Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 36
Текст из файла (страница 36)
е. собственное подпространствоWi0 = Sλi (Φ) = Ker(Ψi ) = L0Bi ,(18.7)представляет из себя арифметизацию (и служит описанием) для ядра оператора (18.2), т. е. — собственного подпространстваWi = Sλi (ϕ) = Ker(ψi ).(18.8)208Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Напомним, что в практических примерах, как правило, уже неделается различия между линейным оператором и его оцифровкой(арифметизацией); отождествляются: V и P n , x и x, ϕ и Φ, Wi иWi0 , и т.
д., и т. п.После этого привлекается алгоритм построения базиса в ядре линейного оператора (см. п. 14.3), т. е. , фактически, — алгоритм10.1, позволяющий собственное подпространство Wi , заданное первым способом, как нуль-пространство матрицы Bi , представить вторым способом:Wi0 = RFi ,(18.9)как линейную оболочку векторов-столбцов фундаментальной матрицы Fi для однородной с.л.у.Bi · x = 0.(18.10)18.2. Геометрические кратности собственных значений.Введем в рассмотрение еще один вид "спектральных характеристик"для л.э. — размерности собственных подпространств.
Для этихчисел будут использоваться два названия и два обозначения.Определение 18.1. Геометрической кратностью собственногозначения λi ∈ σ(ϕ) называется размерность соответствующего собственного подпространства (18.8). Будем использовать обозначение:ni = dim(Sλi (ϕ)).(18.11)Второе название мотивируется тем, что собственное подпространство (для ϕ, отвечающее λi ), является ядром (для ψi ), и поэтому егоразмерность есть не что иное, как дефект оператора ψi .
В связи сэтим используется обозначение:ni = di = dfc(ψi ).(18.12)Вспоминая тот факт, что собственные подпространства, по построению, являются ненулевыми, мы приходим к заключению, чтогеометрические кратности ni (i = 1, ..., s) являются натуральнымичислами, не превышающими n = dim(V ).Процесс арифметизации задачи о собственных значениях и собственных подпространствах, описанный в предыдущем пункте, связывает ni с числовыми характеристиками матриц Bi .
Точнее, справедливо следующее§ 18Алгоритм отыскания собственных подпространств209Предложение 18.1. Рассмотрим л.э. ϕ, действующий в n-мерном линейном пространстве V (над полем P ), и его спектрσ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs }.(18.13)Пусть в некотором базисе B пространства V эндоморфизму ϕотвечает матрица A. Тогда каждое собственное подпространствоWi = Sλi (ϕ) 6 V изоморфно своей арифметизации Wi0 = L0Bi 6 P n(где Bi = A − λi E) и имеет размерность, равнуюni = n − ri ,(18.14)ri = rank(Bi ).(18.15)гдеПодпространство Wi0 может быть представлено как линейная оболочка векторов столбцов (n × ni )-матицы Fi — фундаментальнойматрицы для однородной с.л.у.
(18.10).Доказательство немедленно следует из общих фактов, касающихся (определяемого с помощью базиса B; см. п. 6.4) координатного изоморфизма β : V → P n , с учетом соотношения di + ri = nмежду рангом и дефектом линейного оператора ψi [или матрицы Bi ;см. формулу (14.21)]. ¤18.3. Алгоритм отыскания собственных значений и собственных подпространств для л.э. Резюмируем все изложенноевыше в виде схемы алгоритма, позволяющего вычислить спектрл.э.
и для каждого элемента спектра (т. е. собственного значения)вычислить соответствующее собственное подпространство (под этимпонимается: найти базис собственного подпространства).А л г о р и т м 18. 1.Отыскание собственных значений (спектра) л.э. ϕ : V → Vи соответствующих собственных подпространствВ конечномерном (размерности n) линейном пространстве V (надполем P ) должен быть выбран базис B, в котором линейному эндоморфизму ϕ будет соответствовать квадратная (n × n)-матрица A.1.
Составляем матрицу с параметром B(λ) = A − λE.210Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 32. Вычисляем характеритический многочлен для л.э. ϕ — какопределитель характеристической матрицы C(λ) [противоположнойматрице B(λ)]:hϕ (λ) = det(λE − A).3. Находим все корни λi ∈ P (i = 1, ... , s) для многочлена hϕ (λ)(характеристические корни), вместе с их алгебраическими кратностями mi . (При этом могут использоваться те или иные алгоритмытеории многочленов; см. гл. 6 пособия [A1 ].)Тем самым уже определен спектрσ(ϕ) = {λ1 , ... , λs }.4.
Выписываем разложение характеристического многочлена намножители:hϕ (λ) = (λ − λ1 )m1 ... (λ − λs )ms g(λ),где многочлен g(λ) корней в поле P не имеет.5i . Для каждого собственного значения λi ∈ σ(ϕ) (i = 1, ..., s)вычисляем матрицуB i = A − λi Eи составляем однородную с.л.у.Bi · x = 0.6i . Для каждого i = 1, ..., s находим фундаментальную матрицу Fi указанной с.л.у.; количество столбцов в этой матрице будетравно геометрической кратности ni собственного значения λi , т. е.размерности соответствующего собственного подпространства.7i . Представляем каждое собственное подпространствоWi = Sλi (ϕ)как линейную оболочкуWi = hf1 , ... , fni iсистемы из ni = n − rank(Bi ) векторов fj (j = 1, ... , ni ), которыеизображаются (в базисе B) векторами-столбцами fj (j = 1, ... , ni )матрицы Fi .§ 18Алгоритм отыскания собственных подпространств2118.
