Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 60
Текст из файла (страница 60)
для ж.я. A.2. Пусть теперь A — произвольная матрица, приводимая к ж.н.ф.,которую мы обозначим J. Согласно второму утверждению предложения 29.2, матрица A имеет такой же м.а.м., что и блочно-диагональная матрица J.352Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Согласно первому утверждению предложения 29.2, gJ (λ) равняется НОК минимальных аннулирующих многочленов для диагональных блоков матрицы J, являющихся ж.я. вида Jk (λi ) .Среди ж.я., отвечающих одному и тому же характеристическомукорню λi , всегда имеется ящик наибольшего размера li .(Напомним "операторный смысл" числовой характеристики li .Это — показатель стабилизации для л.э. ψi = ϕ − λi ε, связанного с матрицей Bi = A − λi E.Есть еще и "диаграммный смысл": li равняется высоте наивысшего столбца в столбчатой диаграмме Di , отвечающей λi .)В силу первого утверждения настоящей теоремы, многочлен(λ − λi )li будет аннулирующим для каждого из ж.я., отвечающихλi , и, следовательно, — для всего большого блока Ji (см.
диагр. 26.2и 27.1 в прил. 3).Многочлены (λ − λi )li , отвечающие всевозможным λi (i = 1, ..., s),являются взаимно простыми, и, следовательно, их НОК равняетсяих произведению (материал о НОД, НОК и взаимной простоте многочленов см. в [A1 , § 38]).Согласно второму утвереждению предложения 29.2, получимgJ (λ) = НОК(gJ1 (λ), gJ2 (λ), ... , gJs (λ)) == НОК((λ − λ1 )l1 , (λ − λ2 )l2 , ... , (λ − λs )ls ) == (λ − λ1 )l1 (λ − λ2 )l2 ... (λ − λs )ls ,что и доказывает формулу (29.28). ¤29.3. Теорема Гамильтона — Кэли.
Доказанная выше теорема 29.1 не только дает способ вычисления минимального многочлена для квадратной матрицы (примеры будут даны ниже), но ипозволяет совсем просто доказать одну из самых знаменитых теоремлинейной алгебры.Теорема 29.2 (теорема Гамильтона — Кэли). Пусть A — (n × n)матрица с элементами из поля P. Характеристический многочленhA (λ) = det(λE − A) для матрицы A является аннулирующим длянее, т. е.hA (A) = O.(29.29)§ 29Многочлены от матриц. Аннулирующие многочлены353Доказательство. Приведенное в начале пункта высказывание о"простоте" доказательства (к изложению которого мы приступаем)нуждается, к сожалению, в некотором уточнении.Простое и строгое доказательство будет предъявлено лишь в частном случае: мы будем предполагать, что матрица A приводима кж.н.ф. (Если поле P алгебраически замкнуто, то к ж.н.ф.
приводималюбая матрица.)Наше рассуждение в общем случае будет опираться на (не доказывавшийся в нашем курсе, но уже неоднократно использыванный)факт существования алгебраического замыкания для произвольногополя.Итак, пусть A приводима к ж.н.ф. Согласно предложению 27.2,это равносильно разложимости на линейные множители характеристического многочлена:hA (λ) = (λ − λ1 )m1 (λ − λ2 )m2 ... (λ − λs )ms .(29.30)В формуле (29.30) показатели степени mi суть не что иное какалгебраические кратности для собственных значений λi ; их суммаобязана равняться n.Согласно теореме 29.1, в разложении на множители м.а.м.
gA (λ)в качестве показателей фигурируют размеры наибольших жордановых ящиков (они же — показатели стабилизации) li , которые, какизвестно (см. § 26), не превышают mi .Следовательно,1) минимальный аннулирующий многочлен делит характеристический многочлен:gA (λ) | hA (λ);(29.31)2) характеристический многочлен является аннулирующим, т. е.имеет место равенство (29.29).В частном случае теорема доказана.Общий случай сводится к частному с помощью расширения основного поля P : мы переходим к алгебраическому замыканию P ⊃ P(см.
[A1 , § 40]). Матрицу A можно рассматривать над этим, болеешироким полем. То же самое относится и к характеристическомумногочлену hA (λ): его можно считать заданным над P .В силу алгебраической замкнутости P , матрицу A можно надэтим полем привести к ж.н.ф. J. (Матрица J будет задана уже ненад P, но над P , однако это нас сейчас не интересует.)354Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3В силу первой части доказательства, будет справедливо равенство (29.9). И хотя получено оно над более широким полем P , новсе элементы матрицы и все коэффициенты ее характеристическогомногочлена принадлежат P, так что доказываемое равенство справедливо именно над P.
