Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 43
Текст из файла (страница 43)
В соответствии с предложением 20.3,оператору ϕ будет соответствовать в базисе B матрица 0A1A12 n1 ×n1 n1 ×n2 A =(22.1).n×nOA22n2 ×n1n2 ×n2Блок A01 матрицы (22.1)соответствует (в базисе B1 ) суженному¯0эндоморфизму ϕ1 = ϕ¯W . Аналогичный факт, вообще говоря, не1имеет места для блока A22 , который отвечает л.э. ϕ22 , действующему(если W2 не инвариантно) иначе, нежели ϕ.Рассмотрим теперь оператор с параметром (17.2), определенныйформулой ψ(λ) = ϕ − λε.В базисе B ему будет соответствовать матрица B(λ) = A − λEn ,которая также зависит от параметра λ ∈ P и может считаться заданной над кольцом многочленов P [λ].Характеристический многочлен для л.э. ϕ может быть вычисленкак определитель матрицыÃ!λEn1 − A01−A12C(λ) = λEn − A =,(22.2)OλEn2 − A22противоположной B(λ). При этом используется теорема 27.1 из [A1 ]об определителе блочно-треугольной матрицы, причем в несколькоусиленной форме: применительно к матрицам над коммутативнымикольцами.(На вопросах, связанных с определителями многочленных матриц, мы уже кратко останавливались в п.
17.1. Большинство изученных в первом семестре теорем об определителях над полем остаются справедливыми для определителей над любым коммутативнымкольцом. Напомним, что "тонкости с многочленами" становятся существенными лишь в случае конечного поля P коэффициентов.)§ 22Свойства характеристического многочлена251Итак, мы приходим к следующему выражению для характеристического многочлена:hϕ (λ) = det(C(λ)) = det(λEn1 − A01 ) · det(λEn2 − A22 ),илиhϕ (λ) = hϕ01 (λ) · hϕ22 (λ).(22.3)Отсюда немедленно вытекает следующееПредложение 22.1.
1. Если л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет нетривиальноеинвариантное подпространствоW1 6 V, то характеристический мно¯0¯гочлен для сужения ϕ1 = ϕ W делит характеристический многочлен1для ϕ:hϕ01 (λ) | hϕ (λ).(22.4)2. Если пространство V разбито в прямую сумму ϕ-инвариантныхподпространств Wi (i = 1, ..., s), то характеристический многочлендля ϕ разлагается в произведение характеристических многочленовдля соответствующих сужений :hϕ (λ) = hϕ01 (λ) · hϕ02 (λ) · ... · hϕ0s (λ),(22.5)¯где ϕ0i = ϕ¯W .iДоказательство.
Первое утверждение непосредственно следуетиз разложения (22.3). Второе (при s = 2) также получается из этойформулы, если (в случае инвариантности W2 ) представить л.э. ϕ22как сужение ϕ02 :hϕ (λ) = hϕ01 (λ) · hϕ02 (λ).(22.30 )В общем случае (при произвольном s) доказательство (22.5) проводится по индукции. ¤22.2. Неравенства для геометрических и алгебраическихкратностей собственных значений. Рассмотрим спектрσ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs }(22.6)линейного эндоморфизма ϕ, действующего в n-мерном линейномпространстве V (предполагая, естественно, что он не пуст, — иначе спектральная теория не применима).252Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Каждому собственному значению λi сопоставляются два натуральных числа: алгебраическая кратностьmi = max{k ∈ N : (λ − λi )k | hϕ (λ)}(22.7)и геометрическая кратностьni = dim(Sλi (ϕ)).(22.8)Сейчас мы докажем важный факт, информация о котором ужедавалась в замечании 18.2.Предложение 22.2. Геометрическая кратность любого собственного значения не превышает его алгебраической кратности:ni 6 mi ; i = 1, ... , s.(22.9)Доказательство. Рассмотрим собственное подпространствоWi = Sλi (ϕ).(22.10)Согласно предложению 19.1, оно является ϕ-инвариантным и сужение на него эндоморфизма ϕ является скалярным эндоморфизмом[см.
