Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 54
Текст из файла (страница 54)
;22i11h2k−1 = (gk + gk ); h2k = (gk − gk ).22i(27.41)Вектор h1 есть не что иное, как действительная часть вектора g1 , а вектор h2 — его мнимая часть: h1 = Re(g1 ); h2 = Im(g1 );и т. д. Можно выписать обратные выражения:g1 = h1 + ih2 ; g2 + h3 + h4 ; ... ; gk = h2k−1 + ih2k(27.42)и сопряженные к ним.Новые векторы h1 , h2 , ... , h2k будут образовывать новый базис впрямой сумме Z ⊕ Z, причем — действительный, т. е. принадлежащий вещественному подпространству V .
Вычислим (2k×2k)-блок R,отвечающий в этом базисе сужению оператора ϕ на Z ⊕ Z. Имеем:ϕ(h1 ) =1(ϕ(g1 ) + ϕ(g1 )) =211= (λp g1 + λp g1 ) = (λp g1 + λp g1 ) = Re(λp g1 ) =22= Re ((αp + iβp )(h1 + ih2 )) = αp h1 − βp h2и, аналогично,ϕ(h2 ) = βp h1 + αp h2 .Далее,1(ϕ(g2 ) + ϕ(g2 )) =211= (λp g2 + g1 + λp g2 + g1 ) = h1 + (λp g2 + λp g2 ) =22= h1 + Re(λp g2 ) = h1 + Re ((αp + iβp )(h3 + ih4 )) =ϕ(h3 ) == h1 + αp h3 − βp h4и, аналогично,ϕ(h4 ) = h2 + βp h3 + αp h4 .312Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Закономерность ясна: блок R является действительным и, в своюочередь, имеет следующий блочно-треугольный вид (нулевые блокиоставлены пустыми):αp βp1−βp αp0αp−βpR =2k×2k 01βpαp10..01....αp βp−βp αp,1 00 1αp βp −βp αp(27.43)или, в краткой записи:ΛR=pE2ΛpE2......ΛpгдеµΛp =αp−βpβpαpE2Λp,(27.44)¶(27.45)есть действительная (2×2)-матрица, элементы которой определяются по комплексному собственному значению λp = αp + iβp , а E2 —единичная матрица такого же размера.Если проделать описанные выше манипуляции для каждой парысопряженных собственных значений, в каждой паре соответствующих им циклических подпространств, то в пространстве V C будетзадан действительный базис H, в котором оператору χ будет отвечать действительная матрица JR , вид которой описывается ниже.Она является блочно-диагональной; среди ее диагональных блоков могут присутствовать как обычные жордановы ящики, отвечающие действительным собственным значениям, так и более сложныеблоки вида (27.44), отвечающие парам комплексно сопряженных собственных значений.§ 28Алгоритм построения жорданова базиса313Каждый из блоков последнего типа, в свою очередь, имеет блочнотреугольную структуру, причем диагональные блоки треугольнымине являются: оказывается частично заполненной первая "поддиагональ".Матрицы, все элементы которых, расположенные ниже первойподдиагонали, равны нулю, принято называть (см.
например [26])верхними хессенберговыми; они играют заметную роль в некоторыхвопросах вычислительной линейной алгебры.Вспомним теперь, что в действительном базисе матрицы эндоморфизмов ϕ и χ одинаковы, так что JR отвечает в базисе H исходномул.э. ϕ. Эта хессенбергова матрица называется обобщенной жордановой нормальной формой для действительной матрицы A. МатрицыA и JR вещественно подобны.§ 28. Алгоритм построения жорданова базисадля линейного эндоморфизма28.1. Обзор ранее изученных алгоритмов спектральнойтеории л.э. В текущей главе нами уже изучены четыре алгоритма (с номерами 18.1, 21.1, 25.1 и 26.1), каждый из которых можнорассматривать как определенное звено в структуре итогового сложного алгоритма, к рассмотрению которого мы приступаем здесь.Напомним некоторые детали, связанные с описанием "входныхданных" и постановкой задачи.В n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) выбран базис B, позволяющий арифметизировать V .
Линейный эндоморфизмϕ ∈ L(V ) задан своей (n × n)-матрицей A относительно базиса B.Работа алгоритма 18.1 начинается с вычисления характеристического многочленаhϕ (λ) = det(λE − A)и его корней, т. е. собственных значений, или — элементов спектраσ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs },вместе с соответствующими кратностями mi (i = 1, ... , s).(Спектр л.э. должен быть непустым, иначе этот и последующиеалгоритмы ничего не дают.)314Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Далее для каждого из λi находится соответствующее собственноеподпространствоWi = Sλi (ϕ);оно представляется как линейная оболочка столбцов фундаментальной матрицы Fi для с.л.у.
Bi x = 0, гдеBi = A − λi E.Наряду со списком алгебраических кратностей mi , рассматривается список размерностей ni = dim(Wi ), т. е. геометрических кратностей для собственных значений λi . Вычисляются суммы m0 и n0тех и других кратностей.Алгоритм 21.2 служит продолжением алгоритма 18.1.В случае n0 = n он позволяет (объединив все фундаментальныематрицы Fi ) получить в пространстве диагонализирующий базисдля л.э. ϕ.Если n0 < n, то выдается некий "суррогат" — частично диагонализирующий базис в собственной сумме0S(ϕ) = W =sMWi .i=1Алгоритм 25.1 позволяет построить в стабильном ядре (необратимого) л.э. ϕ так называемый жорданов базис G0 , в котором сужениена стабильное ядро данного л.э.
