Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Этоможно было понять и без преобразований, поскольку из предыдуe0 как раз ищего пункта ясно, что c0 = codim(W0 ) = 5, а матрица Aсодержит 5 строк. Однако преобразования все же нужны, посколькутолько решив с.л.у. A0 · x = 0, мы можем найти базис (и задание вторым способом) для W0 . Фундаментальная матрица для этой системы(содержащая базис для W0 ) видна, что называется, "невооруженнымглазом":−1 0 −1 B0 = . 0 6×1115.
Осталось рассмотреть последнее подпространство W4 . Обратимособое внимание на то, что подпространства W3 и W0 определяются по заданным подпространствам W1 и W2 совершенно однозначно.Разумеется, базисы в них (кроме тривиальных случаев) определены неоднозначно. Напротив, W4 (прямое дополнение к W0 в W3 )130Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1определено неоднозначно как подпространство (тоже за исключением тривиальных случаев), и отыскание этого подпространства сводится к отысканию некоторого базиса в нем, состоящего из векторов,дополняющих (ранее найденный) базис в W0 до базиса в W3 . (Можносказать, что сначала ищется базис, а потом — само подпространство,как линейная оболочка базисных векторов.)Следуя алгоритму 10.4 составляем матрицу, являющуюся конкатенацией матриц B0 и B3 , приводим эту матрицу к ступенчатому виду (без нулевых строк) и, руководствуясь расположением ступенекв правой зоне последней матрицы, выбираем из B3 добавочные векторы, которые составят базис в некотором прямом дополнении W4 ;они будут записаны в матрицу B4 :−1 0 −1(B0 |B3 ) = 011¯¯ −1¯¯ 1¯¯ −1¯¯ −1¯¯ −1¯1111−1−3−11 −210 1 −1 →00 −1 1−1 0−1 0→ ...
→ 00−1 1 −1B4 = −16×3−111110−1−1¯¯ −1 1¯¯ 1 1¯¯ 0 0¯0 01 −21 0 ;1 00 1−20 −1 .0 10Размерность прямого дополнения, разумеется, ясна заранее:d4 = d3 − d0 = 3;коразмерностьc4 = codim(W4 ) = n − d4 = 3.Осталось найти матрицу A4 , задающую W4 первым способом ивыписать соответствующую однородную с.л.у. Для этого (как и впп. 1 и 3 решения) понадобится алгоритм 10.3.§ 11Задачи на построение базисов в подпространствах131Приводим к виду Жордана — Гаусса матрицу B4t , составляем и решаем соответствующую полученной матрице однородную с.л.у. (напомним, что неизвестные в ней надо обозначать не "иксами", а иначе; выше мы использовали обозначения αj ); транспонируя фундаментальную матрицу F4 , получаем искомую матрицу A4 , по которой выписываем однородную линейную систему (уже относительнонеизвестных xj ), определяющую подпространство W4 :1−1 →01 0→ ...
→ 0 10 0−1 1 −1 −1t0B4 = 1 1 1−2 0 −1 0−1−11 α1− 12 α4− 12 α4+α4α2α3121211−1010 −1F4 = 16×30012A4 = F4t = 13×6−11 2 x1x1−x1+ 12 x2+x2−x3−x3+2x3−α5−α5+α512100 − 120 − 121 1+α6−2α6−1−1110 ;−2= 0;= 0;= 0;−1 0 2 ;0 01−1 1 0 0−1 0 1 0 ;2 0 0 1+x4+x5+x6= 0;= 0;= 0.О т в е т полезно бывает представить в виде сводной таблицы.Ниже мы приведем такую таблицу, полученную средствами Maple.(Об использовании Maple-процедур при решении типового расчетасм. ниже, в п. 11.3.)132Линейные пространства. Базисы и размерности·−1 1 −1W1 , B1 = −1 −11·−2 0 −1W2 , B2 = 0 10·−1 1 −1W3 , B3 = −1 −11·−1 0 −1W0 , B0 = 0 1111−31 −11 , d1 =3, A1 = 10 1−1 −1−111−11Гл.
