Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 77
Текст из файла (страница 77)
Если поле P имеет характеристику, отличную от двух, то линейный эпиморфизм (35.5) является изоморфизмом, т. е. для любой кв.ф. найдется одна и только одна с.б.ф. такая,что q(f ) = h.Доказательство. Пусть h ∈ K(V ). По определению 35.1, для неенайдется с.б.ф. f ∈ L2s (V ) такая, что q(f ) = h, т. е. h(x) = f (x, x)для любого вектора x ∈ V. Докажем, что форма f однозначно восстанавливается по форме h.Рассмотрим значение h на сумме x + y двух произвольных векторов из V и проведем короткую выкладку, использующую свойства(1) — (4) из определения 34.1, а также свойство симметричностиf (y, x) = f (x, y):h(x + y) == f (x + y, x + y) = f (x, x) + f (x, y) + f (y, x) + f (y, y) == h(x) + h(y) + 2f (x, y),или2f (x, y) = h(x + y) − h(x) − h(y).(35.6)Поскольку элемент 2 = 1 + 1 ∈ P , по предположению, отличен отнуля, то существует обратный к нему элемент 1/2 ∈ P , и из соотношения (35.6) можно выразить значения билинейной формы череззначения соответствующей кв.ф.:f (x, y) =¢1¡h(x + y) − h(x) − h(y) ,2(35.7)§ 35Квадратичные формы.
Формула поляризации449что и доказывает однозначность определения f по h. ¤Замечание 35.1. Часто используется специфическая (пришедшаяиз геометрии) терминология: с.б.ф. f называется полярной по отношению к соответствующей ей квадратичной форме h, в связи с чемформула (35.7) именуется формулой поляризации.Вообще во всех темах данной главы "брезжит геометрия". Авторнадеется в третьем (заключительном) томе пособия, по возможности убедительно, продемонстрировать геометрические приложения(и геометрические корни) линейной алгебры. А пока мы будем накапливать алгебраический (и алгоритмический) материал.Замечание 35.2.
Без предположения о симметричности билинейной формы понятие квадратичной формы мало полезно, а в случае антисимметрических форм — тривиально: если f ∈ L2a (V ), тоf (x, x) = 0 для любого x ∈ V.Пример 35.1 (продолжение примеров 34.3 и 34.6). Билинейнаяформа [см. (34.10)]f (X, Y ) = tr(X t · Y )на пространстве квадратных матриц V = L(n, P ) является симметрической.
В самом деле,f (Y, X) = tr(Y t · X) = tr((X t · Y )t ) = tr(X t · Y ) = f (X, Y ).Соответствующая квадратичная форма имеет вид:h(X) = f (X, X) = tr(X t · X),или, с учетом (34.100 ):h(X) =nXx2ij .i,j=135.2. Матрица и координатная запись для квадратичнойформы. Пусть V — n-мерное линейное пространство над полем P.(Теперь и навсегда мы ограничимся полями характеристики, отличной от двух.) Фиксация базиса B = [ b1 , ... , bn ] в пространстве Vзадает [см. (34.29)] линейный изоморфизм∼=m : L2s (V ) −→ Ls (n, P )(35.8)450Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4линейного пространства с.б.ф. на линейное пространство симметрических квадратных матриц. Сочетая его с рассмотренным в предыдущем пункте (и определенным инвариантно, вне зависимости отбазиса) изоморфизмом (35.5) пространства с.б.ф. на пространствокв.ф., мы приходим к выводу о том, что имеются три попарно изоморфных линейных пространства: L2s (V ), K(V ) и Ls (n, P ); каждоеиз них имеет размерность n(n + 1)/2; друг другу соответствуют:— (при изоморфизме q) с.б.ф. f и кв.ф. h, связанные взаимнообратными соотношениямиh(x) = f (x, x); f (x, y) =1(h(x + y) − h(x) − h(y));2— (при изоморфизме m, зависящем от базиса B) с.б.ф. f и (n×n)матрица A, связанные взаимно обратными соотношениями[A]ij = aij = f (bi , bj ); f (x, y) = xt A y;— (косвенно, через посредство с.б.ф. f ) кв.ф.
h и матрица A;подчеркнем, что квадратичной форме h считается соответствующей(в заданном базисе) та же самая матрица, которая соответствует(в этом базисе) симметрической билинейной форме f , полярной h;такие характеристики с.б.ф. как ранг или (не-)вырожденность такжемогут быть отнесены к соответствующей кв.ф.Координатное представление в базисе B для с.б.ф. f путем простой подстановки y = x приводит к координатному представлениюдля кв.ф. h, причем возможны как векторная, так и развернутаязаписи:nXth(x) = x A x =aij xi xj ;(35.9)i,j=1последнюю можно перегруппировать [ср. с (34.14s)], выделив слагаемые, содержащие квадраты координат, и слагаемые, содержащиеудвоенные произведения координат:h(x) =nXi=1aii x2i + 2Xaij xi xj .(35.10)16i<j6nРазвернутые выражения демонстрируют то обстоятельство, чтоквадратичная форма (в смысле линейной алгебры) выражается вкоординатах как однородный многочлен степени 2 от n переменных§ 35Квадратичные формы. Формула поляризации451(т.