(19.5)]:ϕ0i = λi εi ; εi = εWi .(22.11)Характеристический многочлен для л.э. (22.11) выражается формулой [см. (17.11)]:hϕ0i (λ) = (λ − λi )ni .(22.12)В силу предложения 22.1, он обязан делить характеристическиймногочлен для ϕ:(λ − λi )ni | hϕ (λ).(22.13)Неравенство (22.9) вытекает теперь из определения (22.7) алгебраической кратности. ¤§ 22Свойства характеристического многочлена25322.3.∗ Собственная сумма и блочная структура для л.э.Рассмотрим теперь прямую сумму W 0 = ⊕si=1 Wi всех собственныхподпространств для л.э.
ϕ, т. е. собственную сумму S(ϕ). Это подпространство имеет размерность равную сумме n0 всех геометрических кратностей, является ϕ-инвариантным, и на нем эндоморфизм ϕ является диагонализируемым. Если выбрать какое-либопрямое дополнение W 00 к W 0 , а также базисB = [ B0 , B 00 ] = [ B1 , B2 , ... , Bs , B00 ],приспособленный к прямой суммеà s!MV =Wi ⊕ W 00 ,(22.14)(22.15)i=1то ϕ будет сопоставленна матрица блочно-треугольного вида (21.20),причем юго-восточный (n00 × n00 )-блок G00 будет соответствовать л.э.¯ϕ00 = π 00 ◦ ϕ¯W 00 ∈ L(W 00 ),(22.16)где π 00 есть оператор проектирования на прямое слагаемое W 00 .Используя предложение 22.1 и формулу (22.12), мы получаем следующее разложение характеристического для ϕ многочлена на множители:hϕ (λ) = (λ − λ1 )n1 (λ − λ2 )n2 ...
(λ − λs )ns q(λ),(22.17)гдеq(λ) = hϕ00 (λ)(22.18)является многочленом степени n − n0 .В отличие от разложения (17.31), в котором двучлены λ−λi фигурируют в степенях mi и последний множитель g(λ) (степени n − m0 )не имеет корней в P, в разложении (22.17) многочлен q(λ) можетиметь корни (те из λi , для которых mi > ni ). Корням q(λ) соответствуют собственные векторы для ϕ00 , но они не будут собственнымидля ϕ (все векторы, собственные для ϕ, собраны в W 0 ).В случае диагонализируемости ϕ (на всем пространстве V ) подпространство W 00 тривиализуется (становится нулевым), геометрические кратности оказываются равными алгебраическим:ni = mi (i = 1, ...
, s).(22.19)254Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Ps(Это следует из критерия диагонализируемостиi=1 ni = n, неPsравенств ni 6 mi (i = 1, ... , s) и неравенства i=1 mi 6 n.)Равенства (22.19) являются достаточными дляPsдиагонализируемости лишь при дополнительном предположении i=1 mi = n, котороегарантированно выполняется над алгебраически замкнутым полем.В случае диагонализируемости ϕ разложения (17.31) и (22.17)идентичны, заключительные множители в них отсутствуют (сводятся к единице).§ 23. Итерированные ядра и образы,дефекты и ранги.Теорема о стабилизации23.1.
