Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 30
Текст из файла (страница 30)
С помощью бинома Ньютона получается:∆h (xk ) ==1((x + h)k − xk ) =h1 k1(x + Ck1 hxk−1 + ... + hk − xk ) = (Ck1 hxk−1 + ... + hk ).hhЗначит, оператор разностного дифференцирования можно рассматривать как л.э.∆h : Rn [x] −→ Rn [x]; f (x) 7→ ∆h f (x); f (x) ∈ Rn [x].(13.28)Важнейшим при изучении разностных производных является случай единичного параметра (h = 1), оператор ∆1 переобозначается впростое ∆ и формула (13.25) принимает особенно простой вид:∆f (x) = f (x + 1) − f (x).(13.29)Выражение (13.29) представляет из себя не что иное, как приращение функции f (x), отвечающее приращению аргумента ∆x = 1.174Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2Вычислим матрицу л.э.
(13.29), рассматриваемого на пространстве многочленов V = Rn [x] относительно естественного базисаBn = [ 1, x, ..., xn ]. Имеем: ∆(1) = 0 и для любого k = 1, ..., n:∆(xk ) = Ck1 xk−1 + Ck2 xk−2 + ... + Ckk−1 x + 1.(13.30)(Мы просто взяли h = 1 в проведенных выше вычислениях дляоператора ∆h .) Таким образом, получается матрица0 10 00 00 0B= ... ...(n+1)×(n+1)0 00 00 01200...0001330...000...1n−2...
Cn−1n−3... Cn−1n−4... Cn−1......... n − 1...0...01Cnn−1 Cnn−2 Cnn−3 .... 2 Cn n 0(13.31)Сравните матрицу (13.31), отвечающую оператору разностногодифференцирования, с матрицей A, заданной формулой (13.19) иотвечающей (в том же базисе) оператору обычного дифференцирования. Обе эти матрицы являются верхними нильтреугольными(на главной диагонали и ниже стоят нули), у них совпадают "первые наддиагонали".
А вот выше матрица B выглядит значительносложнее, чем A. Тем не менее, B тоже нильпотентна. (Непосредственная проверка этого была бы весьма непростой, однако косвенное доказательство совершенно очевидно: оператор ∆, так же, каки оператор 0 , понижает степень многочлена ровно на единицу, и поэтому ∆n+1 = o.)С привлечением более серьезной алгебраической техники можнодоказать, что в пространстве многочленов найдется такой базис, вкотором оператору ∆ отвечает матрица, в точности совпадающая с(13.190 ), т. е. — с н.ж.я.
(n + 1)-го порядка. Другими словами, этот◦ ◦ Jn+1 (0) .ящик и матрица B подобны: B ∼13.9. Определитель и след для линейного эндоморфизма. Здесь читателям безусловно необходимо освежить в своей оперативной памяти (достаточно непростой) материал четвертой главыпервого пособия, относящийся к теории определителей.§ 13Преобразование матрицы линейного отображения175Предложение 13.3. Подобные матрицы имеют одинаковые определители:◦ ◦ B ] ⇒ [ det(A) = det(B) ].[A∼(13.32)Доказательство предложения немедленно следует из мультипликативного свойства определителя (см. п. 27.2 в [A1 ]) и из формулыдля определителя обратной матрицы (см. там же п. 28.2):det(B) = det(T −1 · A · T ) = (det(T ))−1 · det(A) · det(T ) = det(A).
¤Введем в рассмотрение еще одну числовую характеристику дляквадратных матриц.Определение 13.3. Следом квадратной матрицы A = (aij )n×nназывается сумма ее диагональных элементов. Используется (происходящее от английского ’trace’) обозначение:tr(A) =nXaii .(13.33)i=1След, очевидно, является линейной формой (см. замечание 12.4)на линейном пространстве L(n, P ) квадратных (n × n)-матриц:tr : L(n, P ) −→ P ; A 7→ tr(A); A ∈ L(n, P ).(13.34)В следующем предложении приводятся два основных свойствафункции (13.34).Предложение 13.4. 1. Для любых матриц A, B ∈ L(n, P ) справедлива формулаtr(A · B) = tr(B · A).(13.35)2.
Подобные матрицы имеют одинаковые следы:◦ ◦ B ] ⇒ [ tr(A) = tr(B) ].[A∼(13.36)Доказательство. 1. Первое утверждение доказывается следующей простой выкладкой:nnnXX Xtr(A · B) =[A · B]ii =aij bji =i=1i=1Ã=j=1nnXXj=1i=1bji aij!nX=[B · A]jj = tr(B · A).j=1176Линейные отображения конечномерных пространствГл.
