Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 46
Текст из файла (страница 46)
, l,(24.10)где p(k) определяются формулами (24.2).Напомним, что (по причине наступившей стабилизации) имеет место равенство p(l+1) = 0. Следовательно, q (l) = p(l) .В следующем предложении проясняется смысл абсолютных вторых приращений дефектов.Предложение 24.1. Пусть подпространства C (k) выбраны в соответствии с пятым утверждением теоремы Фробениуса. Тогда абсолютные вторые приращения дефектов q (k) имеют следующий смысл:q (l) = p(l) = dim(C (l) )(24.11a)и (для любого k = 1, ... , l − 1)q (k) = dim(D(k) ),(24.11b)где D(k) является прямым дополнением к образу ϕ(C (k+1) ) в C (k) .Доказательство совершенно очевидно: достаточно подсчитатьразмерность второго прямого слагаемого в суммеC (k) = ϕ(C (k+1) ) ⊕ D(k) .
¤(24.12)Замечание 24.2. В качестве информации (которая в дальнейшембудет подтверждена вычислительными примерами) укажем на то,что любое из чисел q (k) (k = 1, ... , l − 1) может оказаться равнымнулю. Это свидетельствует о наличии равенства ϕ(C (k+1) ) = C (k) и,следовательно, о тривиальности дополнения: D(k) = O. Число q (l) ,по построению, всегда положительно.268Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3§ 25. Жорданов базис в стабильном ядрелинейного эндоморфизма.Малая теорема Жордана25.1. Понятие жорданова базиса для л.э. Напомним (см. пример 21.1), как выглядят матрицы, именуемые жордановыми ящиками (ж.я.):λ0 100 ... 000 ... 00 0 λ0 10 λ0 1 ... 00 0(25.1)00 λ0 ... 00 .Jn (λ0 ) = 0 ... ... ... ... ... ... ... 0000 ... λ0 10000 ... 0 λ0Предполагается, что матрица (25.1) имеет размер n×n. Не исключается случай n = 1, т. е. допускаются одноэлементные ж.я. видаJ1 (λ0 ) = (λ0 ) .(25.1a)При n > 2 матрицу (25.1) можно представить в виде суммы скалярной матрицы и нильпотентного жорданова ящика (н.ж.я.):Jn (λ0 ) = λ0 En + Jn (0) .(25.2)Согласно упомянутому примеру, такие матрицы являются недиагонализируемыми.Определение 25.1. Жордановым базисом для л.э.
ϕ ∈ L(V ) называется такой базис в пространстве V, в котором этому эндоморфизму отвечает блочно-диагональная матрица с жордановыми ящиками (возможно, различных размеров и с различными диагональными элементами) в качестве блоков.Если W является (нетривиальным) ϕ-инвариантным линейнымподпространством в пространстве V, то под жордановым базисомдля ϕ ¯в подпространстве W понимается жорданов базис для л.э.ϕ0 = ϕ¯W ∈ L(W ).Замечание 25.1. Диагонализирующий базис (см. определения 21.1и 21.10 ) является частным случаем жорданова базиса, характеризующимся тем, что все ж.я. являются одноэлементными.§ 25Малая теорема Жордана26925.2. Базисы в стабильном ядре л.э., организованные в виде столбчатых диаграмм.
Рассмотрим эндоморфизм ϕ ∈ L(V ),действующий в n-мерном линейном пространстве V и не являющийся обратимым. В этом случае его ядро N (1) = Ker(ϕ) являетсяненулевым (и оказывается к тому же не чем иным, как собственнымподпространством S0 (ϕ); см. пример 16.2). Пусть l — показательстабилизации, а N (l) — стабильное ядро для оператора ϕ.Как установлено в п. 23.3 [см. формулу (23.16)], стабильное ядроразбивается в прямую суммуN (l) = C (1) ⊕ C (2) ⊕ C (3) ⊕ ...
⊕ C (l−2) ⊕ C (l−1) ⊕ C (l) ,(25.3)где C (1) = N (1) , а C (k) является (произвольным) прямым дополнением к итерированному ядру N (k−1) в следующем итерированномядре N (k) (k = 2, ... , l).Равенство линейных подпространств (25.3) влечет равенство соответствующих размерностей:d(l) = p(1) + p(2) + p(3) + ... + p(l−2) + p(l−1) + p(l) ,(25.4)где d(l) есть стабильный дефект для ϕ, а числа p(k) (k = 1, ... , l) являются приращениями итерированных дефектов [см. (24.2)], в частности, p(1) совпадает с первым дефектом d(1) .Согласно теореме 24.1, выбор прямых дополнений, образующихсумму (24.3), можно осуществить таким образом, чтобы под действием ϕ дополнение C (k) отображалось в предыдущее дополнениеC (k−1) (k = l, ..., 2; в порядке убывания номеров).
