Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

300 −1 1  1 −1 F1 = .0  01001Количество столбцов в этой матрице дает геометрическую кратность n1 = 2 для первого собственного значения.7.1. Первое собственное подпространство может быть представлено в виде: 00* −1   1 +  1   −1 W1 = Sλ1 (ϕ) = RF1 =  ., 0   0  01105.2.0 0 2B2 = A − λ2 E = A + 2E =  21−110−2−2−221−1−2−3−22−10443−26.2.1 0  0 F2 =  ; n2 = 1. 0 −117.2.W2 = Sλ2 (ϕ) = RF21* 0 + 0 =  . 0 −110 00 0 1 −1 .1 −1 1 00 1§ 18Алгоритм отыскания собственных подпространств8 — 9. Оформляем сводную таблицу:λ1 = −1;m1 = 4;Sλ1 (ϕ) = RF1 ;λ2 = −2;m2 = 2;Sλ2 (ϕ) = RF2 ;m0 = 6 = n;n0 = 3 < n.21500 −1 1  1 −1 F1 =  ; n1 = 2;0  010011 0  0 F2 =  ; n2 = 1; 0 −11Пример 18.2.

Опишем возможности системы Maple в задачахспектральной теории матриц. Сохраним условия предыдущегопримера. Подгрузим пакет LinearAlgebra и введем матрицу A (см.п. 7.4).Сразу отметим некоторое расхождение нашей терминологии с терминологией Maple: мы называли характеристической для матрицыA матрицу C(λ) = λE − A = −B(λ); Maple присваивает это имяматрице B(λ). При этом характеристический многочлен понимается так же, как и у нас: hA (λ) = det(C(λ)), что, по-видимому, является не очень последовательным. Мы придерживаемся традицийотечественной учебной литературы.Функция> C := − CharacteristicMatrix( A, lambda );возвращает характеристическую матрицу в нашем смысле.

Вычислив (с помощью функции Determinant) ее определитель, мы получимхарактеристический многочлен. Но это можно сделать сразу:> h := CharacteristicPolynomial( A, lambda );h := λ6 + 8λ5 + 26λ4 + 4λ3 + 41λ2 + 20λ + 4Можно использовать команду разложения многочлена на множители (см. п. 40.5 пособия [A1 ]):> factor( h );(λ + 1)4 (λ + 2)2216Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Из полученного разложения усматриваются характеристическиекорни, вместе с их (алгебраическими) кратностями. Другой способотыскания спектра состоит в применении команды roots (также известной нам из указанного выше пункта первого пособия).Однако есть и "специализированная" команда Eigenvalues, возвращающая (по умолчанию) вектор-столбец, составленный из собственных значений, каждое из которых повторяется столько раз, какова его кратность:> Eigenvalues( A );−1 −1  −1  −1 −2−2Можно переопределить формат вывода и получить в ответе список собственных значений:> Eigenvalues( A, output = ’list’ );[−1, −1, −1, −1, −2, −2]Кратко обсудим "лингвистический" вопрос: что за "полунемецкоесловечко" используется для обозначения функции вычисления спектра? Пути распространения математической терминологии, ее воспрятия различными языками бывают весьма затейливыми.

В "английский математический" термин собственное значение пришел изнемецкого, где он выглядит следующим образом: Eigenwert. Англичане "перевели полслова" и получили: eigenvalue. В таком видетермин перекочевал в Maple, в пакет linalg. В пакете LinearAlgebra все команды пишутся с большой буквы (что еще более сближаетиспользуемое слово с немецким первоисточником).Впрочем, функция Eigenvalues не представляет серьезного интереса, поскольку имеется ее значительно расширенный вариант —функция Eigenvectors, возвращающая не только собственные значения (с кратностями), но и базисы в собственных подпространствах.В самой краткой своей форме эта функция работает следующимобразом:§ 18Алгоритм отыскания собственных подпространств217> Eigenvectors( A );−1 −1  −1 , −1 −2−20 1 −1 0010−110100 00 00 00 00 00 01000−11000000Обратите внимание, прежде всего, на то, что ответ представляет собой последовательность.

Это особый тип данных (’exprseq’) всистеме Maple. По "внешнему виду" он отличается от списка (’list’)отсутствием окружающих квадратных скобок. (Но имеются и болеесущественные отличия — в правилах манипулирования с переменными указанных типов.)Далее, первый элемент в последовательности совпадает с тем, чтовыводит команда Eigenvalues. Вторым элементом служит матрица,содержащая базисные векторы в собственных подпространствах и,может быть, — нулевые векторы (которые собственными, как известно, не являются и поэтому "подлежат безжалостному удалению").Последнее обстоятельство делает принятый по умолчанию интерфейс не слишком удачным.

Но все можно исправить, отрегулировавoutput:> ev := Eigenvectors( A, output = ’list’ );  00 1  1   −1   0    −1   1    0  ev := −1, 4, ,  , −2, 2,  00  0   1  0 −1 101Теперь на выходе мы получили список из двух трехэлементныхсписков вида[собств. значение, алг. кратность, {базис в собств. подпространстве}].Третьим элементом показанного выше списка служит (заключенное в фигурные скобки) множество (’set’), элементами которого являются базисные векторы в собственном подпространстве.Фундаментальные матрицы, которые как раз и составляются изэтих базисных векторов, легко "добыть" из общего ответа ev:218Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.

