Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Но на этот раз будемрассматривать его как л.э. пространства V = Rn [x]:ϕ = 0 : V −→ V ; f (x) 7→ f 0 (x); f (x) ∈ V.(13.18)168Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2Если вы усвоили принцип составления матриц для линейных отображений, то вам будет легко понять, что матрица A, отвечающаяэндоморфизму (13.18) в базисе Bn = [ 1, x, ..., xn ], будет отличатьсяот матрицы (12.34) присутствием еще одной (нулевой) строки:0 10 00 00 0A= ... ...(n+1)×(n+1)0 00 00 00200...0000030...000...00...00...00...00.......... ...
n − 1 0 ...0n...00(13.19)В пространстве многочленов V = Rn [x] имеется базис, лишь слегка (наличием скалярных множителей при базисных одночленах) отличающийся от естественного базиса Bn :Bn0 = [ 1, x,x2xn, ... ,].2!n!(13.20)Найдем матрицу A0 эндоморфизма (13.19) в базисе (13.20). Матрица перехода от Bn к Bn0 устроена очень просто: она являетсядиагональной, причем по диагонали стоят коэффициенты 1/k! (гдеk = 0, ..., n). Но в данном примере, невзирая на простоту матрицы перехода, использование формулы (13.14) было бы излишеством.Гораздо легче найти A0 непосредственно.В силу того, что при любом k = 1, ..., n мы имеемµxkk!¶0xk−1=,(k − 1)!для действия оператора (13.19) на новые базисные векторыb0kxk=(k = 0, 1, ..., n)k!(13.21)получаются соотношенияϕ(b00 ) = 0; ϕ(b0k ) = b0k−1 (k = 1, ..., n),(13.22)§ 13Преобразование матрицы линейного отображенияи матрица эндоморфизма (13.18) втельный вид:0 1 00 0 10 0 00 0 00A= ...
... ...(n+1)×(n+1)0 0 00 0 00 0 0169новом базисе приобретет замеча0010...000... 0... 0... 0... 0... ...... 1... 0... 00000.... 010(13.190 )Квадратные матрицы вида (13.190 ) играют совершенно выдающуюся роль в линейной алгебре. Они именуются нильпотентнымижордановыми ящиками (или клетками, или блоками). Все элементы такого ящика равны нулю, за исключением тех, которые находятся на первой "наддиагонали" и равняются единице.Стандартным обозначением нильпотентного жорданова ящика(н.ж.я.) является Jn (0); мы сделаем это обозначение более бросающимся в глаза с помощью выделения боксами; ящик будет "выглядеть как ящик": Jn (0) .
Поясним, что индексом служит порядокматрицы, а нуль в скобке указывает на то, что по главной диагоналистоят нули. Теперь мы понимаем, что в формуле (13.190 ) фигурируетящик Jn+1 (0) .Просто жордановы ящики (ж.я.) обозначаются Jn (λ0 ) ; по диагонали у них должен стоять скаляр λ0 ∈ P , указываемый в обозначении (в скобках).Почему так важны ж.я. и откуда они возникают, мы разберемсяв следующей главе. А сейчас разъясним термин "нильпотентная"(применительно к матрице) или "нильпотентный" (применительнок линейному оператору).
Возьмите ящик, скажем, пятого порядка,J5 (0) и возводите его в квадрат, куб, четвертую степень; пятаястепень окажется нулевой.Другой вариант: вычислим пятую производную от многочлена,степень которого не выше четырех (другими словами, применим ктакому многочлену пятую степень оператора дифференцирования).Ясно, что результат будет нулевым. Это означает, что на R4 [x] пятаястепень оператора ϕ =0 есть нулевой оператор.Кстати, и несколько более сложная матрица (13.19) также является нильпотентной. Этот факт можно проверить непосредственным170Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2возведением в степень, вплоть до An+1 = O, но косвенно он немедленно следует из установленной выше нильпотентности оператора:ϕn+1 = o.Далее напомним читателям об иной проблематике, связанной спространствами многочленов.В примере 7.2 рассматривались базисы вида [ 1, x − a, ..., (x − a)n ].Введем "усовершенствованный" базисTn(a)(x − a)2(x − a)n= [ 1, x − a,, ...
,],2!n!(13.23)который можно было бы назвать тейлоровским (в силу очевиднойсвязи с одноименной формулой из математического анализа; см. также [A1 , п. 47.3]).Определите, какую матрицу будет иметь оператор дифференцирования, заданный на пространстве V = Rn [x], относительно базиса (13.23). [Это даже не упражнение, но очень простой контрольныйвопрос.]Пример 13.5. Предыдущий пример 13.4 можно (отправляясь неот л.э., но от квадратной матрицы) трактовать следующим образом:н.ж.я. Jn+1 (0) "моделируется" с помощью оператора дифференцирования, рассматриваемого на пространстве Rn [x] многочленов степени не выше n (с действительными коэффициентами).Допускает ли аналогичную операторную трактовку ж.я. общеговида Jn+1 (λ0 ) (где λ0 ∈ R)?Разумеется.
