··· Asjns ×nj230Спектральная теория линейных эндоморфизмова исходный л.э. ϕ будет иметь (в базисе B) матрицуA12 . . . A1sA11n1 ×ns n1 ×n1 n1 ×n2A22 .

. . A2s  A21n2 ×ns A =  n2 ×n1 n2 ×n2.n×n ...... ... ... As1As2 . . . Assns ×n1ns ×n2Гл. 3(20.22)ns ×nsДоказательство. В самом деле, рассмотрим какой-либо вектор(скажем, k-й) из базиса Bj . Образ этого вектора при действии оператора ϕ (или, что равносильно, — оператора ϕj ) можно разложитьпо базису B, а затем в полученной сумме сгрупировать слагаемые поих принадлежности подпространствам Wi . Сумма первых n1 слагаемых является первой проекцией полученного вектора; в этой суммескалярные коэффициенты при векторах базиса B1 образуют (n1 ×1)столбец, который (по определению матрицы линейного оператора)будет k-м столбцом (n1 × nj )-матрицы A1j . Аналогично, сумма следующих n2 слагаемых в разложении вектора-образа определит k-йстолбец (n2 × nj )-матрицы A2j ; и т.

д.Соединенные в один, все эти столбцы составят k-й столбец матрицы, отвечающей оператору ϕj , которая, таким образом, будет иметьблочный вид (20.21). Далее, k-й столбец Aj входит в матрицу дляоператора ϕ под сквозным номером k 0 = n1 + ... + nj−1 + k [ср. с формулой (20.9)]. Значит, матрица для ϕ имеет блочный вид (20.22). ¤Пример 20.1. Давно замечено, что "формулы с многоточиями"(заменяющими оборот "и т. д.") вызывают у многих первокурсников(вспомним английское "freshmen") страх и недоумение. Попробуемобъяснить идею блочной структуры матриц, не употребляя многоточий (но и без комментариев), на небольшом примере.ϕ : V −→ V ; V = V1 ⊕ V2 ⊕ V3 ; n = 6; n1 = 3, n2 = 1, n3 = 2;B = [B1 , B2 , B3 ]; B1 = [b1 , b2 , b3 ]; B2 = [b4 ]; B3 = [b5 , b6 ];ϕ(b1 )=ϕ1 (b1 )=ϕ11 (b1 )+ϕ21 (b1 )+ϕ31 (b1 )=(a11 b1 +a21 b2 +a31 b3 )+a41 b4 +(a51 b5 +a61 b6 );ϕ(b2 )=ϕ1 (b2 )=ϕ11 (b2 )+ϕ21 (b2 )+ϕ31 (b2 )=(a12 b1 +a22 b2 +a32 b3 )+a42 b4 +(a52 b5 +a62 b6 );ϕ(b3 )=ϕ1 (b3 )=ϕ11 (b3 )+ϕ21 (b3 )+ϕ31 (b3 )=(a13 b1 +a23 b2 +a33 b3 )+a43 b4 +(a53 b5 +a63 b6 );§ 20Линейные эндоморфизмы в прямой сумме231ϕ(b4 )=ϕ2 (b4 )=ϕ12 (b4 )+ϕ22 (b4 )+ϕ32 (b4 )=(a14 b1 +a24 b2 +a34 b3 )+a44 b4 +(a54 b5 +a64 b6 );ϕ(b5 )=ϕ3 (b5 )=ϕ13 (b5 )+ϕ23 (b5 )+ϕ33 (b5 )=(a15 b1 +a25 b2 +a35 b3 )+a45 b4 +(a55 b5 +a65 b6 );ϕ(b6 )=ϕ3 (b6 )=ϕ13 (b6 )+ϕ23 (b6 )+ϕ33 (b6 )=(a16 b1 +a26 b2 +a36 b3 )+a46 b4 +(a56 b5 +a66 b6 );¯¯¯¯¯´³¯¯¯¯¯A = ϕ(b1 ) ¯ϕ(b2 ) ¯ϕ(b3 ) ¯ϕ(b4 ) ¯ϕ(b5 ) ¯ϕ(b6 ) =6×6a11a21a31=a41a51a61a12 a13 a14 a15 a16AAA111213a22 a23 a24 a25 a263×3 3×1 3×2³´ a32 a33 a34 a35 a36A21 A22 A23  . = A1 A2 A3 =  1×3 1×1 1×2 6×3 6×1 6×2a42 a43 a44 a45 a46A31 A32 A33a52 a53 a54 a55 a562×3 2×1 2×2a62 a63 a64 a65 a6620.4.∗ Умножение блочных матриц.

Рассмотрим две (n × n)матрицы с одинаковым блочным строением: матрицу A вида (20.22)и аналогичного вида матрицуB11 n1 ×n1 B21B =  n2 ×n1n×n ...Bs1ns ×n1B12n1 ×n2B22n2 ×n2...Bs2ns ×n2...B1sn1 ×ns. . . B2s n2 ×ns .... ... . . . Bss(22.23)ns ×nsПредложение 20.2. Произведение C = A·B имеет блочное строение, такое же, как и матрицы-сомножители:C11 n1 ×n1 C21C =  n2 ×n1n×n ...Cs1ns ×n1C12n1 ×n2C22n2 ×n2...Cs2ns ×n2...C1sn1 ×ns.

. . C2s n2 ×ns .... ... . . . Cssns ×ns(20.24)232Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Блоки матрицы (20.24) вычисляются по формулам:Cilni ×nl=sXAij · Bjl .j=1 ni ×nj(20.25)nj ×nlДоказательство. Представим матрицу A в виде суммы s2 матриц:sXA=Aij ,(20.26)i,j=1каждая из которых имеет блочное строение, совпадающее с блочнымстроением A, при том, что все блоки, кроме Aij , являются нулевыми.Аналогичным образом представим B:B=sXBkl .(20.27)k,l=1Произведение представится в виде суммы s4 матриц:sXC =A·B =Aij · Bkl .(20.28)i,j,k,l=1Нетрудно заметить, что при j 6= k произведение Aij · Bkl = O.(Ненулевая зона строк A, проходящих через блок Aij , "разминётся"с ненулевой зоной столбцов B, проходящих через блок Bkl .) Следовательно, в правой части (20.28) останется s3 слагаемых, которыемы сгруппируем следующим образом:C =A·B =sXi,l=1sXAij · Bjl  .(20.29)j=1Заметим далее, что каждое из произведений Aij · Bjl (j = 1, ..., s)имеет единственный ненулевой (ni × nl )-блок (на пересечении i-йзоны по строкам и l-й зоны по столбцам), который мы обозначим§ 20Линейные эндоморфизмы в прямой сумме(j)Cil = Aij · Bjl .233(20.30)В принятых выше обозначениях получится:(j)Aij · Bjl = Cil .(20.31)Таким образом, для матрицы C мы будем иметь представление,аналогичное (20.26) и (20.27):C=sXCil ,(20.32)i,l=1с блокамиCil =sXj=1(j)Cil=sXAij · Bjl ,(20.33)j=1и предложение доказано.

Характеристики

Список файлов книги