Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 40
Текст из файла (страница 40)
¤Замечание 20.1. Правило умножения блочных (квадратных) матриц оказывается идентичным по форме правилу умножения обычных матриц (со скалярными элементами). Есть однако очень существенная особенность: в отличие от скалярного случая, в формуле (20.25) нельзя переставлять сомножители Aij и Bjk .Замечание 20.2. Не составляет большого труда обобщить доказанное в предложении 20.2 правило на случай умножения прямоугольных блочных матриц. При этом должны быть согласованы нетолько размеры перемножаемых матриц, но и их блочные структуры. Допускают "перемножение блоками" (m × n)-матрица A, разбитая на st блоков размеров mi × nj (где i = 1, ...
, s; j = 1, ... , t;m1 + ... + ms = m; n1 + ... + nt = n), и (n × p)-матрица B, разбитая наtu блоков размеров nj × lk (j = 1, ... , t; k = 1, ... , u; l1 + ... + lu = p);в результате получится (n × p)-матрица C = AB, разбитая на suблоков размеров mi × lk .20.5. Блочная структура матрицы л.э. в случае инвариантности фильтрации. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном пространстве V и имеющий нетривиальное (т. е.
ненулевое и отличное от V ) инвариантное подпространство W1 размерности n1 (0 < n1 < n). Выберем произвольное прямое дополнение W2234Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3к подпространству W1 ; оно будет иметь размерность n2 = n − n1(и совсем не обязательно будет ϕ-инвариантным). Таким образом,л.э. окажется действующим в прямой сумме V = W1 ⊕ W2 .В рассматриваемом случае набор (20.20) будет состоять из четырех линейных операторов ϕ11 , ϕ12 , ϕ21 , и ϕ22 , причем третий из нихбудет нулевым (ϕ21 = o). В самом деле ϕ отображает W1 в себя, апроекция π2 отображает W1 в нуль, следовательно, и композицияπ2 ◦ ϕ ◦ α1 будет нулевой.В такой ситуации оператор ϕ11 : W1 → W1 оказывается не чеминым, как сужением ϕ на W1 , если это сужение рассматривать некак оператор из W1 во всё V, но как линейный эндоморфизм, действующий в W1 .
Мы будем применять запись:¯ϕ01 = ϕ¯W : W1 −→ W1 ; ϕ01 (x) = ϕ(x); x ∈ W1 .1(20.34)Подчеркнем, что л.э. ϕ22 таким свойством, вообще говоря, не обладает. Если же W2 , так же как W1 , окажется ϕ-инвариантным,то будет справедливо равенство ϕ12 = o и можно будет считать ϕ22сужением ϕ на W2 : ϕ22 = ϕ02 .Выберем теперь приспособленный к прямой сумме V = W1 ⊕ W2базис B = [B1 , B2 ].
В таком базисе эндоморфизму ϕ отвечает блочнаяматрица A, четыре блока которой Aij (i, j = 1, 2) соответствуют четырем рассмотренным выше линейным операторам ϕij . В частности,(n2 × n1 )-блок A21 оказывается нулевым, а (n1 ׯ n1 )-блок A11 явля0ется матрицей линейного эндоморфизма ϕ1 = ϕ¯W ∈ L(W1 ), в связи1с чем мы переобозначим этот блок следующим образом: A11 = A01 .Окончательно получаем следующую матрицу блочно-треугольного вида:A01 n1 ×n1A =n×nOn2 ×n1A12n1 ×n2 A22.(20.35)n2 ×n2В частном случае, когда прямое дополнение W2 является ϕ-инвариантным, матрица (20.35) становится блочно-диагональной:§ 20Линейные эндоморфизмы в прямой суммеA01 n1 ×n1A =n×nOn2 ×n1On1 ×n2 A02235.(20.36)n2 ×n2Итог нашим рассмотрениям подводит следующееПредложение 20.3.
Пусть л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет нетривиальноеинвариантное подпространство W1 . Тогда в пространстве V можновыбрать базис так, что матрица A, отвечающая ϕ, примет блочнотреугольный вид¯ (20.35), в котором квадратный блок A01 отвечаетсужению ϕ01 = ϕ¯W .1Если к подпространству W1 выбрано ϕ-инвариантное прямое дополнение W2 , то базис в V можно выбрать так, чтобы матрица данного л.э.
стала блочно-диагональной вида (20.36);¯ при этом второй00диагональный блок A2 отвечает сужению ϕ2 = ϕ¯W . ¤2Выше мы рассматривали действие л.э. в линейном пространстве,разбитом в прямую сумму простейшего вида, содержащую всего дваслагаемых, одно из которых является инвариантным, а второе —может являться. Полученный результат допускает обобщение наслучай произвольного количества прямых слагаемых, в предположении, что соответствующая фильтрация (см. п.
20.3) является инвариантной в следующем смысле.Определение 20.1. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в прямойсумме вида (20.1). Фильтрация (20.14), соответствующая этой прямой сумме, называется ϕ-инвариантной, если каждая из частичныхсумм Wqi (i = 0, ... , s) является ϕ-инвариантным подпространством.Прокомментируем данное выше определение. Нулевое подпространство W0q = O и все пространство Wsq = V инвариантны автоматически. Требуется, чтобы было инвариантным первое прямоеслагаемое W1q = W1 . Не требуется инвариантность второго прямогослагаемого W2 , но требуется инвариантность суммы W2q = W1 ⊕ W2 ;и т.