10010000−210, c1 =3,00001¸[ −x1 +x3 =0, x1 −2x4 +x5 =0, x1 +x6 =0 ]0100, d2 =2, A2 =0000−10002100001000 , c2 =4,0 001001¸111111−10−3−1−1−1−2[ x1 +2x5 −x6 =0, x3 +x5 =0, x4 =0 ]0 "0−1 , d3 =4, A3 =−10 1 01−21020001#, c3 =2,0¸[ x3 −2x4 +x5 =0, −x1 +2x2 +x6 =0, ]10, d0 =1, A0 =0000000100001000010000110 1 , c0 =5,0 −1¸[ x1 +x6 =0, x2 =0, x3 +x6 =0, x4 =0, x5 −x6 =0 ]·−1 1 −1W4 , B4 = −1 −111110−1−1−20 1 2−1 , d4 =3, A4 = 10 −11 12−1101−1010, c4 =3,0200100[ 12 x1 + 12 x2 −x3 +x4 =0, x1 +x2 −x3 +x5 =0, −x1 +2x3 +x6 =0 ]¸§ 11Задачи на построение базисов в подпространствах133В заключение заметим, что особых случаев, выявление которыхпредписывается заданием ТР1, в разобранном выше примере нет(примеры с особенностями мы разберем в следующем пункте).
Помимо этого, порекомендуем исполнителям расчета следующую проверку: для каждого из номеров i = 0, 1, 2, 3, 4 должно выполнятьсяматричное равенство Ai · Bi = O, причем ранги матриц Ai и Bi всумме должны составлять n = dim(V ).11.2. Особые случаи расположения подпространств в расчете ТР1. Особенности, вызывающие досрочный выход из алгоритмов 10.1 — 10.6, охарактеризованы в замечании 10.4. Ниже приводятся простые примеры, в которых эти особенности усматриваются и исследуются почти без вычислений.Пример 11.1.
Пусть в обозначениях предыдущего пункта1 1 −1 1 n = 4; G = ; H = (1 1 1 1).1 1−1 1Матрица G имеет, очевидно, полный ранг по столбцам; поэтомуB1 = G и d1 = 2. Матрице H отвечает однородная линейная системаиз одного уравнения: x1 + x2 + x3 + x4 = 0. Первый столбец матрицы G удовлетворяет этому уравнению, а второй — нет. Значит,размерность пересечения равна в точности единице, а размерностьсуммы — четырем.Сумма оказывается полной: W3 = V ; ее коразмерность равна нулю и матрица A3 является пустой.
Пересечение W0 имеет базис,представляемый матрицей1 −1 B0 = .1−1Если бы мы выполняли расчет "прямолинейно", не взирая на особенности, то, решив указанное выше уравнение, мы получили быбазис в W2 , записанный в матрицу−1 −1 −100 1B2 = .010001134Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1Далее, применяя к матрицам B1 и B2 алгоритм 10.5, мы получилибы матрицу1 1 −1 −10 −1 1 1B3 = ,1 1 01−1 1 00содержащую базис в W3 = V, продолжающий исходный базис в W1 .Матрица B3 содержит в качестве начальной подматрицы (одностолбцовую) матрицу B0 .
Следовательно, в роли матрицы B4 (содержащей базис в некотором прямом дополнении к W0 в W3 ) можетвыступить подматрица из трех последних столбцов B3 . Убедитесьсами, чтоA4 = ( − 31 − 13 − 31 1 ) .Есть, однако, другая возможность. Тот факт, что сумма W3 совпадает со всем пространством V, позволяет выбрать в ней естественныйбазис, т. е. заменить B3 на единичную матрицу: B30 = E4 .Следует иметь в виду, что этот базис уже не будет продолжатьвыбранный базис в пересечении. И прямое дополнение W40 к W0получится другим.
Если мы применим алгоритм 10.4 к матрицамB0 и B30 , то получим:10B40 = 000100000 ; A4 = ( 01000 1),т. е. W40 оказывается заданным одним уравнением x4 = 0.Пример 11.2. Рассмотрим в пространстве V = R5 подпространства W1 = RG и W2 = L0H , где1 −1G= 0001110; H = 00101 01 00 000001.1Как и в предыдущем примере, имеем B1 = G. Применяя алгоритм§ 11Задачи на построение базисов в подпространствах13510.1, т. е. решая с.л.у.
