Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 50

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 50)

3Произведя пересчет по типу (26.20), будем иметь:hϕ0i (λ + λi ) = λmi .(26.26)Делая в (26.26) обратный сдвиг по аргументу (т. е. заменяя переменную λ на λ − λi ), мы приходим к (26.24). ¤26.5. Жорданов базис в корневом подпространстве л.э.В теореме 25.1 (МТЖ) утверждалось, что в стабильном ядре (необратимого) л.э. ϕ существует жорданов базис, в котором эндоморфизму ϕ соответствует блочно-диагональная матрица с н.ж.я. вида Jk (0) на диагонали. Поскольку каждое из корневых подпространств Ui = Qλi (ϕ) является стабильным ядром для линейногоэндоморфизма ψi , то в нем существует жорданов базис для этого("своего") эндоморфизма.Следующая теорема утверждает, что указанный жорданов базисдля ψi является жордановым и для исходного ("общего для всех")эндоморфизма ϕ. Только ящики уже будут иметь вид Jk (λi ) .Теорема 26.1.

Пусть ϕ — л.э., действующий в n-мерном линейном пространстве V, λi — собственное значение для ϕ, которое имееталгебраическую кратность mi и которому отвечает корневое подпространство Ui = Qλi (ϕ), являющееся стабильным (с показателемстабилизации li ) ядром для л.э. ψi = ϕ − λi ε.Определим последовательности— итерированных дефектов(k)di= dfc(ψik ); k = 1, ... li ;(26.27)— приращений итерированных дефектов(1)pi(k)= d(1) ; pi(k)= di(k−1)− di(k = 2, ...

, li );(26.28)— абсолютных вторых приращений итерированных дефектов(k)qi(k)= pi(k+1)− pi(li )(k = 1, ... , li − 1); qi(l )= pi i .(26.29)Тогда1) в подпространстве Ui существует базис, организованный в столбчатую диаграмму Di (см. диагр. 26.1 в прил. 3);§ 26Корневые подпространства2912) этот базис является жордановымдля л.э. ϕ;¯0¯3) эндоморфизму ϕi = ϕ U отвечает в нем блочно-диагональнаяi(mi × mi )-матрица Ji с жордановыми ящиками вида Jk (λi ) на диагонали (см.

диагр. 26.2 в прил. 3);4) общее количество ж.я. в матрице Ji равняется первому дефекту(1)di = dfc(ψi ) (или, что то же, геометрической кратности ni собственного значения λi ); размеры ящиков заключены в пределах от 1 до li ,(k)причем имеется qi ящиков размера k × k.Доказательство. Согласно МТЖ, в подпространстве Ui существует жорданов базис для л.э. ψi .

Этот базис будет организованв столбчатую диаграмму вида 25.1 (см. прил. 3).На диаграмме 26.1 (в том же приложении) произведены необходимые переобозначения, соответствующие рассматриваемому случаю;в частности стрелки в Di соответствуют не ϕ, но ψi . Общее количество ячеек в диаграмме равно размерности подпространства Ui ,т. е. алгебраической кратности mi собственного значения λi . Общее(1)количество столбцов равно первому итерированному дефекту diдля л.э. ψi , т. е. размерности ядра Ker(ψi ).

Для этой характеристики имеются другой термин и другое обозначение — геометрическаякратность ni собственного значения λi .В жордановом базисе суженному эндоморфизму ψi0 будет соответствовать блочно-диагональная матрица Bi0 , типа представленнойна диагр. 25.2. Размеры ящиков описываются тем же правилом, нотеперь все характеристики (дефекты, их первые и вторые приращения) имееют двойную индексацию: снизу — номер собственногозначения, сверху (в скобках) — номер итерации.В силу соотношения (26.7) между сужениями ψi0 и ϕ0i , имеетсяаналогичное соотношение между их матрицами:A0i = λi Ei + Bi0 ,(26.30)где все участвующие матрицы (в том числе и единичная Ei ) имеютразмеры mi × mi .Таким образом, для получения матрицы A0i надо к матрице Bi0 ,представленной на диагр.

25.2, добавить скалярную матрицу с элементами λi на диагонали. Все жордановы ящики, которые были вматрице Bi0 нильпотентными, превратятся в матрице A0i в ящики вида Jk (λi ) . В связи с этим мы произведем переобозначение: A0i = Ji .Соответствующие изменения отражены на диагр. 26.2 (в прил. 3).292Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.