При этом важно,что имеют место изоморфизмы ϕ(C (k) ) ∼= C (k) .Определение 25.2. Будем называть столбчатой диаграммой встабильном ядре N (l) системуG0 = [g1 , g2 , ... , gd(l) ] ,(25.5)состоящую из d(l) векторов, организованных в особую таблицу D0(представленную на диагр. 25.1 в прил. 3), в которой1) векторы изображаются точками в ячейках и размещаются в lстроках; строки нумеруются снизу вверх и выравниваются по левомукраю; количество точек-векторов в k-й строке (k = 1, ..., l) равно p(k)[эти числа не возрастают в силу неравенства Фробениуса];2) векторы, расположенные в k-й строке, составляют базис в подпространстве C (k) ;270Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
33) стрелки изображают действие л.э. ϕ: векторы из нижней строки отображаются в нуль; векторы из k-й строки (k = 2, ..., l) переходят в располагающиеся под ними векторы (k − 1)-й строки;4) векторы в диаграмме нумеруются по принципу: в столбцах —снизу вверх, столбцы — слева направо (верхнему вектору первогостолбца присваивается номер l; нижнему вектору второго — номер l + 1; и т. д., вплоть до последнего номера, равного стабильномудефекту).Прокомментируем определение 25.2. Читая эти пояснения, необходимо держать перед глазами упомянутую выше диагр. 25.1 изприл.
3.Прежде всего констатируем, что с.в. (25.5), описанная в определении, является базисом в стабильном ядре N (l) , приспособленнымк прямой сумме (25.3).Более подробно: векторы из первой строки диаграммы образуютбазис в N (1) ; векторы из первых двух строк вместе составляют базисв N (2) ; три нижних строки дают базис в N (3) и т. д.Охарактеризуем далее параметры столбчатой диаграммы.
Приэтом будут использоваться некоторые "не очень математические"(но понятные и выразительные) слова: "зона", "этаж", "ступенька".Высота (или число этажей) столбчатой диаграммы равняетсяпоказателю стабилизации l.Количество столбцов в диаграмме равно длине нижней строки,т. е.
равно первому дефекту d(1) = p(1) .Высота k столбцов изменяется в пределах от 1 до l. Столбцы одинаковой высоты сгруппированы в зоны, что приводит к образованиюступенек в диаграмме.Длина ступеньки на k-м этаже равняется абсолютному второмуприращению итерированных дефектов q (k) = p(k) − p(k+1) . Обращение этого числа в нуль свидетельствует о том, что на данном этажеступенька отсутствует. (Обязательно присутствует ступенька длиныq (l) = p(l) на самом верхнем этаже.)Число q (k) можно также охарактеризовать как количество столбцов высоты k, или же как длину k-й зоны (нумерация зон при этомидет справа налево; некоторые из них могут оказаться пустыми; зонасамых высоких столбцов никогда не пуста).Переходим к подробному описанию нумерации базисных векторов.
Столбцы будем нумеровать слева направо (от самых высоких ксамым низким) с помощью номера j, меняющегося в пределах от 1§ 25Малая теорема Жордана271до первого дефекта d(1) (равного длине первой строки). Эта длинаскладывается, очевидно, из длин всех имеющихся ступенек:d(1) = q (1) + q (2) + q (3) + ... + q (l−2) + q (l−1) + q (l) .(25.6)Высоту j-го столбца обозначим kj ; она совпадает с (отсчитываемым справа налево) номером зоны, в которую попадает данныйстолбец.Если же рассматривать, как мы только что условились, нумерацию столбцов в противоположном направлении, то получится:l, l − 1,kj = ........2,1,если 1 6 j 6 q (l) ;если q (l) + 1 6 j 6 q (l) + q (l−1) ;.............................................................(25.7)если q (l) + ... + q (3) + 1 6 j 6 q (l) + ...
