Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 25
Текст из файла (страница 25)
¯ϕ(bn ) = 21...m×nam1¯¯ a12¯¯ a22¯¯ ...¯am2¯¯ ...¯¯ ...¯¯ ...¯...¯¯ a1n¯¯ a2n ¯ . (12.9)¯ ...¯amn§ 12Алгебра линейных отображений и алгебра матриц143Определение 12.2. Матрица (12.9) называется матрицей линейного отображения (12.3) относительно базисов (12.4) и (12.5).(Говорят также, что матрица A отвечает оператору ϕ в базисахB и C.)Замечание 12.3. Определение 12.2, подобно многим другим, ранее изученным определениям абстрактной линейной алгебры, неявляется для нас принципиально новым. В первом семестре, занимаясь линейной алгеброй конкретных (арифметических) линейныхпространств, мы уже встречались с понятием матрицы линейногоотображения ϕ : P n → P m относительно естественных базисов Enи Em (см.
[A1 , п. 15.2]). Важность абстрактного подхода состоит втом, что даже в арифметических линейных пространствах матрица линейного отображения относительно других, "неестественных"базисов может оказаться существенно проще, нежели относительноестественных. Более того, отыскание таких базисов можно считатьодной из основных практических задач линейной алгебры, поскольку именно линейные отображения (операторы) являются основными"действующими лицами" этой науки.
Матрица же служит "портретом" (оцифровкой) линейного оператора. Базисы можно сравнитьс "приборами" (цифровыми камерами), от выбора которых существенно зависит "качество" оцифровки. Желательно подобрать базисы так, чтобы важнейшие свойства оператора легко определялись(усматривались) по его матрице.Предложение 12.2. Пусть V и W — конечномерные линейныепространства (размерностей n и m соответственно) над полем P ,B и C — некоторые базисы в этих пространствах. Сопоставлениелинейному оператору ϕ ∈ L(V, W ) матрицы A ∈ Mat(m, n; P ), отвечающей ϕ в базисах B и C, задает линейный изоморфизмµ : L(V, W ) −→ Mat(m, n; P ); µ(ϕ) = A.(12.10)В частности, линейное пространство L(V, W ) конечномерно и имеет размерность mn.
Базис в нем составляют линейные операторыεij : V −→ W (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n),(12.11)заданные (в базисах B и C) формуламиεij (bk ) = δjk ci (k = 1, ..., n),где δjk — символ Кронекера.(12.12)144Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2Доказательство. Линейный оператор ϕ переводит базис B в с.в.A = [ a1 , a2 , ... , an ].(12.13)Матрица (12.9) составлена из координатных столобцов векторовсистемы (12.13) в базисе C. Если последний базис фиксирован, тоопределена биекция между системами векторов вида (12.13) и матрицами вида(12.14)A = (a1 |a2 | ...
|an ) .m×nС другой стороны, согласно теореме 6.1 (ОТЛО), линейный оператор ϕ полностью определяется своими значениями на базисныхвекторах, т. е. системой векторов A = ϕ(B), или, что равносильно, — матрицей A. Следовательно, отображение (12.10) инъективно:разным линейным операторам отвечают разные матрицы.Из той же ОТЛО вытекает и сюръективность (12.10): по любойматрице (12.14) однозначно определяется с.в. (12.13) в пространстве W, по которой можно построить линейное отображение (12.3) такое, что ϕ(B) = A.Остается убедиться в линейности отображения µ.
Пусть заданыдва линейных оператора ϕ, ϕ 0 ∈ L(V, W ), которым соответствуютматрицы A, A0 ∈ Mat(m, n; P ). Сумме ϕ + ϕ 0 этих операторов будетсоответствовать матрица, составленная из векторов-столбцов(ϕ + ϕ 0 )(bj ) = ϕ(bj ) + ϕ 0 (bj ) = ϕ(bj ) + ϕ 0 (bj ) = aj + a0j ,т. е. не что иное как A + A0 . Аналогичным рассуждением доказывается, что оператору λ · ϕ (λ ∈ P ) отвечает матрица λ · A.Итак, выбор базисов (12.4) и (12.5) определяет линейный изоморфизм (12.10) между линейным пространством линейных операторовL(V, W ) и линейным пространством матриц Mat(m, n; P ).В пространстве матриц имеется (см.
