Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 42

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 42)

0 0  0 0 0 1 ... 0 0 B 0 = A − λ0 E =  = Jn (0) . (21.18) ... ... ... ... ... ... ... 0 0 0 0 ... 0 10 0 0 0 ... 0 0Он, очевидно, равен n − 1. Значит,n0 = n − rank(B0 ) = n − (n − 1) = 1.244Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Поскольку собственное значение только одно, то сумма n0 всехгеометрических кратностей также сводится к n0 = 1 < n.

По теореме 21.1, л.э. ϕ не является диагонализируемым.Замечание 21.2. Весь пафос оставшейся части настоящей главысостоит в том, что примеров хуже, чем только что рассмотренный, несуществует. Простейшим видом, к которому может быть приведенаматрица произвольного л.э., оказывается блочно-диагональный вид,с жордановыми ящиками на диагонали. (Правда, такое заключениесправедливо лишь над алгебраически замкнутыми полями.)Замечание 21.3. Если же поле не является алгебраически замкнутым, то спектр л.э. может содержать "слишком мало элементов",что выражается в наличии строгого неравенства m0 < m (см. предложение 17.4). Самым крайним здесь является случай пустоты спектра.

(То, что такое возможно, нам известно из примера 16.3.) Еслиспектр л.э. пуст, то нельзя даже ставить вопрос о диагонализируемости: диагонализирующий базис должен состоять из собственныхвекторов, а их нет ввиду того, что нет собственных значений.В некоторых случаях такое положение дел может быть исправлено с помощью расширения основного поля P до алгебраическогозамыкания P (см. [A1 , замечание 40.4]).Пример 21.2 (продолжение примера 16.3). Рассмотрим линейный оператор ϕ = rα : R2 → R2 поворота евклидовой плоскости наугол α 6= πk (k ∈ Z). В естественном базисе E2 ему отвечает матрицаµA=cos αsin α− sin αcos α¶,характеристический многочлен для которой имеет, как легко убедиться, видhA (λ) = λ2 − 2λ cos α + 1и не имеет действительных корней, поскольку его дискриминантD = −4 sin2 α < 0.

Значит, σ(ϕ) = ∅, что нами уже получено изгеометрических соображений.Алгебраическим замыканием поля действительных чисел служитполе комплексных чисел: C = R. Всякую матрицу с действительными элементами допустимо рассматривать как матрицу с комплексными элементами. Поэтому, помимо оператора ϕ, действующего по§ 21Диагонализируемые линейные эндоморфизмы245формуле ϕ(x) = A · x на векторы x ∈ R2 , можно ввести линейный оператор ψ : C2 → C2 , действующий по аналогичной формулеψ(z) = A · z на векторы z ∈ C2 .

Матрица A отвечала оператору ϕв естественном базисе пространства R2 ; она же будет отвечать ψв естественном базисе пространства C2 (который снова обозначается E2 , хотя это — уже другой базис).Здесь мы впервые сталкиваемся с важным понятием комплексификации для линейных пространств и линейных отображений надполем действительных чисел. Несколько подробнее эта идея будетобсуждаться ниже; см.

п. 27.4.В поле C многочлен hA (λ) имеет два различных (сопряженныхдруг другу) комплексных корня: λ1,2 = cos α ± i sin α.Применение надчеркивания для обозначения векторов-столбцовзапрещает нам здесь применять его для обозначения комплексного сопряжения. Придется "выкручиваться"; во втором случае мы(временно) будем использовать не черту, а волну (тильду):f1 = cos α − i sin α.λ1 = cos α + i sin α; λ2 = λУкажем также на возможность использования показательной формы записи комплексных чисел: λ1 = eiα , λ2 = e−iα .Комплексные числа λ1,2 будут собственными значениями для ψ.Выясняется, что этот оператор имеет простой спектр:σ(ψ) = { eiα , e−iα }.По предложению 21.3, он является диагонализируемым, причем вдиагонализирующем базисе ему соответствует матрица:µ iα¶e0D=.0 e−iαДля практического определения диагонализирующего базиса необходимо найти (базисные) собственные векторы, отвечающие λk(k = 1, 2).Для λ1 выписываем и преобразуем следующую матрицу:µ¶−i sin α − sin αB1 = A − λ1 E =−→sin α−i sin ᵶ−i −1−→−→ ( 1 −i ) ,1 −i246Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.

3где на последенем шаге замечено, что первая строка пропорциональна второй (с коэффициентом пропорциональности −i).Однородная с.л.у. B1 · z = 0 сводится к уравнению z1 − iz2 = 0,решая которое мы получаем первый базисный векторµ ¶if1 =.1Действуя совершенно аналогично, для второго собственного значения λ2 найдем базисный собственный векторµ ¶−if2 =.1Полезно заметить, что он получился комплексно-сопряженнымпервому: f = ff .21Таким образом, матрица перехода от исходного (естественного)базиса в C2 к диагонализирующему базису определяется формуло鵶i −iF =.1 1(Проверьте вычисления, убедившись в справедливости равенстваD = F −1 AF.)Пример 21.3. Maple позволяет сразу исследовать на диагонализируемость, как данный л.э., так и его комплексификацию (см.пример 21.2).

