Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Их значения мы присвоим предписанным переменным B1 и d1 :> B[1], d[1] := w1[1], w1[2];Результаты совпадут с полученными в п. 11.1, поэтому мы ихздесь не повторяем. Чтобы получить дополнительные сведения оподпространстве W1 , применим к матрице B1 процедуру algorithm 3и произведем соответствующие присваивания:> u1 := algorithm 3( B[1] ); A[1], sys[1] := u1[1], u1[2];Получим (такую же, как в п. 11.1) матрицу A1 ; а вот однороднаяс.л.у. sys1 будет записана несколько иначе, в виде списка уравнений:sys1 := [ −x1 + x3 = 0, x1 − 2x4 + x5 = 0, x1 + x6 = 0 ](Именно так эта система фигурирует в приведенном в конце п.
11.1ответе.)Процедура algorithm 1 отвечает на все вопросы типового расчета,касающиеся подпространства W2 :> w2 := algorithm 1( H );> B[2], d[2], A[2], sys[2] := w2[1], w2[2], w2[3], w2[4];Результат будет совпадать с приведенным во второй строке таблицы, представляющей ответ в п. 11.1.Далее, к матрицам B1 и B2 применяется процедура algorithm 5,производятся присваивания, подключается algorithm 3 и снова производятся присваивания, после чего — вся необходимая информацияо подпространстве W3 будет получена:138Линейные пространства. Базисы и размерностиГл.
1> w3 := algorithm 5( B[1], B[2] ); B[3], d[3] := w3[1], w3[2];> u3 := algorithm 3( B[3] ); A[3], sys[3] := u3[1], u3[2];Затем разрешаются все вопросы с подпространством W0 :> w0 := algorithm 6( A[1], A[2] );> B[0], d[0], A[0], sys[0] := w0[1], w0[2], w0[3], w0[4];Чтобы исследовать подпространство W4 , к ранее вычисленнымматрицам B0 и B3 применяется процедура algorithm 4; получаетсяпоследовательность из пяти элементов (причем два последних из нихсами являются списками); из этой последовательности выбираютсядва первых результата: матрица B4 , содержащая базис в некоторомпрямом дополнении W4 к подпространству W0 в подпространствеW3 , и размерность d4 подпространства W4 :> w4 := algorithm 4( B[0], B[3] ); B[4], d[4] := w4[1], w4[2];Последние оставшиеся неизвестными компоненты общего ответанаходятся с помощью процедуры algorithm 3:> u4 := algorithm 3( B[4] ); A[4], sys[4] := u4[1], u4[2];Так завершается работа над ТР1 с помощью Maple-пакета BiS.Как получить средствами Maple табличный ответ — разберитесьсами: может быть, у вас получится более изящно.Глава 2ЛИНЕЙНЫЕ ОТОБРАЖЕНИЯКОНЕЧНОМЕРНЫХЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВ§ 12.
Алгебраические действиянад линейными отображениями.Матрица линейного отображения12.1. Алгебраические действия над линейными отображениями. Определение и простейшие свойства линейных отображений (гомоморфизмов) рассматривались выше, в п. 1.6. В важнейшемконкретном случае (для арифметических линейных пространств) этатема изучалась в [A1 , § 15]. В частности, мы уже знакомы с алгебраическими действиями над линейными отображениями и законамидля них.
Здесь мы продублируем (в полной общности) основныеопределения, а затем приведем список законов для алгебры линейных операторов.Напомним обозначение L(V, W ) для множества линейных отображений из линейного пространства V (над полем P ) в линейноепространство W (над тем же полем).Определение 12.1. 1. Суммой линейных отображений (операторов) ϕ, ψ ∈ L(V, W ) называется операторϕ + ψ : V −→ W ; (ϕ + ψ)(x) = ϕ(x) + ψ(x); x ∈ V.(12.1)2.
Произведение оператора ϕ ∈ L(V, W ) на скаляр λ ∈ P определяется формулойλ · ϕ : V −→ W ; (λ · ϕ)(x) = λ · (ϕ(x)); x ∈ V.(12.2)Данное выше определение можно пересказать так: сложение иумножение на скаляр для линейных отображений осуществляются140Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2поэлементно (или, как иначе говорят, поточечно), т. е.
эти действиявыполняются над значениями отображений в каждой точке (на любом векторе) x ∈ V.Проверка факта линейности для отображений, заданных формулами (12.1) и (12.2), совершенно элементарна и вполне по силам любому читателю настояшего пособия, добравшемуся до второй главы.Роль умножения для (последовательно действующих) линейныхотображений ϕ ∈ L(V, W ) и ψ ∈ L(W, U ) играет их композицияψ ◦ ϕ ∈ L(V, U ), факт линейности которой уже объяснялся ранее.Предложение 12.1.
