Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 35
Текст из файла (страница 35)
3Замечание 17.3. В качестве информации приведем общие формулы, выражающие коэффициенты характеристического многочленачерез некоторые скалярные характеристики матрицы:ck = (−1)k gk (A); k = 1, ..., n,(17.16)где gk (A) есть сумма всех главных миноров порядка k для матрицы A.Главными называются миноры видаk2 ,...,ikM ii11 ,i,i2 ,...,ik ; 1 6 i1 < i2 < ... < ik 6 n,т. е. такие, которые получаются, если строки и столбцы A, определяющие минор, имеют одни и те же номера (определения и обозначениясм.
в [A1 , п. 30.1]).Можно выписать явную формулу для характеристик gk (A):gk (A) =Xk,i2 ,...,ikM ii11 ,i.2 ,...,ik(17.17)16i1 <...<ik 6nДоказательство формул (17.16) можно найти, например, в [16,п. 2.1]. Отметим, что главные миноры первого порядка — это простодиагональные элементы, а их сумма — это след матрицы:g1 (A) = tr(A).(17.18)Существует только один минор порядка n, равный определителюматрицы; он является главным, так чтоgn (A) = det(A).(17.19)Замечание 17.4. Согласно предложению 17.1, характеристический многочлен является инвариантом подобия, т. е. не меняетсяпри замене данной матрицы на подобную. Напомним, что равенство многочленов определяется покоэффициентно.
В связи с этим,все коэффициенты ck (k = 1, ..., n) оказываются инвариантами подобия. А поскольку эти коэффициенты не более чем знаком могутотличаться от характеристик gk (A), мы приходим к выводу об инвариантности последних:00◦ ◦ A ] ⇒ [ (∀k = 1, ..., n) (gk (A) = gk (A )) ].[A∼(17.20)§ 17Характеристический многочлен и его корни203Для k = 1 и k = n этот результат нам уже известен из п. 13.9.И так же, как функции tr и det, все характеристики gk могутбыть отнесены не только к конкретной квадратной матрице, но и —к линейному эндоморфизму:gk (ϕ) = gk (A); k = 1, ..., n,(17.21)где A — матрица отвечающая л.э. ϕ в некотором базисе.17.3.
Корни характеристического многочлена. Снова рассмотрим характеристический многочлен (17.6) для (n × n)-матрицы A.Определение 17.3. Корни (в поле P ) многочлена hA (λ) называются характеристическими корнями для A. Спектром матрицы Aназывается множество σ(A) всех ее характеристических корней.Количество (попарно различных) корней многочлена не можетпревышать его степени (см. [A1 , п. 39.3]). Следвательно, мощностьспектра σ(A) для (n × n)-матрицы A не превосходит n.Поскольку характеристический многочлен для матрицы являетсяинвариантом подобия, то тем же свойством обладает и спектр. Следовательно, как и в замечании 17.4, это понятие может быть отнесено к линейному эндоморфизму.
Но у нас уже есть понятие спектрадля л.э. (см. определение 16.1) — как множества всех собственныхзначений для этого эндоморфизма."Круг замыкается" следующим предложением.Предложение 17.3. Рассмотрим л.э. ϕ в конечномерном линейном пространстве V. Пусть в некотором базисе этого пространстваоператору ϕ отвечает матрица A. Тогда скаляр λ0 ∈ P являетсясобственным значением для л.э. ϕ, если и только если он являетсяхарактеристическим корнем для A. Спектры л.э. и соответствующейматрицы совпадают:σ(ϕ) = σ(A).(17.22)Доказательство является совершенно очевидным, но здесь необходимо пояснить, что в данном предложении и всюду далее (в отличие от § 16) собственные значения будут обозначаться буквой λ стеми или иными индексами; "чистая", без индексов буква λ сохраняется для обозначения переменной в характеристическом многочлене.204Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Согласно предложению 16.1, скаляр λ0 ∈ P является собственнымзначением для л.э. ϕ тогда и только тогда, когда л.э.ψ0 = ϕ − λ0 ε,(17.23)необратим. Это, в свою очередь, равносильно (см. сводку в концеп. 15.4) необратимости матрицыB0 = A − λ0 E(17.24)или, — необратимости противоположной матрицыC0 = −B0 = λ0 E − A.(17.25)Последний же факт равносилен обращению в нуль определителяматрицы C0 , т.
е. равенствуhA (λ0 ) = 0,(17.26)свидетельствующему о том, что λ0 является характеристическимкорнем для A. ¤Замечание 17.5. Как мы убедились выше, спектр л.э., действующего в конечномерном линейном пространстве V, является конечнымподмножеством в поле P, причем его мощность не может превышатьразмерности n = dim(V ).Спектр вполне может оказаться пустым (вспомните оператор поворота из примера 16.3). Причиной этого является использование"не достаточно хорошего" (с алгебраической точки зрения) поля.Если основное поле P является алгебраически замкнутым (см.[A1 , п. 40.3]), то любой многочлен положительной степени над Pимеет в P хотя бы один корень.
В такой ситуации спектр любогол.э. (любой квадратной матрицы) непуст.Добавим еще, что в бесконечномерных пространствах спектр может оказаться бесконечным. (В примере 16.6 оператор дифференцирования имел спектр, совпадающий со всем полем R.)Замечание 17.6. В самом начале настоящей главы мы декларировали, что понятие спектра линейного оператора является одним изцентральных в "работающей математике".