3> F1 := < ev[1][3][1] | ev[1][3][2] >; F2 := < ev[2][3][1] >;Поясним, во-первых, что в командах выше используются shortcuts(обозначения, содержащие угловые и вертикальные ограничители;см. п. 7.4).Во-вторых, расшифруем выражение ev[1][3][1]: в списке ev берется первый элемент — тоже список, в нем выбирается третий элемент — множество, из которого извлекается его первый элемент —вектор-столбец. Аналогично понимаются все подобные выражения.Не упустите такое обстоятельство: даже в множестве, состоящемиз одного единственного элемента, этот элемент следует "выбирать"(как первый).§ 19.

Свойства собственных подпространств19.1. Подпространства, инвариантные относительно л.э.Введем одно из важнейших понятий теории линейных эндоморфизмов (операторов).Определение 19.1. Линейное подпространство W 6 V в линейном пространстве V называется инвариантным относительнолинейного оператора ϕ ∈ L(V ) (или: ϕ-инвариантным), еслиϕ(W ) ⊆ W,(19.1)т. е.

если это подпространство переходит в себя под действием эндоморфизма ϕ.Всякий линейный оператор ϕ : V → V можно сузить (ограничить)на любое подпространство W 6 V . При этом возникает¯ новый опе0ратор (при W 6= V уже — не эндоморфизм): ϕ = ϕ¯W : W → V.Если W является ϕ-инвариантным, то образ ϕ0 содержится в W иэтот оператор можно рассматривать как л.э.ϕ0 : W −→ W ; ϕ0 (x) = ϕ(x); x ∈ W.(19.2)Тривиальные подпространства W = O и W = V инвариантныотносительно любого л.э.Имеется "противоположная крайность": если эндоморфизм является скалярным: ϕ = λε (λ ∈ P ), то любое подпространство являетсяотносительно него инвариантным.§ 19Свойства собственных подпространств219Из последнего факта следует, что если подпространство W является ϕ-инвариантным, то оно является также инвариантным относительно оператора ψ(λ) = ϕ − λε при любом λ ∈ P .Приведем еще примеры инвариантных подпространств.Пример 19.1.

Для любого л.э. ϕ ∈ L(V ) инвариантными являются его ядро N = Ker(ϕ) и образ N = Im(ϕ): ϕ(N ) = O ⊆ N ;ϕ(M ) ⊆ ϕ(V ) = M. Заметим, что сужениеоператора на свое ядро¯0¯является нулевым оператором: ϕ = ϕ N = o.(Данный пример имеет далеко идущее продолжение; см. предложение 23.3.)Пример 19.2. Оператор дифференцирования 0 , рассматриваемый как л.э. пространства гладких функций V = C ∞ (R, R), имеетбесконечную последовательность вложенных друг в друга инвариантных подпространств:O < R = R0 [x] < R1 [x] < R2 [x] < ...

< Rn [x] < ... < R[x] < V. (19.3)Два последних пространства в цепочке (19.3) бесконечномерны,остальные — конечномерны.Можно заметить также, что подпространство Rn−1 [x] являетсяобразом оператора 0 , если его рассматривать на Rn [x].Замечание 19.1. Отметим очевидные свойства ϕ-инвариантныхподпространств: пересечение и сумма любого семейства таких подпространств также являются ϕ-инвариантными.Для пересечения это вообще очевидно, а для суммыW = W1 + ... + Wsϕ-инвариантных подпространств Wi (i = 1, ..., s) доказательство проводится так: если x = y1 + ... + ys ∈ W, тоϕ(x) = ϕ(y1 + ...

+ ys ) = ϕ(y1 ) + ... + ϕ(ys ) ∈ W1 + ... + Ws = W.19.2. Инвариантность собственных подпространств. Рассмотрим теперь л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном пространстве V , его спектр σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs } и семейство собственныхподпространств {Wi }si=1 , где Wi = Sλi (ϕ).220Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Предложение 19.1.

1. Каждое собственное подпространствоWi = Sλi (ϕ) является ϕ-инвариантным, причем сужение¯ϕ0i = ϕ¯Wi : Wi −→ Wi ; ϕ0i (x) = ϕ(x); x ∈ Wi(19.4)является скалярным оператором:ϕ0i = λi εi ,(19.5)где εi = εWi — тождественный эндоморфизм i-го собственного пространства; i = 1, ..., s.2. Кроме того, каждое из подпространств Wi является (при любомj = 1, ..., s) ψj -инвариантным, гдеψj = ϕ − λj ε,(19.6)¯причем сужение ψj ¯Wi также является скалярным оператором:¯ψj ¯Wi = (λi − λj )εi ;(19.7)¯в частности (при j = i) сужение ψi ¯W является нулевым.iДоказательство. 1. Если x ∈ Wi , то, по определению собственного подпространства,ϕ(x) = λi x = (λi ε)(x).Значит, во-первых, вектор ϕ(x) также принадлежит Wi , а вовторых, в силу произвольности x, справедливо равенство операторов (19.5).2.

Второе утверждение немедленно следует из первого: ограничение на Wi оператора ϕ дает λi εi , а ограничение скалярного оператора λj ε — скалярный оператор λj εi . ¤Замечание 19.2. Факт ϕ-инвариантности ядра N = Ker(ϕ) (см.пример 19.1) можно считать частным случаем первого утвержденияпредложения 19.1. В самом деле, ядро линейного оператора является (в случае своей нетривиальности) не чем иным, как собственнымподпространством S0 (ϕ).§ 19Свойства собственных подпространств221Определение 19.2. Сумму всех собственных подпространствдля л.э. ϕ, т. е.

Характеристики

Список файлов книги