Формируем списки:— собственных значенийλ1 , ... , λs ;— их алгебраических кратностейm1 , ..., ms ;— геометрических кратностейn1 , ..., ns ;— матриц, содержащих базисы, в собственных подпространствахF1 , ..., Fs .9. Вычисляем суммы алгебраических и геометрических кратностей:sX0m =mi ;(18.16)i=10n =sXni .(18.17)i=1Замечание 18.1. Некоторые этапы алгоритма 18.1 в определеннойстепени "избыточны": получаемая в них информация найдет применение лишь в дальнейшем (при описании других алгоритмов, работакоторых будет начинаться там, где завершает работу данный).Замечание 18.2.
В предложении 22.2 будет доказано, что (для любого собственного значения) геометрическая кратность не превышает алгебраическую:ni 6 mi ; i = 1, ... , s.(18.18)Пока же вы (при решении задач, с целью контроля правильностивычислений) следите за выполнением неравенств (18.18).Особенно важными будут случаи выполнения условия m0 = n,или же — более сильного — условия n0 = n. Если выполняется первое условие (а в случае алгебраически замкнутого поля P это всегдатак), то, как будет установлено ниже (см. § 27), для л.э. существуеттак называемый жорданов базис.
Второе условие выполняется невсегда, даже над алгебраически замкнутыми полями. Оно обеспечивает существование так называемого диагонализирующего базисадля л.э. (Этим вопросом мы займемся совсем скоро, в § 21.)212Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 318.4. Примеры отыскания спектра и базисов в собственных подпространствахПример 18.1. Выполним следующее типовое упражнение.
(Обратите внимание на то, что "оцифровка" уже считается произведенной, т. е. линейный оператор предполагается действующим в арифметическом линейном пространстве и рассматривается его матрицав естественном базисе этого пространства.)З а д а ч а. Линейный оператор ϕ действует в арифметическомлинейном пространстве R6 и имеет (в естественном базисе этого пространства) матрицу−2 0 2A := 21−11−2−2−2−221 −1−1 0−4 4−3 2−2 32 −20011−1000 −1 .−1 0−1Найти спектр и базисы в собственных подпространствах для этогооператора.Р е ш е н и е.
Следуем пунктам алгоритма 18.1.1. Составляем матрицу:−2 − λ1−2 − λ 0−2 2B(λ) = −2 21−2−121−10−100−4 − λ41−32−λ1−23−1 − λ2−2000 −1 .−1 0−1 − λ2. Вычисляем характеристический многочлен [как определительматрицы C(λ) = −B(λ)]:¯−1¯λ + 2¯λ+2¯ 0¯2¯ −2hϕ (λ) = ¯2¯ −2¯2¯ −1¯1−2−11λ+432−210−4λ−2−32¯00 ¯¯00 ¯¯−11 ¯¯=−11 ¯¯λ+10 ¯¯0λ+1= λ6 + 8λ5 + 26λ4 + 44λ3 + 41λ2 + 20λ + 4.§ 18Алгоритм отыскания собственных подпространств213(При "ручных" вычислениях этот этап часто оказывается довольно трудоемким. Но в данном случае, с помощью умелого выборастрок (столбцов), по которым раскрывается определитель, можнополучить результат даже "в лучшем виде" — разложенным на линейные множители.)3.
В общем случае отыскание корней многочлена — серьезнаязадача. Чаще всего она разрешима лишь приближенно. Однакоучебные примеры (в нашем курсе) подбираются так, чтобы корнинаходились точно, элементарными методами, изученными в гл. 6пособия [A1 ].Многочлен hϕ (λ) имеет целые коэффициенты и является нормализованным, поэтому все его рациональные корни (если они есть)обязаны быть целыми и их следует искать среди делителей свободного члена."Подозрительными" оказываются значения ±1, ±2, ±4. Алгоритм§ 42 из [A1 ] (использующий схему Горнера) дает (с учетом кратностей) шесть характеристических корней: λ1 = −1 (кратностиm1 = 4) и λ2 = −2 (кратности m2 = 2).Спектр состоит из двух точек: σ(ϕ) = {−1, −2}.4. Разложение на множители для характеристического многочлена имеет вид:hϕ (λ) = (λ + 1)4 (λ + 2)2 .Многочлен g(λ), фигурирующий в общей формуле, в данном случае сводится к единице.
Это произошло потому, что сумма алгебраических кратностей (см. этап 9) m0 = m1 + m2 = 6 = n.5.1. Составляем матрицу:−1 0 2B 1 = A − λ1 E = A + E = 21−11−1−2−2−221−1−3−3−22−10433−20 00 0 1 −1 .1 −1 0 00 06.1. Находим нуль-пространство (ядро) матрицы B1 , т. е. (см.алгоритм 10.1) решаем однородную с.л.у. с матрицей B1 . Получаемфундаментальную матрицу214Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