3Приходим к выводу, что представленный столбчатой диаграммой Di базис в корневом подпространстве Ui является жордановымбазисом для л.э. ϕ и что сужению ϕ на Ui отвечает матрица Ji , видкоторой определяется сформулированными в теореме правилами. ¤26.6. Алгоритм построения жорданова базиса в корневом подпространстве. Кратко описываемый ниже алгоритм неявляется новым. Предыдущий алгоритм 25.1 реализуется применительно к вспомогательному эндоморфизму ψi = ϕ − λi ε, где λi —одно из собственных значений для л.э.

ϕ, имеющее алгебраическуюкратность mi . Стабильным ядром эндоморфизма ψi является корневое подпространство Ui = Qλi (ϕ). В подпространстве Ui строитсяжорданов базис для ψi ; он же будет жордановым для ϕ. На завершающем этапе формируется блочно-диагональная (mi × mi )-матрица,отвечающая в найденном базисе сужению ϕ на Ui .А л г о р и т м 26. 1.Построение жорданова базиса Gi для л.э. ϕ ∈ L(V )в корневом подпространстве Ui = Qλi (ϕ) и вычисление¯матрицы, отвечающей в этом базисе сужению ϕ¯Ui1. В n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) фиксируется базис B, в котором оператору ϕ соответствует (n×n)-матрица A.Считается уже известным некоторое собственное значение λi ∈ σ(ϕ).Рассматривается л.э.

ψi = ϕ − λi ε, заданный в базисе B матрицейBi = A − λi E.2. Построение необработанных базисов в итерированных ядрах.Решая однородные с.л.у. Bik x = 0, находим базисы и размерностидля итерированных ядер(k)Ni= Ker(ψik ) = L0B k .i(26.31)(k)Размерности (итерированные дефекты) обозначаются di ; первый из них совпадает с геометрической кратностью собственного(1)значения λi : di = ni .(k)(k)Базисы накапливаются в (n × di )-матрицах Fi . Так продолжается до достижения стабилизации, сигналом о чем служит равенство§ 26Корневые подпространства293очередного дефекта и алгебраической кратности mi ; соответствующее значение k обозначается li ; оно является показателем стабилизации для ψi .3.

Формирование (mi × mi )-матрицы Ji , отвечающей сужению ϕ0i(l )л.э. ϕ на корневое подпространство Ui = Ni i .Вычисляем первые и абсолютные вторые приращения итерированных дефектов по формулам (26.28) и (26.29) и строим столбчатую диаграмму Di вида 26.1 (см. прил. 3): она должна содержатьmi ячеек, сгруппированных в li строк; на k-м этаже должно рас(k)полагаться pi ячеек (k = 1, ...

, li ). В соответствующей матрице Ji(k)должны присутствовать qi ж.я. вида Jk (λi ) , которые располагаются по диагонали, в порядке убывания размеров: k = li , ... , 1 (см.диагр. 26.2 в прил. 3).4. Обработка базисов в итерированных ядрах (заполнение столбчатой диаграммы Di ).Верхняя строка Di заполняется добавочными векторами, опредеяемыми после приведения к ступенчатому виду матрицы (l −1)=  Fi i(li )Mi(l −1)n×d ii¯¯¯¯ (li ) ¯ Fi  ;¯¯ n×d(li )(26.32)iэти векторы будут составлять базис в некотором прямом дополне(l )нии Ci i к предстабильному ядру в стабильном; они заносятся в(l )(l )(n × pi i )-матрицу Gi i .Далее, опускаясь с k-го этажа на (k − 1)-й (k = li , ..., 2) и уже имея(k)(k)заполненной (n×pi )-матрицу Gi , содержащую базис в прямом до(k)(k−1)(k)полнении Ci к ядру Niв ядре Ni , мы составляем и приводимк ступенчатому виду "трехзонную" матрицу-конкатенацию(k−1)Mi(k−2)=  Fin×d(k−2)i¯¯¯¯ Bi · G(k)i¯¯ n×p(k)i¯¯¯ (k−1)¯ F¯ i (k−1) ;¯ n×d(26.33)iзатем по ступенькам (в третьей зоне) определяются и заносятся в(k−1)(k−1)(k−1)(n × qi)-матрицу Hiте векторы из матрицы Fi, которые(k−1)составляют базис в некотором прямом дополнении Diк образу(k)(k−1)ψi (Ci ) в подпространстве Ci.294Спектральная теория линейных эндоморфизмов(k−1)Матрица GiмулеГл.

