Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 81
Текст из файла (страница 81)
s3n ;(37.15)... ... ... ... ...000...1чтобы в этом убедиться, достаточно представить себе последовательность действий (T |E) → (E|S) при отыскании обратной матрицыметодом Жордана — Гаусса.Из формул прямого (от B к D) и обратного (от D к B) переходов,которые можно представить следующим образом:d1 = b1 ; d2 = t12 b1 + b2 ;d3 = t13 b1 + t23 b2 + b3 ;(37.16) ...................................................................dn = t1n b1 + t2n b2 + t3n b3 + ... + t(n−1)n bn−1 + bn ;b1 =d1 ;d2 ; b2 = s12 d1 +b3 = s13 d1 + s23 d2 +d3 ; ...................................................................bn = s1n d1 + s2n d2 + s3n d3 + ...
+ s(n−1)n dn−1 +(37.17)dn ,§ 37Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта473немедленно следует (для любого k = 1, ..., n) совпадение линейныхоболочек для первых k векторов старого и нового базисов:hb1 , b2 , ... , bk i = hd1 , d2 , ... , dk i .(37.18)Пример 37.1. Попытаемся применить метод Якоби к задаче одиагонализации кв.ф.h(x) = x21 − 14x22 − 18x23 + 5x24 ++ 2(−6x1 x2 − 6x1 x3 − 5x1 x4 − 14x2 x3 − 2x2 x4 − 2x3 x4 ) = xt Ax,где1 −6A=−6−5−6 −6 −5−14 −14 −2 .−14 −18 −2−2 −25Вычислив угловые миноры∆1 = 1; ∆2 = −50; ∆3 = 200; ∆4 = 96,убеждаемся в том, что метод Якоби применим и приводит к диагональному видуh(x) = y12 − 50y22 − 4y32 +12 2y .25 4Матрицу T ищем в унитреугольном виде (37.7):10T =00t12100t13t2310t14t24 .t341Вычислим наддиагональные элементы матричного произведенияAT (элементы, расположенные на диагонали и ниже игнорируются):∗∗AT = ∗∗t12 − 6t13− 6t14 − 6t24 − 6t34 − 5∗−6t13 − 14t23 − 14 −6t14 − 14t24 − 14t34 − 2 .∗∗−6t14 − 14t24 − 18t34 − 2∗∗∗474Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Приравнивая найденные элементы к нулю и решая полученнуюс.л.у., находим:t12 = 6; t13 = 0; t14 =2916; t23 = −1; t24 = − ; t34 = 0.2525Заполняем матрицу T и выписываем выражения для старых переменных через новые:x1x2x 3x4= y1===+6 y2y2− y3y3+ 2925 y4 ;16− 25 y4 ;;y4 .Как и после разбора примера 36.1, мы сообщим о том, что диагонализация квадратичных форм по Якоби также будет входить вТР3 (см. § 39).37.2. Алгоритм Грама — Шмидта диагонализации с.б.ф.Если матрица A, отвечающая с.б.ф.
f ∈ L2s (V ) в некотором базисе B, удовлетворяет условиям Якоби (37.3), то, согласно теореме 37.1, для формы f существует диагонализирующий базис D, связанный с B взаимно обратными унитреугольными матрицами (37.7)и (37.15), причем можно выписать в явном виде диагональные элементы [см. (37.4)] диагональной матрицы D, отвечающей даннойс.б.ф. в базисе D:f (di , di ) = µi =∆i; i = 1, ..., n.∆i−1(37.19)Важно, что первые n − 1 из элементов (37.19) гарантированноотличны от нуля.Алгоритм 37.1 дает возможность прямого вычисления матрицыперехода T . Однако в вычислительном отношении значительно более выгодна рекуррентная процедура построения диагонализирующего базиса, известная как метод Грама — Шмидта, к изложениюкоторой мы приступаем.Вернемся к формулам обратного перехода (37.17) и придадим имрекуррентный характер, выражая (для любого k = 2, ..., n) из k-йформулы новый вектор dk через старый вектор bk и ранее найденные§ 37Диагонализация по Якоби.
Метод Грама — Шмидта475новые веторы d1 , ... , dk−1 :d1 = b1 ; d2 = b2 − s12 d1 ;d3 = b3 − s13 d1 − s23 d2 ; ...........................................................dn = bn − s1n d1 − s2n d2 − ... − s(n−1)n dn−1 .(37.20)Тот факт, что новый базис D является диагонализирующим, может быть выражен [см. (35.11)] Cn2 соотношениями:f (di , dj ) = 0; 1 6 i < j 6 n,(37.21)с помощью которых можно выразить неизвестные пока Cn2 коэффициенты sij в формулах (37.20).Делается это так. Рассмотрим j-е соотношение (j = 2, ...
, n) изсистемы (37.20):j−1Xdj = bj −skj dk ,(37.22)k=1и распишем для произвольного i < j значение с.б.ф. f (bi , bj ), пользуясь билинейностью и симметричностью f , а также условиями (37.21):0 = f (di , dj ) = f (di , bj ) −j−1Xskj f (di , dk ) = f (di , bj ) − sij f (di , di ),k=1или, что равносильно:sij f (di , di ) = f (di , bj ).(37.23)В формуле (37.23) скаляр f (di , di ) = µi 6= 0 (т.