+ q (2) ;если q (l) + ... + q (2) + 1 6 j 6 d(1) .Теперь в j-м столбце номер нижнего вектора может быть вычислен как k1 + ... + kj−1 + 1, а номер верхнего вектора — как k1 + ... + kj .Напомним, что изначально содержание столбчатой диаграммы описывалось построчно, в соответствии с прямой суммой (25.3). Здесьже мы перегруппируем базисные векторы по столбцам: j-я группабудет иметь вид£¤Yj = gk1 +...+kj−1 +1 , ... , gk1 +...+kj(25.8)и будет порождать kj -мерное линейное подпространствоZj = hYj i 6 N (l) ; j = 1, ..., d(1) ,(25.9)которое мы назовем циклическим.Согласно предложению 9.2, получается другое разбиение стабильного ядра в прямую сумму:N (l) = Z1 ⊕ Z2 ⊕ ... ⊕ Zd(l) .(25.10)Прямой сумме (25.10) соответствует разбиение базиса (25.5) в объединение базисов вида (25.8):G0 = [Y1 , Y2 , ... , Yd(1) ] .(25.11)272Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3Каждое из циклических подпространств Zj является ϕ-инвариантным. Это следует из характера действия л.э. ϕ на векторы базиса (25.8), которое показано вертикальными стрелками на диаграмме 25.1. Применительно к первому столбцу можно записать:ϕϕϕϕϕϕϕgl 7→ gl−1 7→ gl−2 7→ ... 7→ g3 7→ g2 7→ g1 7→ 0.(25.12)В общем виде все выглядит совершенно аналогично, но необходимы сложные (двухэтажные, длинные и содержащие многоточия)индексы, типа тех, что фигурируют в (25.8).25.3. Малая теорема Жордана. В этом пункте мы установим важнейший факт, являющийся ключом к знаменитой теореме осуществовании жорданова базиса для л.э. Название теоремы не является общепринятым, но придумано автором настоящего пособияс тем, чтобы обозначить первый этап в доказательстве упомянутойтеоремы.
Второй этап (см. § 27) получит название "большой теоремы Жордана".Теорема 25.1 (малая теорема Жордана, МТЖ). Пусть ϕ — необратимый л.э., действующий в n-мерном линейном пространстве V,с показателем стабилизации l, стабильным ядром U = N (l) и стабильным дефектом m = d(l) . Тогда1) в подпространстве U существует базис (25.5), организованныйв столбчатую диаграмму;2) этот базис является жордановым;¯3) эндоморфизму ϕ0 = ϕ¯U отвечает в нем блочно-диагональная(m × m)-матрица J0 с нильпотентными жордановыми ящиками надиагонали (см.
диагр. 25.2 в прил. 3);4) общее количество н.ж.я. в матрице J0 равняется первому дефекту d(1) = dfc(ϕ); размеры ящиков заключены в пределах от 1 до l,причем имеется q (k) ящиков размера k × k (где q (k) — абсолютныевторые приращения итерированных дефектов; k = 1, ... , l).Доказательство. 1. Доказательство первого утверждения непосредственно усматривается из теоремы Фробениуса 24.1. (Снова прослеживайте каждый шаг по диагр.
25.1.)Выбрав произвольный базис в подпространстве C (l) (содержащийq (l) векторов) и применив к нему л.э. ϕ, мы получим базис в образе ϕ(C (l) ). Это следует из факта мономорфности сужения ϕ на C (l) .Полученный образ независим с ядром N (l−2) и может быть включен в некоторое прямое дополнение C (l−1) к N (l−2) в ядре N (l−1) .§ 25Малая теорема Жордана273Базис в ϕ(C (l) ) может быть продолжен до (содержащего p(l−1) векторов) базиса в C (l−1) . При этом придется добавить q (l−1) = p(l−1) −p(l)векторов. (Если указанное число равно нулю, то ничего добавлятьне нужно, — следует переход к очередному "шагу вниз".)Вспоминая обозначения из предложения 24.1, заметим, что добавочные векторы будут составлять базис в некотором прямом дополнении D(l−1) к подпространству ϕ(C (l) ) в подпространстве C (l−1) .Точно так же мы рассуждаем, находясь на любом из этажей сномером k > 2.
Переходя к этажу с номером k − 1, мы— либо сразу получаем базис в C (k−1) как образ базиса в C (k)(если q (k−1) = 0);— либо (если q (k−1) > 0) должны будем добавить к указанномуобразу еще q (k−1) векторов, составляющих базис в некотором прямом дополнении D(k−1) к подпространству ϕ(C (k) ) в подпространстве C (k−1) .Некоторую особенность доставляет последний шаг (со второгоэтажа на первый), но мы о ней уже говорили в пятом пункте доказательства теоремы Фробениуса (и еще раз поговорим при рассмотрении алгоритма построения столбчатой диаграммы; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