3(k−1), содержащая базис в Ci, находится по фор¯¯(k−1)(k) ¯(k−1) .(26.34)Gi= Bi · Gi ¯¯ Hi(k−1)(k)(k−1)¯n×pn×pn×qiii(k−1)Если qi= 0, то третья зона в матрице (26.33) и вторая зонав матрице (26.34) оказываются пустыми. При k = 1 оказываетсяпустой первая зона в матрице (26.33).5.

Перенумерация векторов в столбчатой диаграмме. Все miвекторов, составляющих столбчатую диаграмму Di , следует перенумеровать по принципу "столбцы диаграммы — слева направо, векторы в столбцах — снизу вверх" и в таком порядке занести их вматрицуGi = (g1 | g2 | ... | gmi ) .(26.35)n×miНа выход выдаются: (n × mi )-матрица Gi , содержащая жорданов базис Gi для л.э. ϕ в корневом пространстве Ui и квадратная(mi × mi )-матрица Ji , отвечающая в этом базисе сужению ϕ0i .§ 27. Корневая сумма.Большая теорема Жордана27.1. Независимость в совокупности корневых подпространств для л.э.

Содержание данного пункта перекликается с содержанием § 19. Свойства, аналогичные тем, что в пп. 19.2 и 19.3 были установлены применительно к собственным подпространствам,здесь будут доказаны для корневых подпространств. В частности,мы получим аналоги предложения 19.3 и теоремы 19.1.

(Это будутпредложение 27.1 и теорема 27.2.)Предложение 27.1. Конечная системаA = [ a1 , a2 , ... , ak ],(27.1)составленная из корневых векторов ai (i = 1, ..., k) для линейногоэндоморфизма ϕ ∈ L(V ), отвечающих попарно различным собственным значениям λi ∈ σ(ϕ) (i = 1, ..., k), линейно независима.Доказательство (как и в случае системы собственных векторов)проводится индукцией по k.§ 27Корневая сумма.

Большая теорема Жордана295Для k = 1 утверждение выполняется, поскольку любой корневойвектор (так же, как и любой собственный вектор) является, по определению, ненулевым.Предположим теперь, что утверждение предложения справедливо для любой с.в., содержащей k корневых векторов, отвечающих kпопарно различным собственным значениям, и докажем его для произвольной системыA0 = [ a1 , a2 , ... , ak , ak+1 ]; ai ∈ Sλi (ϕ),(27.2)из k + 1 корневого вектора, где снова все собственные значенияλi ∈ σ(ϕ) (i = 1, ... , k + 1) попарно различны.Предположим, что система (27.2) линейно зависима, и учтем тотфакт, что ее подсистема A, составленная из первых k векторов иимеющая вид (27.1), будет, в силу предположения индукции, линейно независимой.Из этого, при посредстве предложения 3.1, следует, что векторak+1 , последний из входящих в A0 , линейно выражается через A,т.

е. найдутся скаляры µi ∈ P (i = 1, ... , k) такие, чтоak+1 = µ1 a1 + µ2 a2 + ... + µk ak .(27.3)Три предыдущих абзаца были скопированы (с небольшой правкой) из текста доказательства предложения 19.3. Ниже начинаетпроявляться специфика корневых векторов, понятия более общего,нежели собственные векторы.Каждый из векторов ai (i = 1, ... , k + 1) отвечает одному из попарно различных собственных значений λi , т. е.

принадлежит стабильному ядру(l )Ui = Ni i = Ker(ψili ),(27.4)где ψi = ϕ − λi ε.Каждый из л.э. ψi имеет свой показатель стабилизации li , совпадающий (см. первое утверждение предложения 26.1) с показателемнильпотентности для сужения этого эндоморфизма на Ui ; так чтодля любого i выполняется ψili (ai ) = 0. Все эти показатели не превышают "своих" размерностей mi = dim(Ui ) и, подавно, не превышаютразмерности n всего пространства V. Поэтому можно утверждать,чтоψin (ai ) = 0(27.5)для любого i = 1, ...

Характеристики

Список файлов книги