Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Матрица билинейной формы. Предположим теперь,что линейное пространство V является конечномерным (размерности n) и выберем в нем какой-либо базисB = [ b1 , b2 , ... , bn ].(34.12)Рассмотрим б.ф. f ∈ L2 (V ) и распишем ее значение f (x, y) на произвольной паре векторов (x, y) ∈ V × V , предварительно разложивэти векторы по базису (34.12):x=nXi=1xi bi ; y =nXj=1yj bj .(34.13)§ 34Билинейные формы и их матрицы433Получим, как следствие общего правила (34.3), представление искомого значения в виде двойной суммы:f (x, y) =n XnXxi yj f (bi , bj ) =nn XXaij xi yj ,(34.14)i=1 j=1i=1 j=1или, окончательно:f (x, y) =nX(34.140 )aij xi yj ,i,j=1где введены обозначенияaij = f (bi , bj ); i, j = 1, ...
, n(34.15)для значений формы f на парах базисных векторов.Скаляры (34.15) составляют квадратную матрицу:A = (aij )ni,j=1 .(34.16)Определение 34.2. Говорят, что матрица (34.16) соответствует (или отвечает) билинейной форме (34.1) в базисе (34.12).С помощью матрицы (34.16) выражение (34.14) для значения билинейной формы можно представить в следующем виде:f (x, y) =nXi=1xinXj=1aij yj =nXxi · [A · y ]i = xt · ( A · y ) = xt A y,i=11×nn×n n×1где введены координатные столбцы x, y ∈ P n , отвечающие векторам x, y ∈ V в базисе B, и использовано определение матричногоумножения.Приведем для последующих ссылок координатное выражение билинейной формы в окончательном виде:f (x, y) = xt A y.(34.17)434Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Предложение 34.1. Пусть V — к.л.п. размерности n над полем P. Отображениеm : L2 (V ) −→ L(n, P ); f 7→ A; f ∈ L2 (V ),(34.18)сопоставляющее билинейной форме (34.1) ее матрицу (34.16), является изморфизмом линейных пространств; в частности, пространство билинейных форм также является к.л.п. и dim(L2 (V )) = n2 .Доказательство. Линейность отображения (34.18) очевидна в силу формул (34.15): сумме билинейных форм отвечает сумма соответствующих матриц; при умножении формы на скаляр ее матрицаумножается на тот же скаляр.Мономорфность отображения (34.18) вытекает из того факта, чтоб.ф.
однозначно [по формуле (34.17)] восстанавливается по своейматрице.Эпиморфность следует из того, что (в силу линейности координатного изоморфизма x 7→ x) по заданной квадратной (n×n)-матрице A формула (34.17) определяет билинейную форму f на V , причемтакую, что m(f ) = A. В самом деле, подставляя в (34.17) вместоx и y базисные векторы bi и bj соответственно, мы получим сначала:x = ei , y = ej и Aej = aj (j-й столбец матрицы A), а затем:f (bi , bj ) = ei t Aej = ei t aj = aij ; i, j = 1, ... , n. ¤(34.19)Пример 34.5 (продолжение примера 34.1). Билинейной форме (34.6) в естественном базисе En арифметического линейного пространства P n отвечает, очевидно, та самая матрица A, с помощьюкоторой эта форма была задана. Действительно,f (ei , ej ) = ei t · A · ej = aij .В частности, скалярному произведению (34.7) отвечает единичнаяматрица A = En .Пример 34.6 (продолжение примера 34.3).
Ситуция, аналогичная случаю скалярного произведения (34.7), имеет место и применительно к б.ф. (34.10): эта форма фактически тоже является стандартным скалярным произведением на n2 -мерном линейном пространстве V = L(n, P ).§ 34Билинейные формы и их матрицы435В самом деле, диагональные элементы произведения матриц X t ·Yвычисляются по формуле:y1jn y2j Xttxij yij ,[X · Y ]jj = xj · yj = ( x1j x2j ... xnj ) · =...i=1ynjа их сумма (след указанной матрицы) — по формуле:tf (X, Y ) = tr(X · Y ) =nXxij yij ,(34.100 )i,j=1т. е. значение f (X, Y ) получается как сумма произведений всех соответствующих элементов матриц X и Y.Следовательно, в естественном базисе, составленном из матрицEij (i, j = 1, ...
, n), форме (34.10) отвечает единичная матрица порядка n2 .Пример 34.7 (продолжение примера 34.4). Убедитесь самостоятельно в том, что если в поле C рассмотреть естественный базисB = [1, i], то б.ф. (34.11) будет соответствовать единичная матрицавторого порядка, б.ф. (34.110 ) — диагональная матрица diag(1, −1);матрицу для б.ф. (34.1100 ) определите сами.34.3.
Изменение матрицы билинейной формы при заменебазиса. Конгруэнтные матрицы. Изучение данного пункта полезно предварить просмотром п. 13.5, где рассматривался вопрос опересчете матрицы линейного эндоморфизма, действующего в к.л.п.,при замене базиса в этом пространстве.Напомним, что л.э. ϕ ∈ L(V ) в каждом базисе B сопоставляется квадратная матрица A, которая при замене базиса, с матрицейперехода T , преобразуется [см. формулу (13.4)] в подобную матрицу A0 = T −1 AT.Рассмотрим в n-мерном пространстве V , помимо "старого" базиса(34.12), "новый" базисB0 = [ b01 , b02 , ...
