Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 67
Текст из файла (страница 67)
3100000(−λ+1)/91/91/9000100100000−21(−2λ +9λ−16)/9(2λ−7)/9(2λ+2)/9λ−300(−λ−1)/9(−λ−1)/9−10122(λ −19)/90010−1001V5 = 02λ−20−λ+2−2−λ0λ(2λ+2)/9000100001200120−2(−λ−1)/9;0(−2λ+7)/9 .1.5. Дальше все просто: перемещаем в матрице C5 многочлен−λ − 1 в позицию (5,5), домножаем пятую строку на −1 и осуществляем обнуление пятого окаймления. Фактически подлежат обнулению всего два элемента, и сделать это можно сразу, поскольку ониделятся без остатка на λ + 1. Юго-восточный блок теперь "ужался"до размера 1 × 1, и единственный его элемент также делится на (пятый и.м.) λ + 1. После нормализации (путем домножения последнейстроки на −9) этот (шестой инвариантный) многочлен приобретаетвид: λ3 − 3λ2 + 4.Значит, каноническая форма Смита достигнута:10000000S = C6 = 0100000λ+100000λ+100000λ+100U = U6 = 000;03λ −3λ2 +40100000(−λ+1)/91/91/9000100100000−210(−λ +19)/9(λ+1)/9(λ+1)/910−1−λ3 +5λ2 +10λ−41λ2 −4λ+4λ2 −4λ−5002001V = V6 = 0021λ−200−1−λ+2−2−λ0λ0001000120120−2(λ+1)/9−9λ+27(−λ +λ+2)/9 .(−λ−1)/9 2(λ −3λ+5)/92(−2λ−2)/9(λ+1)/9;§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 391Не повредит (хотя и доставит немало хлопот) промежуточная проверка; должно выполняться равенство: S = U CV ; определителиматриц U и V должны быть ненулевыми константами.
Проделав (хотя бы с помощью компьютера) указанные контрольные вычисления,убеждаемся в том, что мы пока не ошиблись в счете (в частности,оба интересующих нас определителя оказались равными −1).2. Выписываем все инвариантные многочлены, а также (для неединичных и.м.) — их разложения на неприводимые:(A)µ1 (λ) = 1;(A)µ2 (λ) = 1;(A)µ3 (λ) = λ + 1;(A)µ4 (λ) = λ + 1;(A)µ5 (λ) = λ + 1;(A)µ6 (λ) = λ3 − 3λ2 + 4 = (λ + 1)(λ − 2)2 .Замечаем, что все неприводимые множители линейны и, следовательно, данная матрица приводима к ж.н.ф.(A)3. По разложению старшего и.м. µ6 (λ) определяем список характеристических корней.Примем для них следующий порядок: λ1 = 2, λ2 = −1.4. Выявляем (по разложениям всех и.м.) элементарные делители(примарные множители) и располагаем их в список в соответствиис принятым порядком характеристических корней, а в группах, отвечающих одному и тому же корню, — по невозрастанию степеней:δ(A) = [ (λ − 2)2 ;λ + 1, λ + 1, λ + 1, λ + 1 ].5. По э.д.
определяем жордановы ящики (один — второго порядкаи четыре — одноэлементных):J2 (2) ; J1 (−1) ; J1 (−1) ; J1 (−1) ; J1 (−1) ,которые будут располагаться (в указанном порядке) по диагоналиблочно-диагональной матрицыJ = diag( J2 (2) , −1, −1, −1, −1),392Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл. 3являющейся нашим первым ответом (ниже она будет дана в подробной записи).6. Составляем характеристическую матрицуλ−2−100000λ−2000000λ+1000000λ+1000000λ+1000000λ+1G0 = G = Eλ − J = и повторяем в отношении нее всю процедуру первого этапа; в частности, опять понадобятся начальные значения следящих матриц:W0 = Y0 = E6 .Форма Смита для G, из теоретических соображений, обязана бытьв точности такой же, какова ранее полученная форма Смита для C.Но нам нужны матрицы W и Y , аккумулирующие элементарныепреобразования над строками и столбцами и такие, что S = W GY .Хотелось бы дальнейшее описание работы алгоритма минимизировать, чтобы не останавливаться еще раз на деталях, уже объясненных на первом этапе.
Однако алгоритм Смита отличается особым "коварством": обманчиво близкая цель может спровоцироватьнеосторожные шаги (которые не будут, в принципе, ошибочными, номогут привести к неоправданному удлинению цепочки преобразований). Поэтому кое-что придется повторить.6.1.
Переставляем в матрице G0 первые два столбца, домножаемпервую строку на −1 и обнуляем первое окаймление; получим:100000λ2 −4λ+400000λ+100000λ+1000000λ+1000000λ+100G1 = 0−10000010000010000100000100000 λ−2 0W1 = 0;0001;§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 393010000λ−2000001000010000010000010Y1 = 0.0001Матрица G1 "сходу" оказалась диагональной. Но это отнюдь неесть форма Смита, поскольку нарушаются условия делимости: следующий диагональный элемент должен делиться на предыдущий.Это обстоятельство не исправляется и после того, как мы ("в дваприема") поменяем местами многочлены, занимающие в G1 позиции(2,2) и (6,6).