пример 4.1) естественный базис, составленный из mn матриц Eij (i = 1, ..., m; j = 1, ..., n). Приизоморфизме µ этому базису соответствует некоторый базис в пространстве L(V, W ), составленный из mn линейных операторов εij ,таких, что µ(εij ) = Eij .В матрице оператора отражается его действие на базисные векторы. В Eij все столбцы, кроме j-го, являются нулевыми, и, значит,для любого bk (k = 1, ..., n; k 6= j) будем иметьεij (bk ) = 0.(12.15a)§ 12Алгебра линейных отображений и алгебра матриц145Далее, j-й столбец Eij представляет из себя единичный арифметический вектор ei ∈ P m и, следовательно, является "изображением"i-го базисного вектора ci . Действительно,ci = 0 · c1 + ...
+ 1 · ci + ... + 0 · cm0 ... 7→ 1 = ei . ...0Это означает, чтоεij (bj ) = ci .(12.15b)Равенства (12.15a) и (12.15b) можно объединить в одно — (12.12),если использовать символ Кронекера (см. [A1 , (2.8)]):½0, если j 6= k;δjk =(12.16)1, если j = k.Произвольный линейный оператор ϕ разлагается по базису, составленному из операторов εij , по формуле:ϕ=m XnXaij εij ,(12.17)i=1 j=1где скаляры aij являются элементами матрицы (12.14), отвечающей ϕ в указанных базисах B и C.Все утверждения предложения доказаны.
¤12.3. Матрица для композиции линейных отображений.Теорема об изоморфизме для алгебраических систем линейных операторов и матриц. Важным дополнением к предложению 12.2, утверждающему согласованность алгебраических действий сложения и умножения на скаляр для линейных операторов идля соответствующих им матриц, является следующее предложение,утверждающее аналогичную согласованность композиции линейныхоператоров и умножения матриц.Предложение 12.3.
Рассмотрим два последовательно действующих линейных отображенияϕψV −→ W −→ U,(12.18)146Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2где V, W и U — линейные пространства над полем P , размерностейn, m и p соответственно. Пусть в этих пространствах зафиксированыкакие-либо базисы B, C и D соответственно, где первые два заданысписками (12.4) и (12.5), а последний — спискомD = [ d1 , d2 , ... , dp ].(12.19)Пусть линейному оператору ϕ отвечает (в базисах B и C) (m × n)матрица A, а оператору ψ (в базисах C и D) — (p × m)-матрица H.Тогда композиции ψ ◦ ϕ будет отвечать (в базисах B и D) (p × n)матрица H · A.Доказательство.
Обозначим буквой G (p × n)-матрицу, отвечающую оператору ψ ◦ ϕ в базисах B и D. Эта матрица составляется извекторов-столбцов gj , гдеgj = (ψ ◦ ϕ)(bj ) ∈ U (j = 1, ..., n),(12.20)а черта над gj обозначает координатный столбец, отвечающий "надчеркиваемому" вектору в базисе D.Но [см. (12.6)]ϕ(bj ) =mXaij ci (j = 1, ..., n),(12.21)hki dk (i = 1, ..., m),(12.22)i=1и, аналогично,ψ(ci ) =pXk=1и, по тому же принципу,gj =pXgkj dk (j = 1, ..., n).(12.23)k=1Выразим вектор gj , подставляя разложения (12.21) и (12.22) вформулу (12.20):mmXXgj = ψ(ϕ(bj )) = ψ(aij ci ) =aij ψ(ci ) ==mXi=1Ãaiji=1pXk=1!hki dk=mXÃi=1pX!aij hki dki=1=k=1ÃmpX Xk=1i=1=!hki aijÃmpXXk=1dk =!aij hki dk=i=1pXk=1([H · A]kj ) dk ,§ 12Алгебра линейных отображений и алгебра матриц147где использована линейность ψ, а также, как обычно, следующие"правила манипуляции" с суммами и двойными суммами: вынесение (внесение) постоянного множителя из-под знака (под знак) суммы; перемена порядка суммирования в двойной сумме; перестановкаскалярных множителей под знаком суммы.Сравнивая последний результат с формулой (12.23) и пользуясьединственностью разложения вектора по базису, мы получаем:gkj = [H · A]kj (j = 1, ..., n; k = 1, ..., p),или G = H · A, что и требовалось доказать.
