Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Гомоморфизмы (34.33а) и (34.33b) совпадают тогда и только тогда, когда б.ф. f является симметрической. ¤Замечание 34.6. Различающие верхние индексы (1) и (2) становятся в случае симметрической формы ненужными. Однако какая-тометка все-таки нужна (чтобы отличить с.б.ф. f ∈ L2s (V ) от соответствующего линейного гомоморфизма), и мы будем использовать"музыкальный" знак повышения:f ] : V −→ V ∗ ; y 7→ f ] (y); f ] (y) (x) = f (x, y); x, y ∈ V.(34.35)Обратимся теперь к случаю конечномерного пространства V.Пусть dim(V ) = n, в V зафиксирован базис B [см.
(34.12)], адвойственное пространство V ∗ снабжено двойственным базисом B∗ ,который [см. (31.12)] связан с B соотношениями b∗i (bj ) = δij (гдеi, j = 1, ... , n).Предложение 34.7. Пусть билинейной форме f ∈ L2 (V ) отвечает в базисе B матрица A.Тогда в базисах B и B∗ линейному оператору f (1) соответствует та же самая матрица A, а оператору f (2) — транспонированнаяматрица At .444Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Доказательство.
Обозначим M (1) и M (2) матрицы, отвечающие(в рассматриваемых базисах) операторам f (1) и f (2) соответственно. По общему правилу составления матрицы линейного оператора[см. (12.7)], элементы первой матрицы находятся по формулам:(1)mij = [f (1) (bj )]i ; i, j = 1, ... , n.(34.36)В правой части (34.36) фигурирует i-я координата (в базисе B∗ )для линейной формы, указаннной в квадратных скобках, котораяможет быть определена по формуле (31.6), после чего срабатывает (34.34а):(1)mij = f (1) (bj ) (bi ) = f (bi , bj ).(34.37)Окончательно, применяя определение (34.15) элементов матрицыб.ф., получаем:(1)mij = aij .(34.38)Равенство M (1) = A, т.
е. первое утверждение предложения, доказано. Приведем (без подробных комментариев) аналогичную выкладку для оператора f (2) :(2) (12.7)(31.6)(34.34b0 )(34.15)mij === [f (2) (bj )]i === f (2) (bj ) (bi ) ===== f (bj , bi ) === aji ;и далее: M (2) = At . ¤Замечание 34.7. Из предложения 34.7 вытекает несколько важных выводов и наблюдений.1. Б.ф. f и соответствующие линейные гомоморфизмы f (1) и f (2)имеют одинаковые ранги.
Значит, и дефекты операторов f (1) и f (2)одинаковы, что, однако, не означает совпадения ядер.Ядра Ker(f (1) ) и Ker(f (2) ) называются соответственно правым илевым ядрами для б.ф. f ; они имеют равные размерности, но, вообще говоря, различны. (Это связано с возможным несовпадениемнуль-пространств L0A и L0At для матрицы A и для транспонированнойматрицы At ; конкретный (2 × 2)-пример можете придумать сами.)Для невырожденной б.ф.
f указанные гомоморфизмы являются(вообще говоря, различными) линейными изоморфизмами пространства V на двойственное пространство V ∗ .2. В случае с.б.ф. f левое ядро формы равно правому и, по определению, совпадает с ядром гомоморфизма f ] ; оно состоит из такихвекторов x ∈ V, что f (x, y) = 0 для любого y ∈ V.§ 34Билинейные формы и их матрицы445Для невырожденной с.б.ф. мы получаем изоморфизм∼=f ] : V −→ V ∗ ,(34.39)сопоставляющий вектору x ∈ V линейную форму y 7→ f (x, y); y ∈ V.Замечание 34.8.
Линейный изоморфизм (34.39), возникающиймежду данным линейным пространством V и двойственным пространством V ∗ в случае задания на V невырожденной с.б.ф., позволяет переосмыслить теорию двойственности (см. §§ 32, 33), переформулировать ее в рамках исходного пространства, без привлечения двойственного.В частности, для любого подмножества M ⊆ V его аннулятор M ◦ ,являющийся линейным подпространством в V ∗ , переводится в V изоморфизмом∼=(34.390 )f [ : V ∗ −→ V,обратным к (34.39). Так получается линейное подпространство(32.21)M ⊥ = f [ (M ◦ ) = {y ∈ V : f ] (y) ∈ M ◦ } =====(34.35)= {y ∈ V : (∀x ∈ M ) [ f ] (y) (x) = 0 ]} ====== {y ∈ V : (∀x ∈ M ) [ f (x, y) = 0 ]} 6 V,(34.40)называемое f -ортогональным дополнением подмножества M.Здесь терминология находится под мощным влиянием геометрии.Векторы x, y ∈ V называются f -ортогональными, если f (x, y) = 0;f -ортогональное дополнение к M состоит из таких векторов, которые f -ортогональны ко всем векторам из M.