, b0n ],(34.120 )и пусть матрица T описывает переход от старого базиса к новому, аобратная матрица S = T −1 — обратный переход.Обозначим A и A0 матрицы, отвечающие б.ф. f ∈ L2 (V ) в староми новом базисах соответственно.436Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Предложение 34.2. При замене базиса матрица б.ф. пересчитывается по формулам:A0 = T t AT ; A = S t A0 S.(34.20)Доказательство. Достаточно доказать первую из формул (34.2),после чего, домножением ее обеих частей, справа на S = T −1 , аслева — на S t = (T t )−1 , мы получим вторую формулу.Пусть x и y — произвольные векторы из пространства V.
В старомбазисе B (в новом базисе B0 ) им соответствуют координатные столбцы x и y (соответственно x0 и y 0 ). Согласно формулам пересчета(7.12), имеют место выражения старых столбцов через новые:x = T x0 ; y = T y 0 .(34.21)Значение f (x, y) по формулам типа (34.17) может быть вычисленов координатах относительно любого базиса. В данном случае мыприходим к двум выражениям:f (x, y) = (x0 )t A0 y 0и(34.21)f (x, y) = xt Ay === (T x0 )t A(T y 0 ) = (x0 )t (T t AT ) y 0 .Приравнивая их, мы получим равенство(x0 )t A0 y 0 = (x0 )t (T t AT ) y 0 ,(34.22)которое (в силу произвольности x, y ∈ V ) должно быть справеделиво для любых векторов-столбцов x0 , y 0 ∈ P n . Подставляя столбцы изестественного базиса, x0 = ei и y 0 = ej , и пользуясь выкладками,аналогичными (34.19), мы приходим к выводу о равенстве соответствующих элементов[A0 ]ij = [T t AT ]ij ; i, j = 1, ...
, n,что и убеждает нас в справедливости равенства матриц, выражаемого первой из формул (34.20). ¤Формулы (34.20) мотивируют следующее§ 34Билинейные формы и их матрицы437Определение 34.3. Две квадратные матрицы A, B ∈ L(n, P ) называются конгруэнтными (и это обозначается A p−yB), если существует обратимая матрица T ∈ GL(n, P ) такая, чтоB = T t AT.(34.23)Данное выше определение следует сравнить с определением 13.2подобных квадратных матриц.◦ ◦, являОтношение конгруэнтности p−y, как и отношение подобия ∼ется отношением эквивалентности. [Рефлексивность и симметричность, как обычно, очевидны.
Транзитивность доказывается так:соотношения B = T1t AT1 и C = T2t BT2 , с обратимыми T1 и T2 , влекут C = T3t AT3 , где T3 = T1 T2 ∈ GL(n, P ).]И обозначение конгруэнтности является еще одной "самоделкой".В дальнейшем вашем математическом развитии вы, перелистываямногочисленные учебники и монографии, научитесь понимать, чтоодному и тому же символу (и даже — на одной и той же странице)иногда могут приписываться различные значения. А пока автор пытается помочь вашей интуиции, изобретая нестандартные символы.34.4.
Ранг билинейной формы. Невырожденные б.ф. Всякий раз, когда изучение какого-либо математического объекта приводит к его описанию с помощью матрицы, возникает идея приписать этому объекту ранг (определяемый по соответствующей матрице). Однако чаще всего матрица, сопоставляемая объекту, зависитне только от него самого, но и от некоторых "случайных факторов"(типа выбора базисов). Вследствие этого, при определении рангатребуется обоснование корректности (проверка независимости отслучайных обстоятельств). Вспомните в связи с изложенными вышеобщими соображениями тот факт, что ранг линейного отображенияравен рангу соответствующей матрицы (и этот последний не зависитот выбора базисов).Ниже аналогичная идея реализуется применительно к билинейным формам. Конгруэнтные матрицы отличаются обратимыми матричными множителями (слева и справа) и поэтому (см.
п. 13.3) имеют одинаковые ранги:[ A p−yB ] ⇒ [ rank(A) = rank(B) ],что обеспечивает корректность следующего определения.(34.24)438Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Определение 34.4. Рангом б.ф. f ∈ L2 (V ) называется ранг матрицы A, отвечающей f в некотором базисе B пространства V :rank(f ) = rank(A).(34.25)Б.ф. f называется невырожденной, если ее ранг является максимальным, т. е.rank(f ) = n,(34.26)где n = dim(V ).Пример 34.8.
Билинейная форма (34.6) [см. примеры 34.1 и 34.5]имеет ранг, совпадающий с рангом задающей эту форму матрицы.В частности, скалярное произведение (34.7) является невырожденной формой. Также невырожденны б.ф. (34.10) [см. примеры 34.3и 34.6] и формы (34.11), (34.110 ), (34.1100 ) [см. примеры 34.4 и 34.7].34.5. Симметрические и антисимметрические б.ф. Нарядус билинейной формой f ∈ L2 (V ) [см. (34.1)], рассмотрим функциюfe : V × V −→ P ; x 7→ fe(x, y) = f (y, x); x, y ∈ V,(34.27)которая, очевидно, также является б.ф.Определение 34.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
