Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Билинейная форма (34.1) называется симметрической (антисимметрической), если fe = f (соответственно fe = −f ).Будем использовать сокращения: с.б.ф. и а.б.ф.Условиям симметричности (антисимметричности) можно придатьследующий вид (соответственно):(∀ x, y ∈ V ) [ f (y, x) = f (x, y) ];(34.28s)(∀ x, y ∈ V ) [ f (y, x) = −f (x, y) ].(34.28a)В линейном пространстве б.ф. L2 (V ) рассматриваются подмножество с.б.ф. L2s (V ) и подмножество а.б.ф. L2a (V ).Если для вас не очевидно то, что оба этих подмножества являютсяподпространствами, то берите ручку — и проверяйте.Замечание 34.2.
Тем же, кто прочитал предыдущие главы и, в какой-то степени, осознал их содержание, должно быть ясно даже§ 34Билинейные формы и их матрицы439большее: отображение f 7→ fe является линейным оператором (л.э.)в пространстве L2 (V ); подмножество L2s (V ) является собственнымподпространством для этого оператора, отвечающим собственному значению 1, а подмножество L2a (V ) — собственным подпространством, отвечающим −1.В конечномерном пространстве свойство (анти-)симметричностиб.ф. оказывается естественно связанным с аналогичным свойствомматрицы, отвечающей этой форме (в произвольном базисе). Точнее,справедливо следующееПредложение 34.3.
Пусть V — конечномерное линейное пространство над полем P ; B — какой-либо базис в V . Билинейнаяформа f ∈ L2 (V ) является симметрической (антисимметрической)тогда и только тогда, когда аналогичным свойством обладает матрица A, отвечающая f в базисе B.Доказательство проведем только для одного из типов форм, длядругого все совершенно аналогично.Условие симметричности (34.28s) влечет равенства aji = aij (гдеi, j = 1, ... , n) для элементов матрицы A [см.
(34.15)], или, что равносильно, — симметричность этой матрицы: At = A.Обратно, пусть матрица A является симметрической, т. е. At = A.Координатную запись (34.17) для значения f (x, y) данной б.ф. мырассмотрим как матричное равенство, считая, что в левой его частистоит матрица размера 1 × 1. Транспонируем обе части этого равенства (левая часть при этом не изменится). В следующей выкладке, сиспользованием свойств операции транспонирования, доказываетсяусловие (34.28s):¡¢tf (x, y) = xt A y = xt A y = y t At x = y t A x = f (y, x).
¤Замечание 34.3. Поскольку свойство (анти-)симметричности матрицы для (анти-)симметрической б.ф. имеет место в произвольномбазисе, то косвенным следствием последнего предложения являетсятакой вывод: матрица, конгруэнтная (анти-)симметрической, самаявляется таковой.Это утверждение легко доказать и непосредственно:[ At = A ] ⇒ [ (T t A T )t = T t At T = T t A T ],для антисимметричности — аналогично.440Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Замечание 34.4. Произвольная б.ф. f в произвольном базисе Bможет быть представлена координатной записью, в виде двойнойсуммы (34.140 ). Для с.б.ф. эту запись удобно перегруппировать следующим образом: сначала выписать n слагаемых, отвечающих диагональным элементам aii (i = 1, ... , n) матрицы A, а затем — оставшиеся n2 − n слагаемых сгруппировать попарно так, чтобы каждаяиз Cn2 = n(n − 1)/2 пар обединяла слагаемое, содержащее элементaij (1 6 i < j 6 n), и слагаемое, содержащее симметричный элементaji = aij . Так мы придем к выражению:f (x, y) =nXaii xi yi +i=1Xaij (xi yj + xj yi ).(34.14s)16i<j6nВ случае антисимметричной формы диагональные коэффициенты обращаются в нуль, а оставшиеся снова группируются попарно,с учетом соотношений aji = −aij , что приводит к представлению:f (x, y) =Xaij (xi yj − xj yi ).(34.14a)16i<j6nВ настоящей главе основным предметом нашего изучения будутсимметрические билинейные формы.
Но это отнюдь не значит, чтоантисимметрические менее важны. Скорее — наоборот. На теории а.б.ф. основаны самые интересные разделы геометрии, механики, физики. Однако все это пока останется за рамками нашего курса.Заинтересованные читатели могут обратиться к указанным в спискелитературы (основным и дополнительным) учебникам.
Для особенно заинтересованных дадим добавочную ссылку. Имеется многотомный курс М. М. Постникова "Лекции по геометрии" (8 книг), в котором, в частности, представляется "с геометрическим акцентом"изучаемая нами линейная алгебра (см. две версии лекций второгосеместра: "Линейная алгебра и дифференциальная геометрия", М.:Наука, 1979 и "Линейная алгебра", М.: Наука, 1986).Вспомним теперь содержание примера 9.2, где мы рассматривалилинейные пространства симметрических и антисимметрических матриц (обозначавшиеся Ls (n, P ) и La (n, P ) соответственно). Из предложений 34.2 и 34.3 следует, что имеют место изоморфизмыL2s (V ) ∼= Ls (n, P ); L2a (V ) ∼= La (n, P ),(34.29)§ 34Билинейные формы и их матрицы441каждый из которых является сужением изоморфизма (34.18).В частности, это дает информацию о рамерностях подпространствс.б.ф.