"Настоящая" ортогональность получается, если в качестве с.б.ф. f фигурирует скалярноепроизведение [см. (34.7) и, ниже, § 40].Поскольку линейный изоморфизм сохраняет размерности подпространств, то мы можем заключить, что если M является линейнымподпространством размерности k в n-мерном пространсте V, то подпространство M ⊥ (как и аннулятор M ◦ ) имеет размерность n − k;при этом сохраняет силу свойство инволютиности: (M ⊥ )⊥ = M.(Не следует, однако, думать, что подпространства M и M ⊥ взаимно дополнительны. Вообще говоря, это не так, а о тех случаях,когда свойство дополнительности все же имеет место, будет сказанониже; см.
замечание 38.5.)446Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Далее, всякое биективное отображение согласовано с алгебраическим действиями объединения и пересечения (образ пересеченияподмножеств равен пересечению образов и т. п.). Любой линейныйизоморфизм, будучи согласованным со сложением векторов, согласован также и со сложением линейных подпространств: образ суммыподпространств равен сумме образов.Это позволяет перенести в V соотношения двойственности. Скажем, формулы (5а) и (6а) предложения 32.5 обретают новый облик:(M1 + M2 )⊥ = M1⊥ ∩ M2⊥ ; (M1 ∩ M2 )⊥ = M1⊥ + M2⊥ ; M1 , M2 6 V.Как объяснялось в § 33, всякому линейному оператору ϕ : V → Wсоответствует двойственный операторϕ∗ : W ∗ −→ V ∗ ;(34.41)связь между ними выражается формулой (33.5).
И это понятие, с помощью двух невырожденных с.б.ф. f ∈ L2s (V ) и g ∈ L2s (W ), с привличением соответствующих изоморфизмов f ] и g ] , переносится висходные пространства.Новым "воплощением" двойственного оператора (34.41) будет такназываемый (f, g)-сопряженный операторϕ? : W −→ V,(34.42)взаимодействие которого с исходным оператором ϕ может быть описано следующим аналогом формулы (33.5):f (x, ϕ? (y)) = g(ϕ(x), y) (∀ x ∈ V, y ∈ W ).(34.43)(Обратите внимание на смену обозначений. То, что обычно именуется "звездочкой", некоторые предпочитают называть "снежинкой".В формуле (34.43) мы используем "настоящую", пятиконечную звездочку, чтобы различить близкие, но не совпадающие понятия двойственного и сопряженного операторов.)В данном замечании были (очень бегло) очерчены контуры важнейшей главы линейной алгебры, которая находится на стыке с геометрией и активно применяется во многих прикладных дисциплинах.
Автор надеется уделить этой тематике серьезное внимание втретьем томе пособия.§ 35Квадратичные формы. Формула поляризации447Упомянем также о бесконечномерном варианте теории, развиваемом в функциональном анализе. В этой науке изоморфизм типа(34.39) является "именным" — называется изоморфизмом Риса (вчесть венгерского математика, одного из основателей функционального анализа).§ 35. Симметрические билинейныеи квадратичные формы.Формула поляризации35.1. Понятие квадратичной формы. Формула поляризации. Начиная с данного параграфа, основным объектом нашегоизучения становятся симметрические билинейные формы на конечномерных линейных пространствах. Практически всегда будет сохраняться предположение о том, что характеристика основного поляотлична от двух.
Ниже дается определение еще одного класса функций, который естественно связан с классом с.б.ф.Определение 35.1. Пусть V — линейное пространство над полем P . Квадратичной формой (кв.ф.) на пространстве V называетсяфункцияh : V −→ P,(35.1)которая выражается с помощью формулыh(x) = f (x, x); x ∈ V(35.2)через некоторую с.б.ф. f ∈ L2 (V ).Говорят, что кв.ф. h соответствует с.б.ф.
f . Множество всехквадратичных форм на пространстве V обозначается K(V ).Определению 35.1 можно придать более "культурный" (в математическом смысле) вид. Рассмотрим линейное пространство F(V )всех P -значных функций на линейном пространстве V (см. пример 1.2). Определим отображение (которое, очевидно, является линейным):q : L2s (V ) −→ F(V ); f 7→ h; h(x) = f (x, x); f ∈ L2s (V ); x ∈ V. (35.3)Множество K(V ) есть не что иное, как образ отображения (35.3):K(V ) = Im(q).(35.4)448Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Отсюда, в частности, усматривается, что множество квадратичных форм является линейным подпространством в пространствевсех функций и, следовательно, само является линейным пространством над полем P.Любое отображение можно подвергнуть, как говорят, сокращению, рассматривая его действующим на свой образ; при этом получится (вообще говоря, другое, но зачастую обозначаемое так же, каки данное) сюръективное отображение.Мы будем рассматривать сокращение линейного гомоморфизма(35.3) до линейного эпиморфизмаq : L2s (V ) −→ K(V ); f 7→ h; h(x) = f (x, x).(35.5)Предложение 35.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