д. Если же оказываются инвариантными все Wi , то автоматически будет инвариантной и соответствующая фильтрация.Предложение 20.4. Пусть л.э. ϕ ∈ L(V ) действует в прямойсумме (20.1), такой, что соответствующая фильтрация (20.14) ϕ-инвариантна. Тогда в пространстве V можно выбрать базис так, чтоматрица A, отвечающая ϕ, примет следующий блочно-треугольныйвид:236Спектральная теория линейных эндоморфизмовA01 n1 ×n1 O n2 ×n1A = On×n n3 ×n1 ...Ons ×n1A12n1 ×n2A13n1 ×n3...A22A23...n2 ×n2n2 ×n3n3 ×n2OA33n3 ×n3......Ons ×n2Ons ×n3A1sГл. 3n1 ×ns A2s n2 ×ns . .
. A2s ,n3 ×ns ... ... . . . Ass(20.37)ns ×nsпричем блок A01 , занимающий северо-западный угол, отвечает сужению данного эндоморфизма на первое прямое слагаемое.В предположении ϕ-инвариантности всех прямых слагаемых, базис можно выбрать так, что матрица данного л.э. примет следующийблочно-диагональный вид:A01 n1 ×n1 O n2 ×n1A = n3On×n ×n1 ... Ons ×n1On1 ×n2On1 ×n3...A02O...n2 ×n2n2 ×n3OA03n3 ×n2n3 ×n3......Ons ×n2Ons ×n3On1 ×ns O n2 ×ns ...O ,n3 ×ns ... ...
0 . . . As(20.38)ns ×nsпричем каждый¯ из диагональных блоков A0i (i = 1, ..., s) отвечаетсужению ϕ0i = ϕ¯W данного эндоморфизма на соответствующее пряiмое слагаемое.Доказательство проводится повторным применением предложения 20.3: сначала рассматривается прямая сумма из двух слагаемых(W1 ⊕ ... ⊕ Ws−1 ) ⊕ Ws , для которой получается блочно-треугольныйвид (20.35); затем от сгруппированной суммы "отщепляется" ещеодно слагаемое и т.
д.Замечание 20.3. Выше, в предложении 20.2, было сформулировано правило перемножения блочных квадратных матриц с одинаковым блочным строением, из которого легко усматривается следующий факт: произведение двух блочно-треугольных (блочно-диагональных) матриц (одинакового блочного строения) снова является§ 21Диагонализируемые линейные эндоморфизмы237блочно-треугольной (блочно-диагональной) матрицей (с таким жеблочным строением).Замечание 20.4. Широко употребительным является следующееобозначение для блочно-диагональных матриц вида (20.38):A = diag(A01 , A02 , ...
, A0s ).(20.380 )Блочно-диагональные квадратные матрицы (с одинаковым блочным строением) можно складывать и перемножать "поблочно". Дляумножения это правило [в обозначениях (20.380 )] можно выразитьследующей формулой:diag(A01 , A02 , ... , A0s ) · diag(B10 , B20 , ...
, Bs0 ) == diag(A01 · B10 , A02 · B20 , ... , A0s · Bs0 ). (20.39)§ 21. Диагонализируемыелинейные эндоморфизмы21.1. Свойство диагонализируемости для линейных эндоморфизмов. Вспомним метафору (см. замечание 17.6): объектизучения — линейный оператор, матрица — его портрет, спектр —его душа. Существуют такие линейные операторы (эндоморфизмы),у которых, что называется, — "душа нараспашку".Определение 21.1.
Линейный эндоморфизм ϕ, действующийв n-мерном линейном пространстве V , называется диагонализируемым, если в пространстве V существует базис B = [ b1 , b2 , ... , bn ], вкотором этому эндоморфизму отвечает диагональная матрица. Такой базис называется диагонализирующим для л.э. ϕ.Почему "нараспашку"? Дело в том, что (см. предложение 17.3)спектр л.э. совпадает со спектром его матрицы (в произвольном базисе), а для диагональной матрицыA=λ1λ2...λn(21.1)238Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3ее спектр "виден": он совпадает с множеством попарно различныхэлементов, стоящих на диагонали.
В самом деле, характеристический многочлен для матрицы (21.1), очевидно, равенhA (λ) = det(λE − A) =¯¯ λ − λ1¯¯ 0=¯¯ ...¯0¯0...0 ¯¯λ − λ2 ...0 ¯¯=......... ¯¯00 λ − λn= (λ − λ1 )(λ − λ2 )... (λ − λn ).(21.2)Следовательно, скаляры λi (i = 1, ... , n) являются характеристическими корнями (= собственными значениями) для ϕ. Кроме того,базисные векторы bi (в соответствии с общим правилом составленияматрицы для линейного оператора) оказываются собственными векторами для ϕ:ϕ(bi ) = λi bi ; i = 1, ... , n.(21.3)Видны также и алгебраические кратности собственных значений.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