Пусть, например, л.э. задан матрицей4 −5 7A =  1 −4 9  .−4 0 5Применение уже известной нам (см. пример 18.3) команды Eigenvectors дает:> Eigenvectors( A );33− I4 42 + 3I 2 − 3I  ,  5 3 − I4 4113 3+ I4 45 3+ I4 41121§ 21Диагонализируемые линейные эндоморфизмы247Выясняется, что над C эндоморфизм имеет простой спектр (онпоказан в первом выведенном столбце) и, следовательно, являетсядиагонализируемым. Диагонализирующий базис представлен вторым элементом вывода — матрицей.Над R имеется только одно собственное значение, которому отвечает одномерное собственное подпространство. Диагонализируемости, естественно, нет.Еще раз подчеркнем, что бывают операторы и матрицы, недиагонализируемость которых не устранима никаким расширением основного поля P (см.

жордановы ящики в примере 21.1), а бывают такие,недиагонализируемость которых проистекает от "несовершенства"этого поля. В последнем случае положение исправляется переходомк алгебраическому замыканию P .21.7. Алгоритм исследования линейного эндоморфизмана диагонализируемость. Описываемый ниже алгоритм является по сути продолжением изученного ранее алгоритма 18.1. Даженумерацию этапов мы начнем с десятого.А л г о р и т м 21.

1 (продолжение алгоритма 18.1).Исследование л.э. ϕ : V → V на диагонализируемость.Отыскание (частично) диагонализирующего базиса10. Если n0 = n, то заключаем, что оператор ϕ является диагонализируемым. Диагонализирующий базис будут составлять столбцы(n × n)-матрицыF = (F1 |F2 |... | Fs ) .(21.19)В этом базисе оператору ϕ будет отвечать матрицаλ E1D=F−1n1λ2 En2AF = ....(21.20)λs Ens(Формулу F D = AF и условие det(F ) 6= 0 можно использоватьдля проверки.)11.

Если n0 < n, то матрицаF0n×n0= (F1 |F2 |... | Fs )(21.190 )248Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3будет содержать базис в собственной сумме W 0 = S(ϕ). С помощью алгоритма 10.4 продолжим этот базис в W 0 до базиса во всемпространстве. Будут добавлены n00 = n − n0 векторов, составляющиебазис в некотором прямом дополнении W 00 к подпространству W 0 .Припишем содержащую эти векторы (n × n00 )-матрицу K к матрице(21.19). Квадратная (n × n)-матрицаT = (F 0 |K)(21.21)содержит частично диагонализирующий базис в V, в котором оператору ϕ будет соответствовать частично диагональная (блочно-треугольная с диагональным северо-западным блоком) матрицаλ1 En1 O0−1A = T AT =  .

. . OOO...Oλ2 En2 . . .OC10......O. . . λs EnsC20 ,... Cs0 O...C 00...O(21.22)последний "блочный стоьбец" которой составлен из (ni × n00 )-блоковCi0 (i = 1, ... , s) и (n00 × n00 )-блока C 00 .Пример 21.4 (продолжение примера 18.1). Дорешаем задачу,рассмотренную в примере 18.1.Поскольку n0 = 3 < 6 = n, матрица0 −1 10F = (F1 |F2 ) =  01001−100110 0 0 −11содержит базис только лишь в собственной сумме, не совпадающейсо всем пространством. Чтобы найти базис в каком-либо прямомдополнении к собственной сумме, составляем матрицу-конкатенацию(F 0 |E) и приводим ее к ступенчатому виду:§ 220 −1 1 010Свойства характеристического многочлена01−10011000−11¯¯1¯¯0¯¯0¯¯0¯¯0¯00100000 00 01 00 10 00 0−1 0 0→ 0000 00 00 0 → ··· →0 01 00 1¯11 0 ¯ 0¯11 −1 ¯ 0¯00 1 ¯ 1¯0 0 ¯ −2 −1¯10 0 ¯ 0¯000 00000102490 0 00 1 00 0 0.0 −1 1 0 0 01 0 0Разобравшись со ступеньками, определяем, что к матрице F 0 надоприсоединить единичные векторы e1 , e2 и e4 .

Получим матрицу001 1 0 00 0 1 0 −1 1 1 −1 0 0 0 0 T =,00 0 0 1 010 −1 0 0 0011 0 0 0содержащую частично диагонализирующий базис. В этом базиседанный л.э. будет иметь матрицу частично диагонального вида, которая вычисляется с помощью перемножения:−1 0 0 1 −1 5/2 0 −1 0 −1 1 −3/2 0 0 −2 0 1 −1/2D = T −1 AT = . 0 0 0 −2 0 −1/2 0 0 0 2 −4 4 0 0 0 2 −2 2Северо-западный (3 × 3)-блок представляет "диагонализируемуючасть" данного оператора, т.

е. его сужение на прямую сумму собственных подпространств.250Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3§ 22. Свойства характеристического многочлена22.1. Характеристический многочлен для сужения л.э. наего инвариантное подпространство. Снова, как и в пункте 20.5,рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном пространстве V и имеющий нетривиальное инвариантное подпространствоW1 6 V [dim(W1 ) = n1 ]. Возьмем произвольное прямое дополнение W2 к W1 и выберем базис B = [B1 , B2 ], приспособленный кпрямой сумме V = W1 ⊕ W2 .

Характеристики

Список файлов книги