Итерированные ядра и образы, дефекты и рангидля л.э. Рассмотрим линейный эндоморфизм ϕ, действующий вn-мерном линейном пространстве V (над полем P ). Вместе с ним впространстве V будут действовать произвольные неотрицательныестепениε = ϕ0 , ϕ, ϕ2 , ... , ϕk , ... ,(23.1)также принадлежащие L(V ).Степень ϕk л.э. ϕ понимается как его повторное (k-кратное) применение. В связи с этим, наряду с термином степень, употребляетсятакже термин итерация (повторение): ϕk называется k-й итерацией л.э. ϕ.Каждый из эндоморфизмов (23.1) обладает своим ядром и образом (см. п. 14.2); так возникают две последовательности линейныхподпространств в пространстве V :N (k) = Ker(ϕk ); k = 0, 1, 2, ... ;(23.2)M (k) = Im(ϕk ); k = 0, 1, 2, ... .(23.3)(Поясним, что номер ядра или образа ставится как верхний индекс, причем — в скобках, во избежание путаницы с показателямистепени.)Определение 23.1.
Подпространства, входящие в последовательность (23.2) [соответственно (23.3)], называются итерированными ядрами [соответственно итерированными образами] для л.э. ϕ.§ 23Итерированные ядра и образы. Стабилизация255Вспоминая (см. определение 14.2), что размерность ядра линейного оператора называется его дефектом, а размерность образа —рангом, мы даем следующееОпределение 23.2. Размерности итерированных ядер (соответственно образов), т. е. неотрицательные целые числаd(k) = dfc(ϕk ) = dim(N (k) ); k = 0, 1, 2, ... ,(23.4)r(k) = rank(ϕk ) = dim(M (k) ); k = 0, 1, 2, ...
,(23.5)называются итерированными дефектами (соответственно итерированными рангами) для л.э. ϕ.В следующем предложении собраны простейшие свойства итерированных ядер, образов, дефектов и рангов.Предложение 23.1. 1. Последовательность итерированных ядердля линейного эндоморфизма ϕ, действующего в n-мерном линейномпространстве V, является неубывающей последовательностью линейных подпространств:O = N (0) 6 N (1) 6 N (2) 6 ... 6 N (k) 6 N (k+1) 6 ... 6 V.(23.7)2. Последовательность итерированных дефектов является неубывающей последовательностью неотрицательных целых чисел:0 = d(0) 6 d(1) 6 d(2) 6 ... 6 d(k) 6 d(k+1) 6 ...
6 n.(23.8)3. Последовательность итерированных образов является невозрастающей последовательностью линейных подпространств:V = M (0) > M (1) > M (2) > ... > M (k) > M (k+1) > ... > O.(23.9)4. Последовательность итерированных рангов является невозрастающей последовательностью неотрицательных целых чисел:n = r(0) > r(1) > r(2) > ... > r(k) > r(k+1) > ... > 0.(23.10)5. Для всякого целого k > 0 справедливо соотношение:d(k) + r(k) = n.(23.11)256Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 36.
Все итерированные ядра и образы являются ϕ-инвариантнымиподпространствами. Более точно, имеют место включения:ϕ(N (k) ) 6 N (k−1) 6 N (k) (k = 1, 2, 3, ...);(23.12)ϕ(M (k) ) 6 M (k+1) 6 M (k) (k = 0, 1, 2, ...).(23.13)Доказательство. 1. Объясним прежде всего тот факт, что последовательность (23.2) начинается с нулевого подпространства. Всамом деле, ϕ0 = ε и, следовательно, N (0) = Ker(ε) = O.Далее, пусть x ∈ N (k) , т. е. ϕk (x) = 0.
Тогдаϕk+1 (x) = ϕ(ϕk (x)) = ϕ(0) = 0.Значит, x ∈ N (k+1) . Включение N (k) 6 N (k+1) (для любого k > 0)доказано.2. В силу свойств размерности (см. п. 5.5), из включений (23.7)вытекают неравенства (23.8).3. Последовательность (23.3) начинается с наибольшего подпространства M (0) = V, поскольку Im(ϕ0 ) = Im(ε) = V.Если x ∈ M (k+1) (k > 0), т. е. x = ϕk+1 (u) для некоторого u ∈ V,то x = ϕk (ϕ(u)) ∈ M (k) . Включение M (k+1) 6 M (k) доказано.4.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