H · x = 0, получаем:00B2 = 100000.10Из вида матриц B1 и B2 ясно, что пересечение W0 тривиально(d0 = 0; матрица B0 пуста). Сумма W3 является прямой (см. п. 9.1):W0 = O; W3 = W1 ⊕ W3 .Матрица B3 получается простой конкатенацией матриц B1 и B2 .Прямое дополнение к (нулевому) подпространству W0 в подпространстве W3 совпадает с W3 ; матрица B4 совпадает с B3 .Пример 11.3. Пусть11n = 4; G = 1001; H = (0111−10).Подпространство W1 двумерно, а W3 — трехмерно (поскольку задается единственным уравнением x2 −x3 = 0).
Оба базисных вектораW1 удовлетворяют этому уравнению. Значит, W1 является подпространством в W2 . Следовательно, сумма W3 совпадает с бо́льшимиз подпространств, W2 , а пересечение W0 — с меньшим, W1 . В частности, можно взять B3 = B2 и B0 = B1 . Убедитесь самостоятельно,что некоторе прямое дополнение к W0 = W1 в W3 = W2 может бытьзадано матрицей 10B4 = .0011.3. Пакет Maple-процедур для решения ТР1. Пакет LinearAlgebra располагает исчерпывающими средствами для решениявсех пунктов типового расчета. Например, команда NullSpace позволяет найти базис в ядре (нуль-пространстве) матрицы, т.
е. выполняет ту же работу, что и алгоритм 10.1; команда ColumnSpace136Линейные пространства. Базисы и размерностиГл. 1позволяет найти базис в образе (линейной оболочке столбцов) матрицы; имеются команды SumBasis и IntersectionBasis для отысканиябазисов в сумме и пересечении подпространств и т. д. Для всех указанных команд характерен высокий уровень универсальности: онирасчитаны на восприятие самых разных типов данных. Для учебных целей автору показалось уместным создание нового пакета, специально приспособленного к выполнению заданий ТР1.Пакет назван BiS ("Bases in Subspaces"); в нем используются самые простые версии алгоритмов Гаусса (GaussElimination) и Жордана — Гаусса (ReducedRowEchelonForm), но зато процедуры этого пакета возвращают значительно больше полезной информации:размерности подпространств, некоторые промежуточные результаты, необходимые для взаимодействия с другими процедурами, и т.
п.Пакет содержит шесть процедур (по числу изученных алгоритмов), их листинги приведены в прил. 1. Ознакомление читателей спростейшими приемами Maple-программирования является "побочной целью" разработки пакета BiS, в связи с чем все процедурыочень подробно прокомментированы.Обратите внимание на названия процедур. Они имеют вид:имя пакета [ имя процедуры ].Код каждой из процедур должен располагаться внутри однойгруппы (Execution Group; выделяется квадратной скобкой слева иначинается с приглашения >); при его наборе не используется клавиша Enter, переход на следующую строку осуществляется с помощьюShift+Enter.Если полностью набранная программа не содержит синтаксических ошибок, то нажатие Enter приводит к следующей реакции системы: в пределах той же рабочей группы будет выдан краткий (безкомментариев) листинг процедуры.Разработка пакета завершается его сохранением: у нас — в видефайла BiS.m, в специально созданном каталоге MaplePackages; у вас,вероятно, будет другой адрес сохранения; работа по составлению иотладке процедур проводится в другом файле: BiS.mws.Перед применением пакета необходимо прочитать ранее сохраненный файл и "подгрузить" его командой with (наравне со стандартным пакетом LinearAlgebra):> restart; with(LinearAlgebra):> read "F:/MaplePackages/BiS.m"; with(BiS);[ algorithm 1, algorithm 2, algorithm 3, algorithm 4, algorithm 5, algorithm 6 ]§ 11Задачи на построение базисов в подпространствах137Система откликнулась, назвав шесть новых, ставших доступнымипроцедур.
Правила загрузки матриц в пакете LinearAlgebra объяснялись в примере 7.3. Будем считать, что данные матрицы G и Hуже загружены.Применим к матрице G процедуру algorithm 2; возвращаемую последовательность данных обозначим w1:> w1 := algorithm 2( G );Будет выдана последовательность из четырех элементов: матрицаB1 , содержащая базис в W1 , размерность d1 этого подпространства,а также — вспомогательные сведения (промежуточные результаты):ступенчатый вид матрицы G и список номеров главных столбцов.В данном примере нам понадобятся только первые два члена этойпоследовательности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