Причем в качестве моделирующего оператора сноваможно взять оператор ϕ = 0 . Однако рассматривать его придетсяна другом линейном пространстве; а именно — на линейном подпространствеRn,λ0 [x] = eλ0 x Rn [x] 6 C ∞ (R, R),состоящем из всевозможных произведений вида eλ0 x f (x) фиксированной показательной функции eλ0 x ∈ C ∞ (R, R) на произвольныймногочлен f (x) ∈ Rn [x].Тот факт, что такие функции в линейном пространстве всех бесконечно гладких функций действительно образуют линейное подпространство (причем — инвариантное относительно оператора дифференцирования) совершенно очевиден.§ 13Преобразование матрицы линейного отображения171Очевидно и то, что подпространство Rn,λ0 [x] изоморфно подпространству Rn [x], причем изоморфизм задается (обратимым) линейным оператором умножения на (нигде не обращающуюся в нуль)функцию eλ0 x .Следовательно,dim(Rn,λ0 [x]) = dim(Rn [x]) = n + 1и в качестве базиса в этом подпространстве можно выбрать системуфункцийλ0 xCn,λ0 = [ eλ0 x, xex2 λ0 xxn λ0 xe , ...
,e,].2!n!(13.20a)(Здесь уместно проинформировать читателей о специальном термине квазимногочлены. Так называются функции, являющиеся суммами произведений многочленов и экспонент. С квазимногочленамивы обязательно встретитесь при изучении линейных дифференциальных уравнений. Введенное выше подпространство (13.20а) состоит из квазимногочленов простейшего вида: у них у всех один итот же показательный множитель.)Применим теперь к базисным элементам (функциям)ck =xk λ0 xe(k = 0, 1, ..., n)k!(13.21a)оператор дифференцирования ϕ = 0 .Получим соотношенияϕ(c0 ) = (eλ0 x )0 = λ0 eλ0 x = λ0 c0 ;xk λ0 x 0xk λ0 xxk−1 λ0 xϕ(ck ) = ( e ) = λ0 e+e=k!k!(k − 1)!= λ0 ck + ck−1 (k = 1, ..., n),в силу которых эндоморфизм ϕ =цу — жорданов ящик Jn+1 (λ0 ) .0(13.22a)имеет в базисе (13.20а) матри-172Линейные отображения конечномерных пространствГл. 213.8.∗ Оператор разностного дифференцирования. Начиная с п.
1.6, мы неоднократно обращались к оператору дифференцирования как к примеру линейного отображения. Производная f 0 (x)от функции f (x) определяется с помощью предельного перехода:f (x + h) − f (x);h→0hf 0 (x) = lim(13.24)существует она не всегда, и оператор 0 : f (x) 7→ f 0 (x) мы рассматривали на линейном пространстве C 1 (R, R) гладких (непрерывно дифференцируемых) функций. Значениями этого оператора являютсяпросто непрерывные функции.Оператор 0 можно рассматривать также как л.э.
пространствабесконечно гладких функций C ∞ (R, R) или пространства многочленов R[x]. Однако все эти пространства бесконечномерны. И толькорассматривая оператор 0 на (n + 1)-мерном пространстве Rn [x], мыможем применить к нему методы конечномерной линейной алгебры,той науки, которую сейчас изучаем.Выражение, стоящее в правой части формулы (13.24) под знакомпредела, представляет не меньший интерес, чем его предел (т. е. производная). Это выражение имеет специальное обозначение∆h f (x) =f (x + h) − f (x)h(13.25)и название — разностная производная. Переменная h входит в негокак параметр.Разностная производная ∆h f (x) определена для произвольных(даже не обязательно — непрерывных) функций.
Таким образом,возникает отображение∆h : F(R, R) −→ F (R, R); f 7→ ∆h (f ); f ∈ F(R, R).(13.26)Выше нам пришлось несколько усложнить обозначения: отображение ∆h переводит функцию f в новую функцию ∆h (f ), значениекоторой на произвольном элементе x ∈ R определяется формулой(13.25), т. е. ∆h (f ) (x) = ∆h f (x). Такое усложнение, увы, необходимо: нам важно подчеркнуть, что аргументом ∆h служит f , а, уже всвою очередь, как f , так и ∆h (f ) зависят от переменной x.Убедимся в линейности отображения (13.26). Первым делом требуется доказать, что для любых функций f, g ∈ F(R, R) справедливосвойство∆h (f + g) = ∆h (f ) + ∆h (g).(13.27a)§ 13Преобразование матрицы линейного отображения173Соотношение (13.27а) подлежит проверке при любом значении переменной x ∈ R:∆h (f + g) (x) ==1((f + g) (x + h) − (f + g) (x)) =h1((f (x + h) + g(x + h)) − (f (x) + g(x))) =h11= ((f (x + h) − f (x)) + (g(x + h) − g(x)) =hh= ∆h (f ) (x) + ∆h (g) (x) = (∆h (f ) + ∆h (g)) (x).Потрудитесь проверить второе из требуемых соотношений:∆h (λf ) = λ∆h (f ).(13.27b)Разностная производная константы, как и обычная, равна нулю.Для многочлена степени k > 1 разностная производная являетсямногочленом степени k − 1.В силу линейности оператора ∆h , последнее утверждение достаточно проверить на одночленах f (x) = xk .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
