Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 73
Текст из файла (страница 73)
y = ϕ(x) для некоторого x ∈ V. Тогда длялюбого g ∈ Ker(ϕ∗ ) справедливо:(33.5)g(y) = g(ϕ(x)) === ϕ∗ (g) (x) = 0,т. е. y принадлежит аннулятору (Ker(ϕ∗ ))◦ .Тем самым доказано включение Im(ϕ) 6 (Ker(ϕ∗ ))◦ , которое насамом деле яляется равенством, поскольку dim(Im(ϕ)) = r иdim((Ker(ϕ∗ ))◦ ) = m − dim((Ker(ϕ∗ )) =(33.27)= m − dfc(ϕ∗ ) === m − (m − r) = r.426Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 42. Пусть x ∈ Ker(ϕ), т. е. ϕ(x) = 0. Возьмем любую формуf ∈ Im(ϕ∗ ), т. е. такую, которая представляется в виде f = ϕ∗ (g)для некоторой формы g ∈ W ∗ . Будем иметь:(33.5)f (x) = ϕ∗ (g) (x) === g(ϕ(x)) = g(0) = 0.Это означает, что вектор x принадлежит аннулятору Im(ϕ∗ ).Включение Ker(ϕ) 6 (Im(ϕ∗ ))◦ доказано.
На самом деле оно является равенством в силу совпадения размерностей:dim((Im(ϕ∗ ))◦ ) = n − dim(Im(ϕ∗ )) = n − rank(ϕ∗ ) =(33.26)= n − rank(ϕ) = n − r === dfc(ϕ) = dim(Ker(ϕ)).Оба утверждения, провозглашенные в теореме, доказаны. ¤Замечание 33.5.∗ "Рабочие" приложения теоремы Фредгольма основаны на следующей идее: для того, чтобы выяснить, принадлежитли вектор b ∈ W образу оператора ϕ, достаточно убедиться в том,что на этом векторе аннулируются базисные (и, следовательно, все)элементы ядра Ker(ϕ∗ ).В координатной записи речь идет о разрешимости неоднороднойс.л.у. Ax = b, и критерием этого является обращение в нуль всехпроизведений gk t ·b, для всех базисных решений gk t (k = r+1, ...
, m)tдвойственной однородной с.л.у. g t A = 0 , или, что равносильно, —обращение в нуль произведения матриц:Gt(m−r)×m· A =m×nO,(m−r)×nгде r = rank(A), а G — фундаментальная матрица для однороднойс.л.у. At g = 0.33.4.∗ Неформальные рассуждения о природе двойственности. Строгого и всеобъемлющего определения понятия двойственности дать, по-видимому, нельзя. Однако, природу этого явления можно почувствовать на отдельных примерах, с некоторыми изкоторых мы уже сталкивались.Важнейшим атрибутом двойственности, как правило, выступаетнекоторое инволютивное соответствие, сопоставляющее объектамнекоторого класса двойственные объекты (в этом же или в другомклассе).§ 33Двойственный оператор. Теорема Фредгольма427Скажем, в булевой алгебре 2I подмножеств некоторого множества I (см.
п. 1.7) всякому подмножеству A ⊆ I сопоставляется егодополнение A = X \ A. Инволютивность этого соответствия выражается законом: A = A.Только что мы познакомились с двойственностью для конечномерных линейных пространств: всякому объекту (к.л.п.) V сопоставляется двойственный объект (двойственное к.л.п.) V ∗ . Инволютивность здесь имеет несколько более сложный хараткер: второедвойственное пространство V ∗∗ не равно, но канонически изоморфноисходному пространству.Еще одним типичным свойством двойственности является обращение включений для подобъектов. В простейшем (булевом) примеревключение A ⊆ B влечет противоположное включение A ⊇ B длядополнений.В линейной алгебре подобъекты суть линейные подпространстваW 6 V .
Каждому из них отвечает двойственный подобъект — аннулятор W ◦ 6 V ∗ , причем включения между подпространствамиснова "переворачиваются": более широкому подпространству отвечает более узкий аннулятор (см. утверждения (3а) и (3b) в предложении 32.5), второй аннулятор совпадает с исходным подпространством.Законы де Моргана (b.9) и (b.18) в булевой алгебре (см. пример 1.7) можно трактовать следующим образом: объединению (пересечению) множеств соответствует пересечение (объединение) ихдополнений. Можно говорить о взаимной двойственности алгебраических действий объединения и пересечения.Сходное явление мы наблюдали в линейной алгебре, только операция объединения здесь замещается на операцию сложения (подпространств). Утверждения (5а) — (6b) предложения 32.5 следует трактовать как установление взаимной двойственности алгебраическихопераций сложения и пересечения для линейных подпространств.Принято также говорить о "надматематическом" принципе двойственности для утверждений (аксиом, теорем, предложений), понимая под этим следующее правило: каждому истинному утверждению об объектах отвечает (также истинное) утверждение о двойственных объектах, в котором все включения обращены, все алгебраические действия заменены двойственными, наименьший (нулевой)объект заменен на наибольший и т.