¤Объединяя предложения 12.1 и 12.2, мы сформулируем ниже теорему об изоморфизме для алгебраической системы линейных операторов в конечномерных линейных пространствах (над полем P ) и алгебраической системы прямоугольных матриц (с элементами из P ),являющуюся "абстрактной версией" теоремы 15.1 из [A1 ], котораяописывала случай линейных операторов в арифметических линейных пространствах.Теорема 12.1. Выбор базисов B и C в конечномерных линейных пространствах V и W , размерностей m и n соответственно (надполем P ) определяет линейный изоморфизм линейного пространства линейных операторов L(V, W ) на линейное пространство матриц Mat(m, n; P ).Все такие изоморфизмы согласованы с алгебраическими действиями композиции (для линейных операторов) и умножения (для матриц), а именно: для любых трех пространств V, W и U, с выбранными в них базисами B, C и D, матрицей для композиции ψ ◦ ϕ двух поϕψследовательно действующих операторов V → W → U служит произведение матриц, отвечающих ψ и ϕ (порядок матриц-сомножителейтаков же, каков порядок операторов в композиции).
¤12.4.∗ Арифметизация ("оцифровка") линейных операторов. Соответствие между линейными операторами и матрицамиL(V, W ) 3 ϕ −−→←−− A ∈ Mat(m, n; P ),описанное в предыдущем пункте, на самом деле осуществляется вдва этапа:1) базисы B и C в линейных пространствах V и W обеспечивают(как это объяснялось в п.
6.4) "оцифровку" (арифметизацию) этих148Линейные отображения конечномерных пространствГл. 2пространств и, как следствие, определяют линейный оператор Φ :P n → P m в арифметических линейных пространствах, изоморфныхданным;2) действие оператора Φ задается умножением арифметическихвекторов на некоторую (m × n)-матрицу A.Второй этап соответствия рассматривался в п. 15.3 пособия [A1 ];ниже будет детально описан первый этап. Ключевую роль в арифметизации играют координатные изоморфизмы [см.
формулы (6.18)и (6.19)]:β : V −→ P n ; β(x) = xB ; x ∈ V(12.24)иγ : W −→ P m ; γ(y) = y C ; y ∈ W,(12.25)сопоставляющие векторам их координатные столбцы (относительноуказываемых базисов).Оператор Φ, реализующий арифметизацию оператора ϕ, можетбыть задан формулойΦ = γ ◦ ϕ ◦ β −1 : P n → P m(12.26)и представлен на следующей диаграмме.Диагр. 12.1ΦP n −−−−−−−−−→ P mβ ↑↓β −1γ ↑↓γ −1ϕV −−−−−−−−−−→ WЛинейность оператора Φ немедленно вытекает из (12.26); опишемподробнее его действие. Любой арифметический вектор x ∈ P n может быть представлен в виде x = β(x), где x ∈ V.
ПоэтомуΦ(x) = ϕ(x).(12.27)Черты, используемые в левой и правой частях последней формулы, имеют различный смысл: x = xB для вектора x ∈ V и y = y C длявектора y = ϕ(x) ∈ W. Можно утверждать, что запись y = ϕ(x) действия исходного оператора в абстрактных линейных пространствахравносильна формулеy = Φ(x)(12.28)в арифметических линейных пространствах, являющейся, как говорят, координатным выражением действия ϕ.§ 12Алгебра линейных отображений и алгебра матриц149Напомним (см.
п. 6.4), что координатные изоморфизмы (12.24) и(12.25) переводят базисы B и C (в V и W соответственно) в естественные базисы En и Em (в P n и P m ):β(B) = En ; γ(C) = Em .(12.29)Теперь мы переходим ко второму этапу арифметизации и пользуемся материалом упомянутого выше пункта из первого пособия.Оператор Φ, как всякий линейный оператор в арифметических линейных пространствах, однозначно определяется своей матрицей относительно естественных базисов, которая составляется из векторовстолбцовaj = Φ(ej ); j = 1, ..., n(12.30)и имеет видA = (a1 | a2 | ...
| an ) .m×n(12.31)Действие оператора Φ выражается как левое умножение вектораиз P n на матрицу (12.31):Φ(x) = A · x; x ∈ P n .(12.32)Применяя в формуле (12.30) выражение (12.27) для действия Φ,мы получим [с учетом ej = β(bj ), см. (12.29)]:aj = ϕ(bj ),(12.33)а это означает, что матрица (12.31), отвечающая оператору Φ в базисах En и Em , в точности совпадает с матрицей (12.9), отвечающей ϕв базисах B и C.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
