Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 70
Текст из файла (страница 70)
В конечномерном случае, в силу предложения 31.1, все ониизоморфны между собой (хотя и не канонически). Однако при более детальном рассмотрении второго двойственного пространства(32.1) обнаруживается канонический (не зависящий от выбора базисов) изоморфизм между пространствами V и V ∗∗ .Точнее, справедлива следующаяТеорема 32.1. Пусть V — конечномерное линейное пространствонад полем P. Существует канонический изоморфизм∼=κ : V −→ V ∗∗(32.2)пространства V на его второе сопряженное пространство V ∗∗ , сопоставляющий всякому вектору x ∈ V линейную форму κ(x) ∈ V ∗∗ ,действующую на линейные формы f ∈ V ∗ по принципу: значениеκ(x) на f равно значению f на x:κ(x) (f ) = f (x)(32.3)для любых x ∈ V ; f ∈ V ∗ .Замечание 32.1.
Прежде чем приступать к доказательству теоремы, автору хотелось бы заострить внимание читетелей на некоторыхособенностях математического мышления (математического подхода к жизни).Посмотрите на правую часть f (x) формулы (32.3). Ее смысл ясенне только математикам, но и всем людям, способным к восприятию (школьного) понятия функции. (А ученые-педагоги утверждают, что школьная математика доступна для 100% здоровых молодыхлюдей, вне зависимости от пола и расы.)Итак, при обычной трактовке, в правой части мы имеем переменную x, пробегающую какое-то множество, и (фиксированную)функцию f от этой переменной, которая при каждом конкретномзначении x принимает определенное значение f (x), принадлежащеекакому-либо другому множеству.408Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Но надо быть математиком, чтобы совершив логическое salto mortale, перейти к рассмотрению выражения f (x) как функции от функции f .
При этом аргумент x считается фиксированным, а функция fявляется произвольной (в каком-то классе).Другими словами, фиксация значения аргумента x задает функцию, сопоставляющую функции f ее значение f (x).Именно это выражает левая часть формулы (32.3).Доказательство. 1. Убедимся в том, что κ(x) действительно является линейной формой на линейных формах, т.
е. докажем линейность по f для выражения f (x) в правой части (32.3).В самом деле, по определению κ, для любых скаляров λ, µ ∈ P илюбых линейных форм f, g ∈ V ∗ справедливо:κ(x) (λf + µg) = (λf + µg)(x) = λf (x) + µg(x) == λ κ(x) (f ) + µ κ(x) (f ) = λ κ(x) (f ) + µ κ(x) (f ),и, таким образом, оказывается, что для любого x ∈ V формула (32.3)определяет элемент κ(x) ∈ V ∗∗ .2. Докажем теперь линейность отображения (32.2), т. е.
свойствоκ(αx + βy) = ακ(x) + βκ(y),(32.4)для любых скаляров α, β ∈ P и любых векторов x, y ∈ V.Равенство (32.4) есть равенство в пространстве V ∗∗ , т. е. равенство линейных форм на линейных формах, и проверять его надо напроизвольной линейной форме f ∈ V ∗ :κ(αx + βy) (f ) = (ακ(x) + βκ(y)) (f ).(32.5)Используя определение (32.2), а также определения алгебраических действий над линейными формами, мы можем привести (32.5)к равносильному виду:f (αx + βy) = αf (x) + βf (y).(32.6)Равенство (32.6) выражает не что иное, как линейность формы fи, по условию, справедливо. Значит, справедливо и (32.4).
Нашвторой результат можно выразить в том же ключе, что и первый:правая часть (32.3) линейна по x.§ 32Теория двойственности4093. Остается доказать, что отображение (32.2) является изоморфизмом. Согласно теореме 6.1 (ОТЛО), для этого достаточно убедиться в том, что κ переводит некоторый базис в пространстве V внекоторый базис в V ∗∗ .(Подчеркнем следующее обстоятельство: определение κ являетсяинвариантным, не зависит от "случайных факторов", типа выборабазисов. Однако это совершенно не исключает использования базисов при изучении его свойств. Более того, без привлечения базисовневозможны какие-либо практические вычисления.)Возьмем в пространстве V произвольный базис B [см.