¤Замечание 29.2. В разных учебниках по линейной алгебре реализуются различные подходы к построению спектральной теории.Наиболее употребительными являются следующие две методики:— первая, условно называемая "геометрической", в качестве основного объекта рассматривает линейные операторы (эндоморфизмы), для которых строятся (из собственных и корневых векторов)жордановы базисы; именно она принята в наших основных учебниках [1] и [2] и представлена в настоящем учебном пособии;— вторая, условно называемая "алгебраической", имеет дело преимущественно с матрицами, причем активно используются матрицынад кольцом многочленов (называемые полиномиальными), для которых строится так называемая теория Смита, основанная на взаимодействии алгоритма Гаусса приведения матриц к ступенчатомувиду и алгоритма Евклида вычисления НОД для многочленов; еемы сможим коснуться лишь обзорно (см. следующий параграф).В зависимости от подхода меняются роль и значение теоремы Гамильтона — Кэли.
У нас она доказывается уже после того, как основные результаты (такие, например, как большая теорема Жордана)установлены.При втором подходе эта теорема является ключевой, с нее начинается развитие теории.Скажем, в учебнике А. И. Мальцева [17] теорема Гамильтона —Кэли появляется уже в третьем параграфе первой главы, сразу послеизучения определителей. Мы настоятельно советуем любознательным читателям ознакомиться с совершенно элементарным доказательством, приведенным в указанной книге. Отметим также, чтоабсолютной классикой в изложении теории Смита является фундаментальная монография Ф.
Р. Гантмахера [11]. Ни один математик,работающий с матрицами, не может обойтись без обращения к этомуобстоятельному и мастерски написанному труду.Ниже, в § 30 (помеченном звездочкой) будет эскизно намечен одиниз вариантов второго подхода. В частности , мы "передокажем" теорему Гамильтона — Кэли с помощью очень интересного направленияв линейной алгебре — теории многочленов с матричными коэффициентами.§ 29Многочлены от матриц.
Аннулирующие многочлены355Замечание 29.3. Чтобы развлечь и озадачить читателей, в некоторых учебниках (см., например, [26, с. 110]) приводится следующее"глупое доказательство" теоремы 29.2: подставим в характеристический многочлен hA (λ) = det(λE−A) вместо переменной λ матрицу A;получим: hA (A) = det(A · E − A) = det(A − A) = det(O) = 0.В чем именно состоит глупость этого "доказательства"?Замечание 29.4. Трудно удержаться от хотя бы краткого рассказао счастливом детстве маленького Уильяма Гамильтона."ГАМИЛЬТОН Уильям Роуан (4.8.1805 — 2.9.1865) — ирландскийматематик, чл.
Ирландской АН, чл.-кор. Петербургской АН. Родился в Дублине. В три года Г. умел читать, неплохо знал арифметику и географию, в 10 лет стал студентом, к 12 годам он изучил 12 языков. Достав латинский перевод "Начал" Евклида, онизучил это сочинение; с 13 до 17 лет изучал И. Ньютона и П. Лапласа, в 22 года стал профессором астрономии в Дублинском ун-теи директором университетской астрономической обсерватории."(А. И. Бородин, А.
С. Бугай. "Биографический словарь деятелей вобласти математики". Киев, Радянська школа, 1979)Кто-то еще будет говорить о нынешней "акселерации"...Замечание 29.5. Несколько слов о "присвоении имен теоремам иформулам". Процесс этот ничем и никем не регламентирован, совершенно не предсказуем и противоречив. Бывает (хотя и редко) так,что традиция упорно связывает ту или иную теорему (формулу) сименем ученого, который никогда ее не доказывал.Гораздо чаще, однако, она закрепляет имена "по справедливости",превыше всего оценивая первый шаг, т. е.
"пионерские" работы.Судите сами: У. Гамильтон опубликовал (в 1853 г) теорему 29.2для случая (2 × 2)-матриц; вскоре другой известный (английский)математик (и адвокат) А. Кэли сформулировал (но не доказал) еев полной общности. Доказательство же было получено немецкимматематиком Ф. Г.
Фробениусом лишь в 1878 г.Права ли традиция, присваивая этой теореме имя Гамильтона?Наверное, да.Замечание 29.6. Обсудим вопрос о возможном совпадении минимального и характеристического многочленов для квадратной матрицы A (в предположении, что она приводима к ж.н.ф.).Характеристический многочлен hA (λ) имеет степень n (совпадающую с размером матрицы). Предположение о приводимости A к356Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Psж.н.ф. равносильно равенству i=1 mi = n для суммы алгебраических кратностей собственных значений.Минимальный многочлен gA (λ) имеет, согласно формуле (29.28),степень, равную суммеsXl=li(29.32)i=1соответствующих показателей стабилизации.В силу неравенств li 6 mi [или, что равносильно, — факта делимости (29.31)], можно заключить что равенствоgA (λ) = hA (λ)(29.33)имеет место тогда и только тогда, когда выполняется любое из следующих условий:— li = mi для всех i = 1, ..., s;— каждая из столбчатых диаграмм Di имеет только один столбец;— в ж.н.ф.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
