Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 57
Текст из файла (страница 57)
В данном примереони могут быть объединены, поскольку корневая сума совпадает совсем пространством и, следовательно, совпадают матрицы G = G0 иматрица перехода T (от исходного базиса к жорданову):T = G = (G1 |G2 ) .Также уже готова жорданова нормальная форма исходной матрицы A:´³J = diag(J1 , J2 ) = diag J1 (1) , J4 (−2) , J2 (−2) , J1 (−2) .О т в е т:1010G=000112 0 −1 −3/2 1/201 1 01/2 −100 1 00111 1 0−1000 0 0 −1/2 000 1 01/20−1 −1 0 13/2001 1 0001000J =0000000000−20001−20001−20001−200000000000000000000−2 10 −20001−1 1 0 ;1 0 01.0 0 −20000332Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3П р о в е р к а подтверждает корректность вычислений.
В справедливости равенства G·J = A·G убедитесь самостоятельно (разумеется, лучше — не вручную). Определитель тоже можно вычислитьс привлечением компьютера; получится:1det(G) = − .428.4. Особые случаи в задаче о построении жордановыхбазисов1. Как уже отмечалось (см. замечание 25.1), диагонализирущийбазис для л.э. является частным случаем жорданова. На языкестолбчатых диаграмм этот случай характеризуется тем, что для любого собственного значения λi соответствующая диаграмма Di является "одноэтажной". (В демонстрационном примере предыдущегопункта такой была только одна из двух столбчатых диаграмм.)Другую крайность представляют л.э.
с одноэлементным спектром.Если единственное собственное значение для такого эндоморфизма имеет алгебраическую кратность, равную размерности пространства, то во всем этом пространстве существует жорданов базис, описываемый единственной столбчатой диаграммой.В этом случае ж.н.ф. для матрицы л.э. содержит всего один "большой" диагональный блок (о такой матрице можно сказать, что онаимеет "скалярную" диагональ, или, иначе: представляется в видесуммы скалярной матрицы и нильпотентной).Чисто нильпотентная матрица характеризуется тем, что единственным ее характеристическим корнем является нуль (максимально возможной кратности).Особенно простым (и важным) является случай, когда единственная столбчатая диаграмма для л.э. имеет всего один столбец. Такойэндоморфизм называется одноклеточным, поскольку ж.н.ф. для егоматрицы сводится к единственной жордановой клетке (ж.я.).2.
В пп. 21.6 и 27.4 мы уже встречались с примерами, когда разумное расширение поля существенно меняет ситуцию в задаче о существовании диагонализирующего базиса. Аналогичные явления могут иметь место и применительно к задаче построения жордановабазиса.Пример 28.1. Рассмотрим л.э. в пространстве V = Q5 , заданныйматрицей§ 28Алгоритм построения жорданова базиса22 −17 −19 4−4 −61 6A= 5−3 −41−32 2629 −56−6 −51333−17−5 −4 26−4Вычисление характеристического многочлена и его корней дает:hA (λ) = λ5 − 5λ4 + 12λ3 − 16λ2 + 12λ − 4 == (λ − 1) (λ2 − 2λ + 2)2 = (λ − 1) (λ − (1 − i))2 (λ − (1 + i))2 .Если рассматривать эндоморфизм так, как он задан (т.
е. надполем рациональных чисел), то будет существовать лишь одно однократное собственное значение λ1 = 1. Корневая сумма будет сводиться к (одномерному) собственному подпространству, отвечающему этому собственному значению. Вычисления приводят к следующей частично жордановой форме:A0 = 1000061665−26−6−11−4−320−5−14−6−42413 1 ,1 −4с единственным (одномерным) ж.я. J1 (1) = 1 в северо-западномуглу. Матрица перехода (содержащая частично жорданов базис) получается такой:1 1 0 0 0 0 0 1 0 0T = 0 0 0 1 0.−1 0 0 0 11 0 0 0 0Расширяя (комплексифицируя) поле Q, мы выходим в поле Q[i]рациональных гауссовых чисел. Над этим полем л.э., заданный тойже самой матрицей A, обладает, помимо однократного собственногозначения λ1 = 1, еще двумя (двукратными) собственными значениями λ2,3 = 1 ± i, комплексно сопряженными друг другу.Теперь сумма алгебраических кратностей всех собственных значений совпадает с размерностью пространства. Следовательно, во334Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
3всем пространстве V C = Q[i]5 существует жорданов базис (для комплексифицированного эндоморфизма).Ж.н.ф. матрицы A будет иметь вид:010J = 00001+i 10 1+i000000.1−i 1 0 1−i0000Матрица перехода будет теперь комплексной (заметьте, однако,что базисные корневые векторы, отвечающие комплексно сопряженным собственным значениям, попарно комплексно сопряжены):1 0T = 0 −117 266+ 9 i1 1−9−6i7 266− 9 i1 1 −9+6i29 +i2 5−9−9i29 −i2 5 −9+9i 13 818 + 9 i8 1−9+6i13 818 − 9 i77−2− 18 i077−2+ 18 i01 19+2i11 19−2i18 1 −9−6i .Подробно разобравшись в содержании (помеченного звездочкой)пункта 27.4, вы сможете определить действительный базис (но нежорданов, а обобщенный жорданов), в котором комплексифицированный л.э.