д.В сводке законов булевой алгебры (b.1) — (b.19) они были специально расположены в два столбца так, чтобы в каждой строке428Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4содержались взаимно двойственные утверждения; последнее оказалось "самодвойственным".В предложении 32.5 группировка материала была несколько иной.Проанализировав, например, доказательство утверждения (6a), выможете заметить, что оно (с помощью замены подпространств наих аннуляторы) сводилось к ранее доказанному утверждению (5b);именно его можно считать двойственным к (6а).В текущем параграфе теория двойственности для к.л.п. была распространена с объектов на морфизмы (линейные отображения), и мыстолкнулись с еще одним ее характерным проявлением — обращением стрелок:ϕV−→ W ;V∗ϕ∗←−W ∗,которое естественно приводит к правилу(ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗изменения (при переходе к двойственным) порядка морфизмов вкомпозиции.В связи с этим припомним студенческую прибаутку.
Фактукурицаснесла−−−−−→яйцоотвечает двойственный факт:кокурицукоснесло←−−−−−кояйцо .Вам еще не раз предстоит встретиться с различными теориями,эксплуатирующими идею двойственности. Например, настоящим"царством двойственности" является проективная геометрия — наука, удивительная и красивая сама по себе, но, помимо этого, —абсолютно необходимая при разработке программных средств компьютерной графики.§ 34Билинейные формы и их матрицы429§ 34. Билинейные формы и их матрицы34.1.
Понятие билинейной формы на линейном пространстве. Рассмотрим линейное пространство V над полем P .Определение 34.1. Билинейной формой (или функцией) на линейном пространстве V называется отображениеf : V × V −→ P ; x 7→ f (x, y); x, y ∈ V(34.1)декартова квадрата пространства V в поле P, линейное по каждомуиз аргументов, т. е.
удовлетворяющее условиям(1) f (x + x0 , y) = f (x, y) + f (x0 , y);(2) f (λx, y) = λf (x, y);(3) f (x, y + y 0 ) = f (x, y) + f (x, y 0 );(4) f (x, λy) = λf (x, y),для любых λ ∈ P ; x, x0 , y, y 0 ∈ V.Замечание 34.1. Эти условия не являются для нас принципиальноновыми. Уже в первом пособии [A1 ] говорилось (см. доказательствотеоремы 2.1) о свойстве билинейности для произведения матриц идаже — о свойстве полилинейности (при изучении определителей;см. §§ 24, 26).Отметим следствия из определения билинейных форм:1) обычная линейность функции одной переменной x 7→ f (x) влечет "сохранение нуля": f (0) = 0; наличие двух аргументов и линейности по каждому из них приводит к свойствам:f (0, y) = 0 = f (x, 0)(34.2)для любых x, y ∈ V ;2) линейные функции от одного переменного сохраняют линейныекомбинации [см.
(1.11)]; для билинейных функций (форм), при наличии линейных комбинаций по каждому из аргументов, значениеформы раскрывается как двойная сумма:klk XlXXXf(λi ai ,µj bj ) =λi µj f (ai , bj ),i=1j=1i=1 j=1где λi , µj ∈ P ; ai , bj ∈ V (i = 1, ... , k; j = 1, ... , l).(34.3)430Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Пополним наш, уже достаточно длинный, список аббревиатур ещеодной — б.ф. (= билинейная форма).Равенство б.ф.
понимается как равенство функций, т. е. поточечно. Примем обозначение L2 (V ) для множества всех б.ф., заданныхна линейном пространстве V , и введем на этом множестве поточечные алгебраические действия;— сложение б.ф.:(f + g)(x, y) = f (x, y) + g(x, y); f, g ∈ L2 (V ); x, y ∈ V ;(34.4)— умножение б.ф. на скаляр:(λ · f )(x, y) = λ · f (x, y); λ ∈ P ; f ∈ L2 (V ); x, y ∈ V.(34.5)Сравните определения (34.4) — (34.5) с аналогичными определениями (12.1) — (12.1) для линейных операторов и убедитесь в том,что сумма f + g и произведение λ · f снова являются б.ф.(Напомним, что в § 12, при изучении линейных операторов, проверка указанных фактов также оставлялась читателям. Зато в § 15пособия [A1 ], при предварительном знакомстве с линейными отображениями арифметических линейных пространств, этот вопрос рассматривался подробнее.)Далее нам необходимо убедиться, что алгебраические действия(34.4) и (34.5) в множестве L2 (V ) удовлетворяют всем аксиомам линейного пространства (V1 ) — (V8 ).