2(Не исключено, что приведенная выше цепочка преобразованийнад суммами, как и многие предыдущие, аналогичные, вас не тольконе убедит, но и огорчит... Тогда вам может помочь простой эксперимент: возьмите две квадратные матрицы, скажем, третьего порядка,перемножьте их "так и эдак" и найдите следы для обоих произведений. По ходу опыта вы наверняка заметите, что при вычислениипроизведений достаточно заполнять лишь диагональные клеточки,поскольку именно их содержимое идет в расчет при отыскании следов.)2. Второе утверждение предложения легко следует из первого:(13.35)tr(T −1 · A · T ) = tr((T −1 · A) · T ) ====== tr(T · (T −1 · A)) = tr((T · T −1 ) · A) = tr(E · A) = tr(A). ¤Теперь мы возвращаемся к линейным эндоморфизмам.
Свойства(13.32) и (13.36) обеспечивают корректность следующего определения. Пусть V — конечномерное линейное пространство, ϕ — л.э.,действующий в этом пространстве.Определение 13.4. Определитель и след линейного эндоморфизма ϕ ∈ L(V ) задаются формуламиdet(ϕ) = det(A);(13.37)tr(ϕ) = tr(A),(13.38)где A — матрица, отвечающая ϕ в некотором базисе B пространства V.В самом деле, хотя матрица A зависит от выбора базиса B, призамене базиса она меняется на подобную [см. формулу (13.14)], и,следовательно, ее определитель и след не изменяются.Замечание 13.6.
Свойства определителя и следа для алгебры матриц, установленные (или упомянутые) выше, автоматически переносятся на алгебру линейных эндоморфизмов. Приведем их сводку:det(ψ ◦ ϕ) = det(ψ) · det(ϕ);(13.39)tr(λ · ϕ + µ · ψ) = λ · tr(ϕ) + µ · tr(ψ);(13.40)tr(ψ ◦ ϕ) = tr(ϕ ◦ ψ).(13.41)§ 14Образ и ядро, ранг и дефект линейного отображения177§ 14.
Образ и ядро, ранг и дефектлинейного отображения14.1. Отображения множеств, образы и прообразы подмножеств. Данный пункт является, можно сказать, "теоретикомножественным отвлечением": мы напомним некоторые факты иобозначения из общей теории множеств и их отображений. (В учебном плане нет такой дисциплины — "Теория множеств"; ее началаизлагаются в "пусковом" курсе "Введение в математику"; часть материала рассредоточена по курсам алгебры, анализа и др.; болееабстрактные аспекты этой науки изучаются в курсе математическойлогики.)Рассмотрим отображение множеств f : X → Y и два подмножества: A ⊆ X и B ⊆ Y. Образом подмножества A при отображенииf называется подмножествоf (A) = { f (x) : x ∈ X } ⊆ Y.(14.1)В случае A = X получается образ всего множества X, которыйиначе называется образом отображения f и обозначаетсяIm(f ) = f (X).(14.2)По определению, отображение f сюръективно, если Im(f ) = Y.Прообразом подмножества B называется подмножество−1f (B) = { x ∈ X : f (x) ∈ B } ⊆ X.(14.3)Обратите внимание на расположение минус единицы над знакомотображения (а не справа-сверху, где ставятся показатели степени).Дело в том, что эта −1 показателем степени не является.Минус первая степень отображения есть не что иное, как обратноеотображение, которое существует далеко не всегда.
Прообразы жеопределены для любых отображений и любых подмножеств.В том случае, когда f −1 существует, разница теряется: прообраз B при отображении f совпадает с образом B при отображении f −1 :−1f (B) = f −1 (B).(14.4)178Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2По определению, отображение f инъективно, если для любого−1элемента y ∈ Im(f ) его прообраз f (y) [т. е. прообраз одноэлементного подмножества B = {y} в образе] также является однооэлементным.Замечание 14.1.∗ Отображения взятия образа и прообраза можно рассматривать на булеанах [множествах всех подмножеств; см.обозначение (1.16)]:f−−−→ Y−−(14.5)2X ←−−−−−−−−− 2 .−1f"Встречные" отображения (14.5) отнюдь не являются взаимно обратными.
В общем случае справедливы лишь включения:−1f (f (A)) ⊇ A; A ⊆ X;−1f ( f (B)) ⊆ B; B ⊆ Y.(14.6)(14.7)Чтобы убедить в этом читателей, автор предпочитает известноевосклицание древнегреческих геометров "Смотри!" и отсылку к рисункам 14.1 и 14.2 в прил. 2. Если вы усмотрели причины того, чтовключения (14.6) и (14.7) могут оказаться строгими, то вам легкобудет также уяснить следующие факты: (14.6) обращается в равенство при дополнительном условии, что f инъективно, а (14.7) — приусловии сюръективности f.14.2.
Образы и прообразы линейных подпространств прилинейных отображениях. Возвращаясь в область линейной алгебры, рассмотрим два линейных пространства V и W (над одним итем же полем P ) и линейное отображение (гомоморфизм)ϕ : V → W.(14.8)Для любого линейного подпространства V1 6 V определен егообраз ϕ(V1 ) при отображении ϕ, являющийся подмножеством (нижемы докажем, что — подпространством) в W.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