е. как квадратичная форма в смысле теории многочленов; см.[A1 , п. 48.4]).Замечание 35.3. Между прочим, в характеристике два удвоенныхпроизведений "не бывает" (2 = 0) и поэтому в (35.10) присутствуютлишь члены с квадратами.35.3. Диагонализирующие базисы для симметрическихбилинейных (квадратичных) форм.
Пусть V — n-мерное пространство над полем P.Определение 35.2. Базис B = [b1 , ... , bn ] в пространстве V называется диагонализирующим для (соответствующих друг другу)с.б.ф. f ∈ L2s (V ) и кв.ф. h ∈ K(V ), если в этом базисе им соответствует диагональная матрица, т. е. еслиaij = f (bi , bj ) = 0(35.11)при i 6= j.Сразу заметим, что поскольку матрица с.б.ф. (кв.ф.) в любом баисе имеет один и тот же ранг, а ранг диагональной матрицы равенчислу ненулевых элементов на диагонали, то диагонализирующийбазис (если он существует) всегда можно (за счет перстановки базисных векторов) выбрать так, чтобы диагональная матрица, отвечающая названным формам в этом базисе, имела следующий вид:D=µ1µ2..,.µr0...(35.12)0где µi ∈ P [ µi 6= 0; i = 1, ...
r; r = rank(f ) = rank(h) ].В диагонализирующем базисе развернутая запись вида (34.14s)для с.б.ф. f содержит только диагональные члены:f (x, y) =rXi=1µi xi yi ;(35.13a)452Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4соответственно, развернутая запись вида (35.10) для кв.ф. h содержит лишь слагаемые с квадратами координат:h(x) =rXµi x2i .(35.13b)i=1Задача диагонализации для с.б.ф. (кв.ф.) формулируется как исследование вопроса о существовании диагонализирующего базиса, споследующим его отысканием (если он существует). В плане постановки эта задача вполне аналогична рассмотренной в § 21 задаче одиагонализации линейных эндоморфизмов. Напомним, что для л.э.диагонализирующий базис существует далеко не всегда (критерийсм.
в п. 21.3).Напротив, в следующем параграфе будет показано, что для с.б.ф.(кв.ф.) задача диагонализации разрешима всегда (если ограничитьсяформами над полями характеристики, отличной от двух).Здесь же мы переведем исследуемую задачу на матричный язык.Пусть с.б.ф. f (кв.ф. h) имеют в базисе B некоторую (по обязанности — симметрическую) матрицу A. Требуется найти новый базис B 0 , в котором нашим формам соответствовала бы диагональнаяматрица (35.11). Переход от старого базиса к новому описывается матрицей перехода T (см. п. 7.1); именно эта матрица являетсяискомой: вычислив ее, мы фактически определяем B 0 .Далее, должна быть предъявлена диагональная матрица D (отвечающая f и h в базисе B0 ). Согласно правилу пересчета матрицыбилинейной формы при замене базиса [см.
формулы (34.20)], должноиметь место соотношение:D = T t A T.(35.14)Другими словами, для симметрической матрицы надо найти конгруэнтную ей диагональную матрицу.(Снова возвращаясь — для сравнения — к задаче о диагонализации л.э., напомним, что в ней фигурировало другое отношение эквивалентности: не конгруэнтность, а подобие; подробнее см. об этомвыше, в п. 34.3.)Замечание 35.4. Отношение конгруэнтности квадратных матриц,как и отношение эквивалентности (прямоугольных) матриц (см. п.13.3), связано с элементарными преобразованиями над строками истолбцами.§ 36Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу453Обратимую матрицу T , на которую данная матрица A умножается справа, можно, в соответствии с предложением 14.5 пособия [A1 ],представить в виде произведения T = Q1 Q2 ...
Qs элементарных матриц (трех типов: Ti,j , Sj,i,λ и Mi,λ ; см. п. 14.3 первого пособия).Умножение A справа на элементарные матрицы равносильно выполнению элементарных преобразований над столбцами A. Однако одновременно с этим матрица A умножается слева на матрицуT t = Qts ... Qt2 Qt1 . Следовательно, каждое из применямых элементарных преобразований над столбцами сопровождается однотипнымэлементарным преобразованием над строками.Как объяснялось в упомянутом выше пункте первого пособия,элементарные матрицы типов I и III симметричны, так что (в данном случае) если над столбцами производится преобразование типовI или III, то и над строками производится точно такое же преобразование.С преобразованиями типа II ситуация несколько иная, однако результат получается тот же.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