и а.б.ф.: они равны соответственно n(n + 1)/2 и n(n − 1)/2.Кроме того, в указанном примере, при дополнительном ограничении на основное поле (char(P ) 6= 2), была доказана взаимная дополнительность подпространств симметрических и антисимметрическихматриц. Аналогичный результат справедлив и для пространств билинейных форм, причем без предположения конечномерности пространства V.Предложение 34.4. Пусть V — линейное пространство над полем P , характеристика которого отлична от двух.
Тогда линейныеподпространства с.б.ф. и а.б.ф. являются взаимно дополнительнымив линейном пространстве всех б.ф., т. е.L2 (V ) = L2s (V ) ⊕ L2a (V ).(34.30)Доказательство. 1. Во-первых, рассматриваемые подпространства независимы, т. е. их пересечение тривиально. В самом деле,если форма f является как симметрической, так и антисимметрической, то для нее справедливо равенство −f = f, или 2 · f = 0, что, впредположении 2 6= 0, влечет f = 0. (Напомним, что условная запись2 6= 0 является выражением следующего свойства поля: 1 + 1 6= 0.)2. Во-вторых, используя тот факт, что в поле P существует элемент 2−1 , мы можем записать равенство:11f = (f + fe) + (f − fe),(34.31)22где б.ф. fe определена формулой (34.27).Легко убедиться в том, что первое слагаемое в (34.31) являетсяс.б.ф., а второе — а.б.ф.
Следовательно, всякая б.ф. представляетсяв виде суммы симметрической и антисимметрической форм.Наличие прямого разложения (34.30) вытекает теперь из предложения 9.1. ¤Замечание 34.5. А что будет, если char(P ) = 2? Ответ совершенноясен: элементы поля характеристики два, а также элементы векторных пространств над таким полем совпадают с противоположнымик ним элементами. Значит, б.ф.
(или квадратная матрица) будетсимметрической тогда и только тогда, когда она будет антисимметической. (Два подпространства-слагаемых "сливаются" в одно.)442Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 434.6.∗ Два линейных гомоморфизма линейного пространства в двойственное, связанные с б.ф. Если в билинейной формезафиксировать один из аргументов, то по другому аргументу получится линейная форма, сопоставление которой значению ранее зафиксированного аргумента определит линейное отображение из данного линейного пространства в двойственное. Точнее, справедливоследующееПредложение 34.5. Пусть V — линейное пространство над полем P , f — билинейная форма на V.(1) Фиксация значения y для второго аргумента формы f , либофиксация значения x для первого аргумента — определяют на Vпару линейных форм:иfy(1) : V −→ P ; fy(1) (x) = f (x, y); x ∈ V(34.32a)fx(2) : V −→ P ; fx(2) (y) = f (x, y); y ∈ V.(34.32b)(2) Отображенияиf (1) : V −→ V ∗ ; y 7→ f (1) (y) = fy(1) ; y ∈ V(34.33a)f (2) : V −→ V ∗ ; x 7→ f (2) (x) = fx(2) ; x ∈ V.(34.33b)являются линейными гомоморфизмами из данного пространства Vв двойственное пространство V ∗ .Доказательство.
Как линейность форм (34.32), так и линейностьотображений (34.33) непосредственно следуют из тождеств (1) — (4)определения 34.1. ¤Придадим формулам (24.33) несколько иной вид, расписывая значения линейных форм на векторах:f (1) (y) (x) = f (x, y);(34.34a)f (2) (x) (y) = f (x, y),(34.34b)где x, y ∈ V .(Уже не в первый раз мы сталкиваемся с необходимостью употребления довольно сложных обозначений при изучении функций,§ 34Билинейные формы и их матрицы443значениями которых снова служат функции. Так, в левой частиформулы (34.34а) мы имеем значение f (1) (y) линейного оператораf (1) : V → V ∗ на векторе y ∈ V , но это значение, будучи элементом V ∗ , само является линейной формой, в связи с чем приходитсярассматривать значение этой формы на векторе x ∈ V , которое ужеявляется скаляром из поля P .)Для того, чтобы можно было сравнивать действие линейных гомоморфизмов (операторов) f (1) , f (2) ∈ L(V, V ∗ ), требуется во второйформуле переобозначить аргумент для оператора и аргумент длялинейной формы (являющейся значением этого оператора), т.
е., короче говоря, поменять ролями x и y:f (2) (y) (x) = f (y, x).(34.34b0 )Сопоставление формул (34.34а) и (34.34b0 ) убеждает нас в том,что операторы (34.33а) и (34.33b), вообще говоря, различны. Совпадают же они тогда и только тогда, когда для любых векторовx, y ∈ V выполняется равенство f (x, y) = f (y, x), являющееся условием симметричности формы f [см. (34.28s)]. Тем самым доказаноПредложение 34.6.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
