Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Если все полученные остатки равны нулю, то переходим кэтапу 4.2.2. Если среди остатков есть ненулевые, то тот из них, степенькоторого минимальна, отправляем в северо-западный угол и возвращаемся к этапу 2.3. После конечного числа шагов типа 2 мы получаем нулевоеокаймление для подматрицы A0 = A0 (λ), расположенной в строках истолбцах с номерами, начинающимися с двойки.3.1. Если все элементы подматрицы A0 делятся (без остатка) наугловой элемент (для всей матрицы), то можно констатировать, чтопервый и.м. µ1 (λ) отщеплен.3.2. Если же это пока не так, то приходится "портить" окаймление. Делим с остатком все элементы A0 на угловой элемент и прибавляем к первой строке строку, содержащую наименьший по степениостаток, после чего снова пытаемся обнулить окаймление (этап 2).Поскольку степень углового элемента при каждом его замещениистрого убывает, то рано или поздно будет достигнут первый успех —отщепление µ1 (λ), после чего мы переходим к этапу 4.4.
Приступаем к обработке блока A0 , повторяя все этапы, начинаяс первого.5. Работа алгоритма завершается, если— либо будет получен очередной и.м., расположенный в последнейстроке (или в последнем столбце) матрицы; тогда останется обнулитьэлементы справа от него (ниже его);§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 367— либо, после получения очередного и.м.
(и, с его помощью, нулевого окаймления), следующий юго-восточный блок окажется нулевым.6. Алгоритм должен возвращать (m × n)-матрицу S = S(λ) —каноническую форму Смита для A и две (сформировавшиеся по ходупреобразований) обратимые квадратные полиномиальные матрицы:(m × m)-матрицу U = U (λ) и (n × n)-матрицу V = V (λ).Соотношение S = U AV , а также требование постоянства и необращения в нуль определителей det(U ) и det(V ), — могут быть использованы для проверки адекватности результатов.Описание алгоритма закончено. Для завершения доказательстватеоремы остается пояснить, что формулы (30.17) выводятся с использованием инвариантности НОДМ’ов при элементарных преобразованиях [см.
(30.14)].Эти формулы, в свою очередь, влекут инвариантность инвариантных многочленов (чем и оправдывается их название). ¤Замечание 30.1. Случай матриц над полем P можно рассмотретьв рамках теории для матриц над кольцом многочленов P [λ], считаятакие матрицы составленными из многочленов нулевой степени (инулей).
Тогда теорема Смита сводится к теореме о приведении кскелетному виду (см. четвертое утверждение теоремы 5.1 в первомпособии): все и.м. в этом случае являются единичными и их количество равно рангу матрицы.Замечание 30.2. Английский математик Генри Смит доказал (в1861 г) теорему о приведении к канонической форме для матриц надкольцом целых чисел. Теорема 30.1 для полиномиальных матрицдоказана лишь в 1878 г, все тем же (см. замечание 29.5) Ф. Г.
Фробениусом.В отечественной учебной литературе имя Г. Смита долгое времяпрактически не упоминалось (нет его, в частности, и в трактате [11]).В британской же традиции роль этого ученого в развитии математики оценивается довольно высоко. Оказывается, именно Г. Смитпостроил первый в истории пример фрактала — канторово совершенное множество, в 1875 г, за восемь лет до Кантора. (Вы поканичего не слышали об этом замечательном множестве? Не беда,всему свое время.)Замечание 30.3.
В системе Maple предусмотрено несколько вариантов функций, возвращающих для целочисленной или полино-368Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3миальной матрицы A каноническую форму Смита S (над соответствующим кольцом), а также — обратимые матрицы U и V , такие,что S = U AV . Одна из возможных версий — команда SmithFormвходит в пакет LinearAlgebra. Нет сомнений, что (уже привыкшиек синтаксису Maple-команд) читатели самостоятельно разберутся всоответствующей help-странице.Вернемся к изучению отношения эквивалентности полиномиальных матриц. Мы уже имеем два набора инвариантов для описанияклассов эквивалентности:— ранг r и список НОДМ’ов(A)(A)d(A) = [d(A)1 (λ), d2 (λ), ... , dr (λ)];(30.18)— ранг r и список инвариантных многочленов(A)(A)µ(A) = [µ(A)1 (λ), µ2 (λ), ... , µr (λ)].(30.19)Понадобится еще один, во многих отношениях более удобный набор, составленный из так называемых элементарных делителей дляполиномиальной матрицы.Получаются они следующим образом: каждый из (отличных отединицы) и.м.