имеет (действительную) обобщенную ж.н.ф.28.5. Отыскание ж.н.ф. матрицы с помощью системы Maple. Пакет LinearAlgebra располагает исчерпывающими средствамивычисления по данной квадратной матрице A ее ж.н.ф. J, а также —матрицы перехода T , осуществляющей подобие: J = T −1 AT.Достаточно применить команду> JQ := JordanForm( A, output = [ ’J’, ’Q’ ] );с "резервированием имен" для ж.н.ф. и матрицы перехода (по умолчанию они именно таковы, как показано выше). На выходе мы получим последовательность из двух матриц; элементы этой последоватеьности можно запросить по отдельности и присвоить их значениятем переменным, которые использовались в нашем изложении:§ 28Алгоритм построения жорданова базиса335> J := JQ[ 1 ]; T := JQ[ 2 ];Однако для учебных целей такое "окончательное" решение вопроса, разумеется, мало полезно.
Мы ведь изучаем алгоритм! Такчто приведенную выше функцию договоримся (в данной теме) использовать лишь для проверки результатов собственных подробныхвычислений.Пример 28.2. Введем матрицу:> A := Matrix([ [5, −4, −3, 5, −1, 1, 5, 1, −1, 3, 1],[12, 30, 14, 4, 5, −8, 0, −4, 12, −8, −4],[12, 8, 3, 5, −1, −1, 1, −4, 5, −2, −3],[1, −14, −7, −1, −4, 7, −3, −3, −4, 2, −1],[−12, −8, −1, −5, 3, 1, −1, 4, −5, 2, 3],[13, 28, 12, 5, 4, −8, 1, −4, 11, −7, −4],[−6, 18, 10, −5, 5, −8, −3, 1, 5, −5, 0],[6, −4, −3, 5, −1, 1, 5, 0, −1, 3, 1],[−12, −34, −16, −4, −6, 9, 0, 4, −14, 9, 4],[23, 39, 21, 8, 7, −9, 0, −8, 17, −11, −7],[13, −22, −16, 10, −9, 9, 7, −1, −6, 8, 0] ]);5−35−1151−13301445−80−412−8−4 835−1−11−45−2−3 −14−7−1−47−3−3−42−8−1−531−14−52281254−81−411−71810−55−8−315−5−4−35−1150−13−34−16−4−6904−14923392187−90−817−1113−22−1610−997−1−68 12 12 1 −12A := 13 −6 6 −121−4−1 3 −4 0 1 4 −70Дадим команду вычисления ж.н.ф.
с несколько видоизмененнымсинтаксисом:> J := JordanForm( A, output = ’J’ );T := JordanForm( A, output = ’Q’ );Получим:336Спектральная теория линейных эндоморфизмов1 0 0 −2 0T := 1 1 1 0 −10−110000000000−110000000000−100000000000210000000000210000000000210000000000200000000000200000000000−110000000000−100000000000−173−2082731−3031−20−20326327−1J := −132373−2622733010032−111−3−6−9103−23−14337127200−3−12−1−1133−2262703330103−145271636227000−3073−192773−23527369−132373−26227−230−3−3−30−20−73−172703660−4314527−2−17336953−130−11369Гл.