Однако уже в первом параграфе,при разборе примеров линейных пространств, было объяснено, чтолинейным пространством над полем P является множество F(M, P )всех функций, заданных на (произвольном) множестве M и принимающих значения в поле P. Замечая, что множество б.ф. содержитсяв линейном пространстве F(V × V, P ) и, более того, является в немлинейным подпространством, мы приходим к выводу, что L2 (V ) также является линейным пространством (над полем P ).Приведем несколько примеров билинейных форм.Пример 34.1.
Рассмотрим арифметическое линейное пространство V = P n и произвольную (n × n)-матрицу A с элементами изполя P. Из законов алгебры матриц (см. [A1 , п. 2.3]) легко выводится, что функцияf : P n × P n −→ P ; f (x, y) = xt · A · y; x, y ∈ P n(34.6)§ 34Билинейные формы и их матрицы431является б.ф. на V.
(Прежде всего, проследите за тем, как произведение (1 × n)-строки, (n × n)-матрицы и (n × 1)-столбца дает (1 × 1)матрицу, отождествляемую со скаляром из P. Затем примените дистрибутивные законы и законы вынесения скаляров из сомножителейматричного произведения.)В п. 34.3 мы убедимся в том, что (34.6) является общим видом б.ф.на арифметическом линейном пространстве и, более того, всякаяб.ф. на к.л.п. в координатах выражается формулой типа (34.6).Особо отметим случай единичной матрицы: A = En . Билинейнаяформаf : P n × P n −→ P ; f (x, y) = xt · y; x, y ∈ P n(34.7)назывется стандартным скалярным произведением в пространстве P n . (Однако это понятие относится уже не к собственно линейнойалгебре, но является исходным пунктом построения линейной геометрии.)Пример 34.2 (продолжение примера 11.1).
Рассмотрим (бесконечномерное) линейное пространство V = C([a, b], R) непрерывныхфункций, заданных на отрезке [a, b] числовой оси R. Из свойств определенного интеграла легко выводится, что функция от двух функцийZ bf (x, y) =x(t)y(t) dt; x, y ∈ V(34.8)aявляется билинейной формой, которую можно рассматривать какбесконечномерное обобщение скалярного произведения (34.7).(Начальный, "героический" период развития функциональногоанализа характеризовался очень высоким эмоциональным напряжением. Попытайтесь разделить "эйфорию первооткрывателей", представив себе, как дискретная переменная (индекс) i, принимающаяцелые значения от 1 до n, "перерождается" в непрерывную переменную (аргумент) t, пробегающую отрезок [a, b], а конечная суммаPni=1 xi yi превращается Rв бесконечную (континуальную) сумму —bопределенный интеграл a x(t)y(t) dt.)Пример 34.3.
На линейном пространстве V = L(n, P ) квадратных матриц задана линейная форма след [см. (13.34)]:tr : L(n, P ) −→ P ; X 7→ tr(X); X ∈ L(n, P ),(34.9)с помощью которой можно определить на V б.ф.f (X, Y ) = tr(X t · Y ); X, Y ∈ V.(34.10)432Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Свойства (1) — (4) из определения 34.1 следуют из:— билинейности матричного умножения;— линейности операции транспонирования;— линейности формы (34.9).(Вам поручается восстановление всех подробностей. Заметьте попутно, что в формуле (34.10) можно обойтись без транспонирования,и тоже получится б.ф.
Ниже, в примере 34.6, станет ясно, чем интереснее вариант с транспонированием.)Пример 34.4. Пусть V = C, рассматриваемое как двумерноелинейное пространство над P = R. Функцияf : C −→ R; f (z, w) = Re(z · w); z, w ∈ C,(34.11)где на этот раз черта обозначает комплексное сопряжение, является б.ф. (Убедитесь в этом и получите заодно координатную формулу:f (z, w) = xu + yv, для z = x + yi и w = u + vi.)Если в формуле (34.11) убрать сопряжение, то получится другая б.ф.:g : C −→ R; g(z, w) = Re(z · w); z, w ∈ C,(34.110 )с координатным выражением g(z, w) = xu − yv.Еще один пример б.ф. в этом пространстве:h : C −→ R; h(z, w) = Im(z · w); z, w ∈ C;(34.1100 )координатное представление найдете сами.34.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