имеет блочно-диагональную матрицу J0 , с нильпотентными жордановыми ящиками на диагонали.Дли описания жорданова базиса составляется столбчатая диаграмма D0 , параметры которой однозначно определяются по итерированным дефектам d(k) = dfc(Ak ); k = 1, 2, ... l, где l — показательстабилизации для л.э. ϕ. В свою очередь, по диаграмме D0 определяется блочная структура (d(l) × d(l) )-матрицы J0 .(Все это проиллюстрировано диаграммами 25.1 и 25.2 и подробнопрокомментировано в приложении 3.)Алгоритм 26.1 работает (при каждом фиксированном i = 1, ...
, s)как "специализация" алгоритма 25.1 применительно к л.э.ψi = ϕ − λi ε,действие которого в исходном базисе B определяется матрицей Bi .Показатель стабилизации li для ψi находится как наиеменьшее изнатуральных чисел k таких, что итерированный дефект(k)di= dfc(Bik )§ 28Алгоритм построения жорданова базиса315равен алгебраической кратности mi . Стабильный дефект(l )di i = miравен размерности стабильного ядра для ψi , т.
е. — корневого подпространстваUi = Qλi (ϕ).На выходе алгоритма получается жорданов базис Gi в подпространстве Ui , представляемый столбцами (n × mi )-матрицы Gi , атакже (mi × mi )-матрица Ji , отвечающая в этом базисе сужениюна Ui данного л.э. ϕ. Эта матрица является блочно-диагональной;на ее диагонали располагаются (в порядке, определяемом по столбчатой диаграмме Di ) жордановы ящики вида Jk (λi ) , где 1 6 k 6 li .Количество ящиков заданного размера определяется по так называемым абсолютным вторым приращениям итерированных дефектов.Общее количество ящиков (всех возможных размеров) оказываетсяравным геометрической кратности ni .(В приложении 3 приведены и прокомментированы диаграммы26.1 и 26.2, иллюстрирующие многочисленные детали или особыеситуации, возникающие при работе алгоритма.)Описываемый в следующем пункте алгоритм 28.1 является "сборкой" всех вспомогательных алгоритмов, обзор которых только чтобыл дан.
Основные понятия и обозначения, упоминавшиеся в этомобзоре, ниже используются без дополнительных комментариев.28.2. Алгоритм построения (частично) жорданова базисадля л.э.А л г о р и т м 28. 1.Исследование вопроса о существованиижорданова базиса для л.э.Отыскание (частично) жорданова базиса1.
С помощью алгоритма 18.1 вычисляем характеристическиймногочлен hϕ (λ), спектр σ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs }, список алгебраических кратностей mi (i = 1, ... , s) и их сумму m0 .1.1. Если m0 = n, то констатируем, что жорданов базис G дляэндоморфизма ϕ существует во всем пространстве V , совпадающемпри указанном условии с корневой суммойsM0Q(ϕ) = U =Ui .(28.1)i=1316Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 31.2. Если m0 < n, то жорданов базис G 0 существует лишь в m0 мерном подпространстве U 0 < V ; он может быть продолжен до частично жорданова базиса в V .2i . Для каждого i = 1, ..., s вычисляем матрицу Bi , отвечающуюл.э. ψi = ϕ − λi ε, и, с помощью алгоритма 26.1, находим сначала "необработанные" базисы во всех итерированных ядрах для ψi ,начиная с первого и кончая стабильным, а также — их размерности (итерированные дефекты); сигналом о наступлении стабилизации служит равенство очередного итерированного дефекта и алгебраической кратности mi .
Далее производится определение параметров столбчатой диаграммы Di , вычисление "большого" (mi × mi )блока Ji (блочно-диагонального, с жордановыми ящиками Jk (λi )по диагонали), обработка базисов и представление искомого жорданова базиса Gi (в корневом пространстве Ui ) (n × mi )-матрицей Gi .3. Формируем (n × m0 )-матрицуG0 = (G1 | G2 | ... | Gs ) ,(28.2)содержащую жорданов базис в корневой сумме U 0 , а также (m0 ×m0 )матрицуJ 0 = diag(J1 , J2 , ... , Js )(28.3)(см. диагр. 27.1 в прил.
3), отвечающую сужению л.э. ϕ на U 0 .4. Формируем матрицу перехода от исходного базиса к жорданову (или частично жорданову) базису, а также ж.н.ф. (или частичнуюж.н.ф.) для л.э. ϕ.4.1. Если m0 = n, то (n × n)-матрица G = G0 содержит жордановбазис для ϕ во всем пространстве V, а (такого же размера) матрицаJ = J 0 является жордановой нормальной формой для матрицы A.Матрицу G можно считать матрицей перехода от исходного (приарифметизации отождествленного с естественным) базиса в V к жорданову базису.
Формула G · J = A · J и условие det(G) 6= 0 могутслужить для проверки правильности вычислений.4.2. Если m0 < n, то матрица G0 будет содержать базис в корневойсумме U 0 = Q(ϕ). С помощью алгоритма 10.4 он продолжается добазиса во всем пространстве. При этом добавляются m00 = n − m0векторов, составляющие базис в некотором прямом дополнении U 00к подпространству U 0 . Матрица K размера n × m00 , содержащая эти§ 28Алгоритм построения жорданова базиса317векторы, приписывается справа к матрице G0 . Квадратная (n × n)матрицаT = (G 0 |K)(28.4)содержит частично жорданов базис в V, в котором оператору ϕбудет соответствовать частично жорданова (блочно-треугольная сжордановым северо-западным блоком) матрицаJ1O...OC10 O J2 . . . O C 0 20−1A = T AT = .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
