Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 53
Текст из файла (страница 53)
, bn ].(27.27)Размерность прямой суммы (27.22) над полем R равняется 2n,причем в качестве базиса в ней можно выбрать с.в.C = [b1 , b2 , ... , bn , ib1 , ib2 , ... , ibn ](27.28)(используются описанные выше отождествления).Если ту же прямую сумму (27.22) рассматривать над полем C, тос.в. (27.27) останется базисом после ее вложения V C . В самом деле,произвольный вектор z = x + iy ∈ V C представляется в виде:z=nXk=1αk bk + inXk=1βk bk =nX(αk + iβk )bk =k=1nXλk bk ,k=1где коэффициенты αk , βk ∈ R; λk = αk + βk ∈ C (k = 1, ... , n).Получается, что пространство V C имеет над полем C такую жеразмерность n, как исходное пространство V над R :dimC (V C ) = dimR (V ).(27.29)Базис вида (27.27) в комплексификации V C будем называть действительным базисом этого (вещественно-комплексного) пространства.Переходим к описанию "встречной" конструкции превращениякомплексного линейного пространства в действительное. Она значительно проще в идейном отношении: всякое линейное пространствонад более широким полем P2 (P2 ⊃ P1 ) может, очевидно, рассматриваться над более узким полем P1 .В частности, всякое комплексное пространство V можно рассматривать как действительное, и тогда для него используется обозначение VR и вводится термин овеществление комплексного пространства V.Размерность (над R) пространства VR вдвое больше размерности(над C) пространства V, причем, имея базис B = [b1 , b2 , ...
, bn ] в исходном пространстве, мы можем в качестве базиса для овеществленного пространства взять с.в. C = [b1 , b2 , ... , bn , ib1 , ib2 , ... , ibn ]. (Любопытное обстоятельство: идентичные в записи формулы использовались выше, при описании комплексификации, но здесь логика ихпостроения — в некотором смысле противоположная.)§ 27Корневая сумма. Большая теорема Жордана307"Встречные" операции комплексификации и овеществления отнюдь не являются взаимно обратными. Из изложенного выше достаточно ясно, что если после комплексификации произвести овеществление, то полученное действительное пространство будет изоморфно прямой сумме исходного действительного пространства с самимсобой.
Мы советуем заинтересованным читателям прочитать в (указанных выше) учебниках о том, что будет, если выполнить сначалаовеществление комплексного пространства, а потом — комплексификацию того, что получится.Здесь же мы займемся комлексификацией линейных отображений(гомоморфизмов).Всякому R-линейному гомоморфизму ϕ ∈ LR (V, W ) одного действительного пространства в другое можно сопоставить C-линейныйгомоморфизм комплексификацийχ = ϕC ∈ LC (V C , W C ),(27.30)χ(z) = ϕ(x) + iϕ(y); z = x + iy ∈ V C(27.31)задаваемый формулойи именуемый комплексификацией гомоморфизма ϕ.Проверка линейности (над C) отображения (27.31) является элементарным упражнением [см.
формулу (27.23)]. Не доставит вамбольших хлопот также и доказательство свойстваχ(z) = χ(z).(27.32)Из определения (27.31) очевидно, что сужение комплексифицированного гомоморфизма χ на вешественное подпространство V 6 V Cсовпадает с исходным гомоморфизмом ϕ.Интересным является вопрос: всякий ли комплексно-линейныйгомоморфизм комплексификаций является комплексификацией вещественно-линейного гомоморфизма исходных пространств? (Исчерпывающий ответ можно найти в упомянутых в начале пунктаучебниках.)Пусть в действительных пространствах V и W выбраны произвольные базисы.
Будучи вложенными в комплексификации, онистанут действительными базисами в вещественно-комплесных пространствах V C и W C .308Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Из общего правила составления матрицы линейного отображения(см. п. 12.2) вытекает тот факт, что в действительных базисах матрица комплексифицированного гомоморфизма совпадает с матрицей исходного гомоморфизма.Ниже мы ограничимся изучением комплексификаций для линейных эндоморфизмов. Пусть л.э. ϕ действует в n-мерном действительном пространстве V, в котором выбран базис (27.27), позволяющий сопоставить данному эндоморфизму действительную (n × n)матрицу A.
В комплексифицированном пространстве V C будет действовать л.э. χ = ϕC ; в действительном базисе, полученном вложением (27.27) в V C , оператору χ будет соответствовать та же самаяматрица A.Рассмотрим спектр л.э. ϕ (в поле R):σ(ϕ) = σR (A),(27.33)состоящий из всех действительных характеристических корней дляматрицы A.Если количество этих корней (с учетом их кратностей) достаточно, т.
е. равняется n, то для л.э. ϕ существует в пространстве Vжорданов базис и матрица A приводима к ж.н.ф. (над полем R).Никакая комплексификация в этом случае не требуется. (Но если еевсе-таки произвести, то л.э. χ будет иметь действительный жорданов базис.)Если же сумма кратностей действительных характеристическихкорней матрицы A меньше n, то понадобится переход к комплексифицированному эндоморфизму χ и изучение его спектра:σ(χ) = σC (A).(27.34)Алгебраическая замкнутость поля комплексных чисел гарантирует наличие достаточного количества комплексных характеристических корней и, как следствие, существование (комплексного) жорданова базиса G в пространстве V C для л.э.