Скорее всего, читателямпока не вполне ясна важность и глубина спектральной теории, но§ 17Характеристический многочлен и его корни205автор надеется, что каждый последующий параграф будет приближать их к осознанию этого.Автору очень нравится следующий пассаж А. А. Кириллова (см.его захватывающую книжку "Что такое число?" — М.: Наука, 1993.С. 38):"...матричные элементы составляют лишь бренное тело преобразования (... ), в то время как спектр выражает его бессмертнуюдушу".Развивая метафору А.
А. Кириллова, мы можем напомнить (см.замечание 12.3) другой образ, представляющий линейные операторыв качестве "главных героев" линейной алгебры, а матрицы — как их"портреты" (либо "оцифровки").Добавим, что матрица является "очень хорошим портретом": всесвойства оператора могут быть (в принципе) установлены и исследованы по его матрице. Хотя, как и полагается портрету, матрицазависит не только от оператора, но и от "камеры", фиксирующейоцифровку, т. е.
от базиса (или базисов).Однако хочется, как всегда, большего. Было бы очень интересно(и важно) получить такой "портрет", на котором можно было бывидеть "душу" портретируемого.17.4. Алгебраические кратности собственных значений.Пусть скаляр λ0 ∈ P является собственным значением для линейного эндоморфизма ϕ, действующего в n-мерном пространстве V.Согласно предложению 17.3, этот факт равносилен тому, что λ0 является корнем характеристического многочлена hϕ (λ), явный вид которого может быть определен по матрице A, отвечающей ϕ в какомлибо базисе B пространства V .Итак, λ0 является характеристическим корнем. Пусть m0 — егократность (как корня многочлена hA (λ); см. [A1 , п. 40.1]), т.
е. такойпоказатель степени, что имеет место разложениеhA (λ) = (λ − λ0 )m0 g(λ); g(λ0 ) 6= 0.(17.27)Определение 17.4. Натуральное число m0 , для которого справедливо (17.27), называется алгебраической кратностью собственного значения λ0 .Выражаясь проще, алгебраическая кратность собственного значения — это его кратность как характеристического корня. Рассмотрим теперь всю совокупность (попарно различных) собственных значений (= характеристических корней) для л.э. ϕ:σ(ϕ) = σ(A) = {λ1 , λ2 , ... , λs }.(17.28)206Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Определим также список соответствующих алгебраических кратностейm1 , m2 , ...
, ms(17.29)и вычислим их сумму:0m =sXmi .(17.30)i=1Непосредственным следствием общих фактов теории многочленов(см. [A1 , пп. 40.2, 40.3]) является следующееПредложение 17.4. Сумма (17.30) алгебраических кратностейвсех собственных значений для линейного эндоморфизма ϕ ∈ L(V )не превышает n = dim(V ) = deg(hϕ (λ)).Справедливо разложение на множителиhϕ (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ...(λ − λs )ms g(λ),(17.31)в котором g(λ) является нормализованным многочленом степениn − m0 , не имеющим корней в поле P.В случае алгебраически замкнутого поля P для любого эндоморфизма имеет место равенство m0 = n и разложение (17.31) приобретает вид:hϕ (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ...(λ − λs )ms .(17.32)Доказательство.
Достаточно обратиться к следующим формулам из указанных выше пунктов первого пособия: (40.6), (40.7) и(40.10). (Старший коэффициент в данном случае равняется единице.) ¤Замечание 17.7. Характеристическое уравнение для квадратнойматрицы A (т. е. уравнение вида hA (λ) = 0) стало использоваться вматематических работах довольно давно, еще в XVIII веке, и прежде всего — в механике, в том числе небесной. В старых трактатахсохранился (со времен Лапласа и Лагранжа, применявших уравнения такого типа в расчетах возмущений в движении планет) терминвековое уравнение.§ 18Алгоритм отыскания собственных подпространств207§ 18.
Алгоритм отыскания спектраи собственных подпространствдля линейного эндоморфизма18.1. Арифметизация собственных подпространств. В предыдущем параграфе, используя матрицу A (или, что равносильно, —арифметизацию Φ; см. п. 12.4) для л.э. ϕ ∈ L(V ), мы фактическипришли к алгоритму вычисления спектра ϕ. Матрица A и операторΦ : P n −→ P n ; Φ(x) = Ax; x ∈ P n(18.1)зависят от выбора базиса B в пространстве V, а характеристическиймногочлен hA (λ) и его корни λi (вместе с их алгебраическими кратностями mi ; i = 1, ..., s) — не зависят.Арифметизацией "оператора с параметром"ψ(λ) = ϕ − λε : V −→ V(18.2)будет служить операторΨ(λ) = Φ − λε : P n −→ P n ; x 7→ B(λ)x; x ∈ P n ,(18.3)заданный матрицей (17.3).Арифметизациями операторовψi = ϕ − λi ε : V −→ V ; i = 1, ..., s(18.4)будут являться операторыΨi = Φ − λi ε : P n −→ P n ; x 7→ Bi x; x ∈ P n ,(18.5)определяемые матрицами [вида (17.24)]:Bi = A − λi E; i = 1, ..., s.(18.6)Ядро оператора (18.5), т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