(31.1)], впространстве V ∗ — двойственный базис B∗ [см. (31.13)], связанныйс B соотношениями (31.12), а в пространстве V ∗∗ — базис∗∗∗∗B ∗∗ = [ b∗∗1 , b2 , ... , bn ],(32.7)двойственный к базису B ∗ и связанный с ним [аналогичными (31.12)]соотношениями∗b∗∗(32.8)j (bk ) = δjk ; j, k = 1, ... , n.Докажем, чтот.
е.κ(B) = B ∗∗ ,(32.9)κ(bj ) = b∗∗j(32.10)для любого j = 1, ... , n.Равенство (32.10) подлежит проверке на любой форме f ∈ V ∗ :κ(bj ) (f ) = b∗∗j (f ).(32.11)Достаточно, однако, проверить выполнение (32.11) на базисныхформах, т. е. взять f = b∗k , с произвольным k = 1, ... , n:∗κ(bj ) (b∗k ) = b∗∗j (bk ).(32.12)Левая часть (32.11) вычисляется по определению 32.3:(31.12)κ(bj ) (b∗k ) = b∗k (bj ) === δkj ,что, очевидно, совпадает со значением δjk , принимаемым [в соответствии с (32.8)] правой частью.Итак, соотношение (32.12) доказано и этим завершается доказательство всей теоремы. ¤Непосредственным следствием теоремы 32.1 является410Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Предложение 32.1. Всякий базис в двойственном пространствеявляется двойственным для некоторого базиса в исходном пространстве.Доказательство. Рассмотрим произвольный базисF = [ f1 , f2 , ... , fn ](32.13)в пространстве V ∗ . Требуется доказать, что найдется такой базис B[см. (31.1)] в пространстве V, чтоB ∗ = F.(32.14)Возьмем в пространстве V ∗∗ базисF ∗ = [ f1∗ , f2∗ , ... , fn∗ ],(32.15)двойственный к F, т. е. связанный с ним соотношениямиfj∗ (fk ) = δjk ; j, k = 1, ...
, n.(32.16)Далее, пользуясь теоремой 31.1, применим к векторам базиса(32.15) изоморфизм κ −1 , обратный к изоморфизму (32.3). В результате этого, по свойствам линейных изоморфизмов (см. предложение 6.1), будет получен некоторый базисB = κ −1 (F ∗ )(32.17)в пространстве V.Базис (32.17) состоит из таких векторов bk (k = 1, ... , n), чтоκ(bk ) = fk∗ .(32.18)Докажем, что именно он будет искомым базисом, удовлетворяющим условию (32.14), которое переписывается в виде:b∗j = fj ; j = 1, ...
, n.(32.19)Соотношения (32.19) являются равенствами в V ∗ , т. е. равенствами линейных форм, и проверять их следует на произвольном векторе x ∈ V, причем достаточно проверки на базисных векторах bk(k = 1, ... , n):(32.20)b∗j (bk ) = fj (bk ); j, k = 1, ...
, n.Левая часть (32.20), по определению двойственного базиса, равна δjk . Чтобы вычислить правую часть, воспользуемся определениемизоморфизма κ [см. (32.3)]:(32.3)(32.18)(32.16)fj (bk ) === κ(bk ) (fj ) === fk∗ (fj ) === δkj .Соотношения (32.20), а значит и предложение в целом, доказаны. ¤§ 32Теория двойственности41132.2. Аннуляторы подмножеств и их свойства. Рассмотримконечномерное линейное пространство V над полем P и двойственное к нему пространство V ∗ , а также произвольные подмножестваM ⊆ V и N ⊆ V ∗.Определение 32.1.
Аннулятором подмножества M ⊆ V называется подмножество M ◦ ⊆ V ∗ , состоящее из таких линейных форм,которые обращаются в нуль на любом элементе множества M, т. е.M ◦ = {f ∈ V ∗ : (∀ x ∈ M ) [ f (x) = 0 ]}.(32.21)Заметим, что в определении 32.1 не исключается случай пустого M. Поскольку об элементах пустого множества (в силу их отсутствия) можно сказать что угодно, то "вполне логично" считать, чтона пустом множестве аннулируется любая форма; так что аннуляторпустого множества оказывается равным всему пространству V ∗ .В случае M 6= ∅ можно определить сужение на M для любойфункции (в частности, любой линейной формы), заданной на V.