χ. В этом базисе оператору χ будет соответствовать (комплексная) матрица J, являющаясяж.н.ф. матрицы A.Известно (см. [A1 , п. 43.3]), что корни многочлена с действительными коэффицентами разбиваются на две категории:— действительные корни λp , с кратностями mp (p = 1, ... , s) [буква i занята "комплексными делами", поэтому пришлось здесь и далеезаменить привычный индекс на p ];§ 27Корневая сумма. Большая теорема Жордана309— недействительные комплексные корни λp = αp + iβp , кратности mp , каждый из которых встречается в паре с комплексно сопряженным корнем λp = αp − iβp , такой же кратности (βp 6= 0;p = s + 1, ... , s + t).Сумма всех кратностей равна степени многочлена (в данном случае — размерности n):m1 + ... + ms + 2(ms+1 + ...
+ ms+t ) = n.Каждому действительному λp отвечает в ж.н.ф. действительный"большой" блок Jp , с жордановыми ящиками вида Jk (λp ) на диагонали (p = 1, ... , s).Каждой паре комплексно сопряженных корней λp , λp в матрицеJ отвечает пара "больших" блоков, Jp и Jp , где черта над матрицейуказывает на то, что ко всем элементам этой матрицы применяетсякомплексное сопряжение. Ящики в первом блоке имеют вид Jk (λp ) ,а во втором — вид Jk (λp ) , где p = s + 1, ... , s + t."Ящичное" строение блока Jp определяется итерированными рангамиrp(k) = rank(Bp ); Bp = A − λp E(27.35)(или, что равносильно, — соответствующими дефектами).Сопряженному корню λp соответствует матрицаBp = A − λp E,(27.36)имеющая, как легко доказать, те же итерированные ранги (27.35).Значит, "ящичное" строение блока Jp в точности совпадает со строением Jp .Более того, вектор z = x+iy ∈ V C принадлежит k-му итерированному ядру оператора χ − λp ε, связанного с собственным значениемλp = αp + iβp , тогда и только тогда, когда комплексно сопряженный вектор z = x − iy принадлежит k-му ядру оператора χ − λp ε,связанного с λp = αp − iβp .В самом деле, для k = 1 это доказывается следующей выкладкой:(χ − λp ε)(z) == χ(z) − λp z = ϕ(x) − iϕ(y) − (αp − iβp )(x − iy) == ϕ(x) + iϕ(y) − (αp + iβp )(x + iy) = χ(z) − λp z == (χ − λp ε)(z);310Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3далее применяется очевидная индукция по k. В конце концов, мыдоберемся до стабильных ядер, т. е. корневых подпространств, ипридем к выводу, чтоQλp (χ) = Qλp (χ); p = s + 1, ... , s + t,(27.37)т. е. корневое подпространство, отвечающее собственному значению,комплексно сопряженному с данным, состоит из векторов, комплексно сопряженных векторам, принадлежащим корневому подпространству, отвечающему данному собственному значению.Еще более внимательный анализ показывает, что на каждом шаге построения жордановых базисов в корневых подпространствах,работу алгоритма можно организовать так, чтобы жорданов базисв Qλp (χ) состоял из векторов, комплексно сопряженных векторам,входящим в жорданов базис в Qλp (χ).
Циклические подпространства, в прямую сумму которых разбивается каждое из двух комплексно сопряженных корневых подпространств, также оказываются (соответственно) комплексно сопряженными друг другу.Рассмотрим далее два таких циклических подпространства:Z =< g1 , g2 , ..., gk >; Z =< g1 , g2 , ..., gk > .Имеют место соотношения:(χ − λp ε)(g1 ) = 0; (χ − λp ε)(gu ) = gu−1 (u = 2, ...
, k);(χ − λp ε)(g1 ) = 0; (χ − λp ε)(gu ) = gu−1 (u = 2, ... , k),(27.38)или, что равносильно:ϕ(g1 ) = λp g1 ; ϕ(gu ) = λp gu + gu−1 (u = 2, ... , k);ϕ(g1 ) = λp g1 ; ϕ(gu ) = λp gu + gu−1 (u = 2, ... , k).(27.39)Сужениям ϕ на подпространства Z и Z отвечают в указанных(комплексно сопряженных друг другу) базисах жордановы ящикиJk (λp ) и Jk (λp ) соответственно, а сужению ϕ на прямую суммуZ ⊕ Z — блочно-диагональная матрицаJk (λp )O.C =2k×2kOJk (λp )(27.40)§ 27Корневая сумма. Большая теорема Жордана311Перейдем к новому базису в этой сумме по следующим формулампересчета:h1 =11(g1 + g1 ); h2 = (g1 − g1 );22i11h3 = (g2 + g2 ); h4 = (g2 − g2 ); ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