разлагается на (нормализованные) неприводимые множители (см. [A1 , п. 45.5]).В сгруппированном разложении (попарно различные) неприводимые множители будут фигурировать в некоторых степенях.Примарными или элементарными делителями (э.д.) для инваkриантного многочлена µ(A)s (λ) называются выражения вида (f (λ)) ,где f (λ) — какой-либо из неприводимых множителей для µ(A)s (λ),kk — натуральное число, такое, что (f (λ)) есть наивысшая степеньуказанного неприводимого многочлена, делящая указанный инвариантный многочлен.В силу соотношений (30.16), всякий неприводимый многочлен,входящий (в какой-то степени) в разложение для некоторого и.м.,будет входить (в такой же или в более высокой степени) в разложение для следующего по номеру инвариантного многочлена (еслитаковой имеется).Далее формируется список всех э.д.
(для всех и.м.).С этой целью как-либо упорядочиваются (нумеруются) все неприводимые многочлены, участвующие в разложении последнего по счету и.м.; затем, по группам (каждая из которых отвечает одному§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 369из занумерованных неприводимых многочленов), в порядке невозрастания степеней записываются все э.д. (с данным неприводимыммногочленом в основании).В полученном списке могут быть повторения: каждый из э.д. повторяется столько раз, в скольких разложениях он участвует.Итоговый список будем обозначать δ(A) и называть списком э.д.для полиномиальной матрицы A.В случае алгебраической замкнутости поля P неприводимымиявляются лишь линейные многочлены, а неприводимые и нормализованные многочлены имеют вид λ − λ0 и отвечают корням инвариантных многочленов.
Элементарные делители в этом случае будутиметь вид (λ − λ0 )k , где k — кратность λ0 как корня соответствующего и.м.Пример 30.1. Продемострируем переход от списка µ(A) к списку δ(A). Пусть и.м. уже разложены на неприводимые (линейные)множители:µ(A) = [ 1,λ−1, (λ+1)2 (λ−1), (λ+1)2 (λ−1)3 , (λ+1)3 (λ−1)3 (λ−2)2 ].Прежде всего заметим, что ранг r = 5. Затем, группируя по невозрастанию степеней примарные множители, выпишем список э.д.:δ(A) = [ (λ+1)3 ,(λ+1)2 , (λ+1)2 ;(λ−1)3 , (λ−1)3 , (λ−1), (λ−1);(λ+2)2 ].Обратный переход осуществим, если заранее задан ранг, которыйне должен быть ниже наибольшей из длин групп (в данном примересамая длинная из групп содержит четыре э.д.).Если, дополнительно к списку δ(A), задан ранг r = 5, то списоки.м.
восстанавливается, начиная с последнего:— µ(A)5 (λ) должно равняться произведению всех начальных элементов во всех группах э.д.;— µ(A)4 (λ) найдется как произведение всех вторых элементов;— µ(A)3 (λ) — всех третьих;(A)— µ2 (λ) — всех четвертых (в данном примере такой элемент всего один);— µ(A)1 (λ) мы должны взять равным единице, поскольку все э.д.кончились.370Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3Уточним еще одно обстоятельство: матрица S(λ) восстанавливается по и.м.
или э.д., если, помимо фиксации ранга r, заданы размеры (m и n) этой матрицы (каждый из которых, естественно, недолжен быть меньше r).И, наконец, сформулируем теорему, объединяющую условия, равносильные эквивалентности полиномиальных матриц.Теорема 30.2. Пусть A = A(λ) и B = B(λ) являются полиномиальными матрицами одного и того же размера m × n.Следующие шесть утверждений равносильны:(1) матрицы A и B эквивалентны, т. е.
могут быть связаны цепочкой элементарных преобразований;(2) найдутся обратимые полиномиальные матрицы U = U (λ) иV (λ), размеров m × m и n × n соответственно, такие, что выполненосоотношение (30.12);(3) матрицы A и B могут быть приведены к одной и той же канонической форме Смита;(4) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые спискиНОДМ’ов;(5) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые списки и.м.;(6) матрицы A и B имеют одинаковые ранги и одинаковые (с точностью до порядка групп) списки э.д.Доказательство. Многие импликации, необходимые для установления равносильности утверждений (1) — (6), уже доказаны выше.За подробностями мы отсылаем читателя к ранее указанным учебникам.
Отметим также, что в (простейшем) случае матриц над полемданная теорема сводится к предложению 14.3 из [A1 ]. ¤30.3. Квадратные матрицы над кольцом многочленов иих представление в виде многочленов с матричными коэффициентами. Обратимся теперь к алгебре квадратных матрицa11 (λ) a12 (λ) ... a1n (λ) a (λ) a22 (λ) ... a2n (λ) A(λ) = 21(30.20)............an1 (λ) an2 (λ) ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