Алгебраические действия над линейнымиотображениями (операторами) подчиняются следующим тринадцати законам:ϕ,ψ,χ(i ) ( ∀ V −−−−−−→→ W ) [ (ϕ + ψ) + χ = ϕ + (ψ + χ) ];ϕ,ψ(ii ) ( ∀ V −−→ W ) [ ϕ + ψ = ψ + ϕ ];ϕo(iii ) ( ∃ V −→ W ) ( ∀ V −→ W ) [ ϕ + o = o + ϕ = ϕ ];ϕψ(iv ) ( ∀ V −→ W ) ( ∃ V −→ W ) [ ϕ + ψ = ψ + ϕ = o ];ϕ(v ) ( ∀ λ, µ ∈ P ; V −→ W ) [ (λ + µ) · ϕ = λ · ϕ + µ · ϕ ];ϕ,ψ(vi ) ( ∀ λ ∈ P ; V −−→ W ) [ λ · (ϕ + ψ) = λ · ϕ + λ · ψ ];ϕ(vii ) ( ∀ λ, µ ∈ P ; V −→ W ) [ (λ · µ) · ϕ = λ · (µ · ϕ) ];ϕ(viii ) ( ∀ V −→ W ) [ 1 · ϕ = ϕ ];ϕ,ψχ(ix ) ( ∀ U −→ V −−→ W ) [ (ϕ + ψ) ◦ χ = ϕ ◦ χ + ψ ◦ χ ];ψ,χϕ(x ) ( ∀ U −−→ V −→ W ) [ ϕ ◦ (ψ + χ) = ϕ ◦ ψ + ϕ ◦ χ ];ψϕψϕ(xi ) ( ∀ λ ∈ P ; U −→ V −→ W ) [ (λ · ϕ) ◦ ψ = ϕ ◦ (λ · ψ) = λ · (ϕ ◦ ψ) ];χ(xii ) ( ∀ Y −→ U −→ V −→ W ) [ (ϕ ◦ ψ) ◦ χ = ϕ ◦ (ψ ◦ χ) ];εψϕ(xiii ) ( ∃ V −→ V ) ( ∀ U −→ V −→ W ) [ (ϕ ◦ ε = ϕ) ∧ (ε ◦ ψ = ψ) ].Доказательство.
Первые восемь законов не требуют особого доказательства, поскольку (благодаря поточечному характеру действий сложения и умножения на скаляр) каждое из соответствующихвосьми равенств выполняется на любом векторе x ∈ V.Проверка оставшихся пяти могла бы составить предмет очень простого упражнения для читателей, но мы все же продемонстрируемдоказательства для девятого и десятого законов с тем, чтобы подчеркнуть (вопреки внешнему сходству) их глубокое алгебраическоеразличие.§ 12Алгебра линейных отображений и алгебра матриц141Правая дистрибутивность (ix ) вытекает непосредственно из определения поточечной суммы отображений и имеет место для произвольных (не обязательно линейных) ϕ, ψ и χ:((ϕ + ψ) ◦ χ)(u) = ((ϕ + ψ)(χ(u)) = ϕ(χ(u)) + ψ(χ(u)) == (ϕ ◦ χ)(u) + (ψ ◦ χ)(u) = (ϕ ◦ χ + ψ ◦ χ)(u)для любого u ∈ U.В то же время, доказательство левой дистрибутивности (x ) использует линейность отображения ϕ:(1.9)(ϕ ◦ (ψ + χ))(u) = ϕ((ψ + χ)(u)) = ϕ(ψ(u) + χ(u)) ==== ϕ(ψ(u)) + ϕ(χ(u)) = (ϕ ◦ ψ)(u) + (ϕ ◦ χ)(u) = (ϕ ◦ ψ + ϕ ◦ χ)(u).Напомним также (об этом говорилось в п.
15.3 пособия [A1 ]), чтоассоциативность композиции (xii ) имеет место для произвольныхотображений. Разобраться со свойствами (xi ) и (xiii ) будет вашейработой. ¤Замечание 12.1. В силу свойств (i ) — (viii ), всякое множестволинейных операторов L(V, W ) является линейным пространствомотносительно поточечного сложения и умножения на скаляр (надтем же полем, над которым заданы линейные пространства V и W ).При W = V множество L(V ) = L(V, V ) линейных эндоморфизмов пространства V оказывается кольцом относительно сложения икомпозиции эндоморфизмов.Замечание 12.2. Обозначения законов (i ) — (xiii ) являются мнемонической отсылкой к аналогичным законам (i) — (xiii) алгебрыматриц (см. п.
2.2 в [A1 ]). Здесь, в отличие от случая матриц, вобозначениях использован курсив. Сходство упомянутых законовотнюдь не является случайным, и мы объясним его в следующемпункте.Между тем, внимательные читатели, вероятно, заметят, что дляалгебры матриц мы формулировали 17 законов (последние четыреотносились к операции транспонирования матриц). Что соответствует законам (xiv) — (xvii) в алгебре линейных операторов? Ответна этот вопрос будет дан значительно позже, в четвертой главе настоящего пособия. (Так что очень любознательным читателям придется немного потерпеть.)142Линейные отображения конечномерных пространствГл. 212.2.
Матрица линейного отображения. Изоморфизмымежду линейными пространствами линейных операторов иматриц. Рассмотрим конечномерные пространства V и W (размерностей n и m соответственно) над полем P и линейное отображениеϕ : V −→ W.(12.3)Зафиксируем в пространствах V и W базисыB = [ b1 , b2 , ... , bn ](12.4)C = [ c1 , c2 , ...
, cm ](12.5)исоответственно.Для каждого из базисных векторов bj (j = 1, ..., n) рассмотримего образ aj = ϕ(bj ) ∈ W и разложим этот вектор по базису C:aj =mXaij ci .(12.6)i=1При фиксированном j = 1, ... , n коэффициентыaij = [ϕ(bj )]i ; i = 1, ... , m(12.7)являются координатами вектора (12.6) относительно базиса C; ониобразуют арифметический векторa1ja aj = 2j ; j = 1, ..., n....amj(12.8)Из векторов-столбцов (12.8) можно составить матрицуa11¯¯ ¯³´a¯¯ ¯A = ϕ(b1 ) ¯ϕ(b2 ) ¯ ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