Тогда описанию (32.21) можно придать более лаконичную форму:¯M ◦ = {f ∈ V ∗ : f ¯M = 0}.(32.21а)Теперь рассмотрим произвольное подмножество N ⊆ V ∗ и определим для него аннулятор N ◦ ⊆ V. Сделано это будет в два этапа:1) сначала, в полном соответствии с (32.1), мы определим, таксказать, "полуфабрикат" аннулятораN • = {α ∈ V ∗∗ : (∀ f ∈ N ) [ α(f ) = 0 ]},(32.22)являющийся подмножеством во втором двойственном пространстве V ∗∗ ;2) затем, с помощью изоморфизма κ −1 : V ∗∗ → V , обратногоканоническому изоморфизму (32.2), мы переведем подмножество N •в пространство V :N ◦ = κ −1 (N • ) = {x ∈ V : κ(x) ∈ N • } == {x ∈ V : (∀ f ∈ N ) [ κ(x) (f ) = 0 ]} =(32.3)=== {x ∈ V : (∀ f ∈ N ) [ f (x) = 0 ]}. (32.23)Окончательно, уже без привлечения второго двойственного пространства, дается следующее412Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Определение 32.2. Аннулятором подмножества N ⊆ V называется подмножество N ◦ ⊆ V , состоящее из таких векторов, на которых обращаются в нуль все линейные формы из множества N, т. е.N ◦ = {x ∈ V : (∀ f ∈ N ) [ f (x) = 0 ]}.(32.24)Внимательно сопоставьте описания (32.21) и (32.24): в каждом изних фигурирует (в квадратных скобках) одно и то же определяющееусловие [ f (x) = 0 ]; отличаются они по тому, какая из переменных,x или f , связывается квантором ∀.Заметим далее, что аннуляторы можно брать повторно. Скажем,начав с подмножества M ⊆ V, мы получим, в соответствии с (32.21),аннулятор M ◦ ⊂ V ∗ , которому, в соответствии с (32.24), будет соответствовать второй аннуляторM ◦◦ = (M ◦ )◦ ,(32.25)снова содержащийся в пространстве V.Подобным же образом можно действовать, начиная с подмножества N ⊆ V ∗ .Важнейшим свойством аннуляторов является то, что для любого подмножества его аннулятор является уже подпространством.Более точно мы сформулируем это свойство (и ряд других) в предложении 32.2 ниже.
Обратите внимание на группировку материалав два столбца. Здесь наблюдается одно из замечательных математических явлений — двойственность. Подробнее о нем будет сказанов следующем прараграфе (см. п. 33.5).Предложение 32.2. Операция взятия аннулятора подмножества обладает (для любых M, M1 , M2 ⊆ V ; N, N1 , N2 ⊆ V ∗ ) следующими свойствами:(1a)(2a)(3a)(4a)M ◦ 6 V ∗;(M1 ⊆ M2 ) ⇒ (M1◦ > M2◦ );M ◦ = hM i◦ ;M ⊆ M ◦◦ ;(1b)(2b)(3b)(4b)N◦ 6 V ;(N1 ⊆ N2 ) ⇒ (N1◦ > N2◦ );N ◦ = hN i◦ ;N ⊆ N ◦◦ .Доказательство.
1a. Докажем, что аннулятор любого подмножества в V является линейным подпространством в V ∗ . В самом деле,если f, g ∈ M ◦ , т. е. f (x) = g(x) = 0 для любого x ∈ M, то для любых скаляров λ, µ ∈ P форма λf + µg также аннулируется на любомвекторе x ∈ M, и, следовательно, принадлежит M ◦ .§ 32Теория двойственности4131b. Аналогично доказывается, что аннулятор любого подмножества в V ∗ является линейным подпространством в V : если x, y ∈ N ◦ ,т. е. f (x) = f (y) = 0 для любого f ∈ N, то (при любых λ, µ ∈ P ) вектор λx + µy также принадлежит N ◦ .2a.
Если линейная форма аннулируется на подмножестве M2 , тоона аннулируется и на подмножестве M1 ⊆ M2 . Значит, аннуляторM2◦ содержится (и, следовательно, является подпространством) в аннуляторе M1◦ .2b. Проведите самостоятельно столь же короткое доказательноерассуждение.3a. Доказательство утверждения 3a также останется читателям вкачестве упражнения; образец будет дан в пункте 3b.3b. Прежде всего уточним смысл угловых скобок: в данном случае они обозначают линейную оболочку для подмножества (см.п. 2.2).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