3731 1 −17 3 −1 13 3 10 3 7 3 −1 −4 3 0Обратите внимание на то, что Maple не "считает своим долгом"группировать вместе жордановы ящики с одинаковыми собственными значениями и располагать их в порядке убывания размеров.(Косвенно это свидетельствует о том, что в системе "зашит" совсемдругой алгоритм.)§ 28Алгоритм построения жорданова базиса337Кроме того, при работе с некоторыми Maple-командами надо бытьготовым к тому, что при повторном выполнении команды может получиться ответ, отличный от полученного при первом применении(хотя и равносильный ему, или — "равноправный" с ним — в случае,когда решение не является единственным и процедура каким-либообразом выбирает одно из множества решений).28.6. "Процедура-сценарий" jrd для решения задач ТР2.Для учебных целей автором разработана представляемая ниже процедура jrd, которая для произвольной квадратной матрицы A с непустым спектром (над полем рациональных чисел Q) возвращает ее(частично) жорданову нормальную форму J, а также — матрицуперехода T , содержащую (частично) жорданов базис.Процедура jrd работает совершенно прямолинейно, в строгом соответствии с описанием алгоритма 28.1, и может служить некоторой"имитацией ручных вычислений" типового расчета ТР2 (см.
п. 28.2).Она, с некоторой натяжкой, может быть названа "сценарием", поскольку, помимо итоговой выдачи матриц J и T , по ходу работывыводятся на печать все существенные промежуточные результаты(матрицы, содержащие необработанные базисы в итерированных ядрах, параметры столбчатых диаграмм, сами эти диаграммы, этапыобработки базисов и многое другое).Автору показалось неуместным прибегать к организации диалога (например, с помощью Maplets), что превратило бы процедуру внастоящий сценарий, но было бы определенным отвлечением от наших — математических! — целей. (Будущим программистам будетсовсем не трудно самостоятельно разобраться в Maplet-технологии.)Далее, чтобы как-то оправдаться перед ревнителями оптимизации программ, придется признать, что наша процедура ни в коемслучае не оптимальна.
(Скажем, количество локальных переменных легко можно было бы сократить "в разы".) Но именно обучающий (и имитационный) характер процедуры обуславливает отказ отнепременного стремления к лаконичности и экономии памяти.Обращение к Maple как языку программирования потребовалонекоторой коррекции обозначений (отказа от верхней индексации).Скажем, фундаментальная матрица, содержащая необработанный(4)базис в четвертом итерированном ядре N2 (т. е. в нуль-пространст(4)ве матрицы B24 ), в пунктах 28.1 — 28.4 обозначалась F2 , тогда какв тексте процедуры jrd пришлось применить обзначение с двойныминдексированием: F [2][4].
Заметим, что будучи представленным в338Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3стандартной математической записи, например, при печати промежуточных результатов, это обозначение выглядит следующим образом: F24 (т. е. наш верхний индекс выглядит как нижний подындекс).Текст процедуры (с очень подробными комментариями) приведенв прил. 1 (см. п. 2). В нем предусмотрена простая модификация(замена одной командной строки на рядом расположенную и "закомментированную"), позволяющая перейти от вычислений над полем Q рациональных чисел к вычислениям над полем рациональныхгауссовых чисел Q[i].Пользователи, умеющиеработать в других полях алгебраических√чисел (скажем, в Q[ 2]) и владеющие соответствующими разделамиMaple, смогут произвести более глубокие модификации.В качестве образца применения процедуры jrd мы еще раз рассматриваем матрицу одиннадцатого порядка из примера 28.1.
Результаты счета приводятся в том же прил. 1 (см. п. 2а).§ 29. Многочленыот линейных эндоморфизмови квадратных матриц.Аннулирующие многочлены29.1. Значение многочлена от линейного эндоморфизма(от квадратной матрицы). Два самых "рабочих" раздела алгебры — алгебра матриц и алгебра многочленов — активно взаимодействуют, всячески помогая друг другу.Мы уже не раз встречались с линейными пространствами многочленов и действующими в них линейными операторами. Здесьлинейная алгебра помогает полиномиальной.С другой стороны, вы наверняка обратили внимание на то, насколько важную роль играет в спектральной теории линейных эндоморфизмов понятие характеристического многочлена. Именно этапроблематика получит развитие в настоящем параграфе и приведетнас к весьма содержательным и важным результатам (обогащающимобе взаимодействующие теории).Пусть P — произвольное поле, V — линейное пространство надполем P , L(V ) — алгебра линейных эндоморфизмов (операторов),действующих в пространстве V.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