Все равно надо проверять делимость на второй диагональный элемент всех элементов юго-восточного (4 × 4)-блока, амногочлен λ2 −4λ+4 при делении на λ+1 дает остаток 9 (и неполноечастное λ − 5).После— прибавления шестой строки ко второй,— замены указанного многочлена на указанный остаток (с помощью прибавления к новому шестому столбцу второго, с домножением на −λ + 5),— перестановки девятки в позицию (2,2), с последующим умножением второй строки на 1/9,— обнуления второго окаймления,— умножения шестой строки на −9,мы получим: G2 = S иW = W2 = −100000(λ−2)/91/90001/9001000000100000010λ3 −6λ2 +3λ+10λ2 −4λ−5000λ2 −4λ+401000λ−200001000001000000100−λ+5000(λ2 −4λ+4)/910Y = Y2 = 0(−λ−1)/9;(−λ2 +λ+2)/9 .Как и по завершению первого этапа, здесь возможна (и полезна)промежуточная проверка.394Спектральная теория линейных эндоморфизмовГл.
37. Матрица U отслеживала строчные преобразования при переходе от C к S, матрица W — строчные преобразования при переходе отG к S. Матрица P = W −1 U аккумулирует в себе все строчные преобразования, обеспечивающие "сквозной" переход от C к G. Аналогично, в матрице Q = V Y −1 будут накоплены обеспечивающие этотпереход столбцовые преобразования.Вычисление матриц P и Q является весьма неприятным этапомпри ручной работе (каким бы способом вы не вычисляли обратныек полиномиальным матрицам — это трудоемкая процедура).Обращения полиномиальных матриц можно, однако, избежать,если тщательно протоколировать все элементарные преобразованиянад столбцами. Тогда, зная матрицу V и применяя к ней элементарные преобразования над столбцами, обратные к тем, что были запротоколированы на шестом этапе, с заменой запротоколированногопорядка применения на противоположный, мы получим матрицу Q.А матрица P нам вообще не понадобится.Здесь мы не сможем так поступить, поскольку двигались "большими" шагами, не фиксируя отдельные столбцовые преобразования.Так что придется (честно или с помошью компьютерных процедур) вычислять P и Q.
Результаты (получены с помощью Maple):P =−100000−λ+30100λ−3100100000−210(−λ +19)/9(λ+1)/9(λ+1)/910−1λ−41000−λ+32(λ2 −4λ−5)/9 (λ3 −6λ2 +12λ−17)/9 (−λ3 +4λ2 −4λ)/9Q= (−λ2 +4λ+5)/92(−2λ +8λ+10)/92(2λ −8λ−1)/9;010−1(λ+1)/90λ−20−λ+21−λ0λ(−λ2 −λ)/90001(−λ−1)/90012(−2λ−2)/9020−2(2λ+2)/9(λ2 −λ+7)/9 .Maple-проверка убеждает нас в том, что соотношение G = P CQвыполняется, и дает значения определителей det(P ) = det(Q) = 1.8. Полиномиальную матрицу Q = Q(λ) представим как матричный многочлен степени 3 (поскольку такова наибольшая из степеней§ 30Каноническая форма Смита полиномиальной матрицы 395многочленов — элементов этой матрицы):Q(λ) = Q0 + Q1 λ + Q2 λ2 + Q3 λ3 = −5/9010−1 −17/9 0= 5/90−2021000000110/90012−1/9020−21/90000 4/3 0 −4/9+−1/9 4/9 010−1−1/9 0−101−1/9 00008/90000−8/90000−2/9000000000000000−2/900002/900002/900 1/9−1/9 2 −1/9λ + 0 01/91/9−4/97/90 −2/3 4/9+ −1/91/9 λ+−1/9 −2/92/9000000000000000000000000000000 λ3 .0000Вычислив правое значение выписанного выше матричного многочлена на матрице J, мы получим искомую сопрягающую матрицу−1010−1 −1 023T = Q( J ) = Q0 + Q1 J + Q2 J + Q3 J = 10−303110−1000120012−1020−2→01,0000такую, что J = T −1 AT."Решающая" проверка: убеждаемся в справедливости равенстваT J = AT и вычисляем определитель det(T ) = 1.О т в е т:200J =0001200000000−1 00 −100000000−100−10 −10 0; T = 0 102−1−10010001−31002000010−13−112−2010.000Глава 4ЛИНЕЙНЫЕ, БИЛИНЕЙНЫЕИ КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫНА КОНЕЧНОМЕРНЫХ ЛИНЕЙНЫХПРОСТРАНСТВАХ§ 31.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