к. i < j 6 n).Следовательно, можно выразить неизвестный коэффициент:sij =f (di , bj ); 1 6 i < j 6 n.f (di , di )(37.24)Тем самым полностью определена матрица S и, что важнее, векторы базиса D могут быть рекуррентно определены по следующимформулам (с уже известными коэффициентами):476Линейные, билинейные и квадратичные формыd1 = b1 ;(d1 ,b2 )d2 = b2 − ff (dd1 ;1 ,d1 )(d1 ,b3 )f (d2 ,b3 )d3 = b3 − ff (dd−1,d)f(d2 ,d2 ) d2 ;1 1..................................................................... d = b − f (d1 ,bn ) d − f (d2 ,bn ) d − ... − f (dn−1 ,bn ) dnnf (d1 ,d1 ) 1f (d2 ,d2 ) 2f (dn−1 ,dn−1 ) n−1 .Гл. 4(37.25)Подведем итог нашим вычислениям. Справедлива следующаяТеорема 37.2 (теорема Грама — Шмидта).
Пусть на n-мерномлинейном пространстве V задана с.б.ф. f , матрица которой в некотором базисе B удовлетворяет условиям Якоби. Тогда рекуррентныесоотношения (37.25) определяют в пространстве V диагонализирующий базис D, связанный с исходным базисом свойством (37.18) равенства линейных оболочек для соответствующих подбазисов.Доказательство см. выше.
¤Замечание 37.4. Метод Грама — Шмидта будет играть ключевуюроль в геометрических главах нашего курса. Там он будет фигурировать в соответствующей (геометрической) формулировке и — поддругим именем: процесс f -ортогонализации базиса.Напомним (см. замечания 34.8 и 35.5), что векторы x, y ∈ Vназываются f -ортогональными, если f (x, y) = 0. Базис называютf -ортогональным, если попарно f -ортогональны входящие в неговекторы; это понятие равносильно понятию диагонализирующего базиса (для f ).Ниже приводится версия Грама — Шмидта для алгоритма 37.1.А л г о р и т м 37.
2.Приведение симметрической билинейной(квадратичной) формы к диагональному видуметодом Грама — ШмидтаПостановку задачи, а также подробное содержание первого этапа, — см. в описании алгоритма 37.1.§ 37Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта4771. Проверка выполнения условий Якоби и возвращение диагонального вида с.б.ф. (кв.ф.).2. Заполнение унитреугольной матрицы перехода S по формулам(37.24), выражающим элементы sij через значения с.б.ф.
f , или же —возращение диагонализирующего базиса, определяемого рекуррентными соотношениями (37.25).Пример 37.2. Перерешаем с помощью алгоритма 37.2 задачу изпримера 37.1. Задана своим координатным выражением в некоторомбазисе квадратичная формаh(x) = x21 − 14x22 − 18x23 + 5x24 ++ 2(−6x1 x2 − 6x1 x3 − 5x1 x4 − 14x2 x3 − 2x2 x4 − 2x3 x4 ).Как обычно, можно считать осуществленной арифметизацию задачи, относя приведенную выше формулу к естественному базисуB = E4 в пространстве V , отождествленном с арифметическим линейным пространством Q4 .Для реализации алгоритма 37.2 необходима формула для с.б.ф. f ,полярной квадратичной форме h [вспомните представление (34.14s)]:f (x, y) = x1 y1 − 14x2 y2 − 18x3 y3 + 5x4 y4 −− 6(x1 y2 + x2 y1 ) − 6(x1 y3 + x3 y1 ) − 5(x1 y4 + x4 y1 )−− 14(x2 y3 + x3 y2 ) − 2(x2 y4 + x4 y2 ) − 2(x3 y4 + x4 y3 ).Начинаем процесс ортогонализации.
Векторы искомого диагонализирующего (f -ортогонального) базисаD = [d1 , d2 , d3 , d4 ]определяются последовательно: 10d 1 = e1 = ;00 0d2 = e2 −f (d1 , e2 )1d1 = −0f (d1 , d1 )01(−6)1 60 1 = ;0000478Линейные, билинейные и квадратичные формыd3 = e3 −f (d1 , e3 )f (d2 , e3 )d1 −d2 =f (d1 , d1 )f (d2 , d2 ) 0 10= −1(−6)10 −006(−50)(−50)Гл. 40 1 −1 = ;00100f (d1 , e4 )f (d2 , e4 )f (d3 , e4 )d1 −d2 −d3 =f (d1 , d1 )f (d2 , d2 )f (d3 , d3 ) d4 = e4 −010= −01(−5)10 −06(−32)(−50)1 −00000(−4)29/25 −1 −16/25 . =1001Вновь найденные базисные векторы составляют матрицу перехода6¡ ¯ ¯ ¯ ¢ 0 1T = d1 ¯d2 ¯d3 ¯d4 = 0 00 01029/25−1 −16/25 .1001Результат сошелся с полученным в примере 37.1.§ 38.
Симметрические билинейные(квадратичные) формынад полем действительных чисел.Сигнатура. Теорема инерции38.1. Нормальный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над полем R . Поле действительных чисел не является алгебраически замкнутым. Более того, не из любого действительного числа можно извлечь квадратный корень. В связи с этим, над полем R теряют силу предложения 36.1 и 36.2, что приводит к некоторому усложнению теориисимметрических билинейных (квадратичных) форм, по сравнению,скажем, со случаем поля C.Однако в R есть то, чего нет в C, — естественный порядок, возможность сравнивать числа: для любых λ, µ ∈ R имеет место одно§ 38Квадратичные формы над полем R .
Сигнатура479и только одно из соотношений: λ < µ, λ = µ или λ > µ, причемотношение порядка согласовано с алгебраическими действиями, чтовыражается несколькими законами, типа [λ < µ] ⇒ [λ + ν < µ + ν](для любых λ, µ, ν ∈ R) и т. п.Благодаря этому, поле R относят к так называемым упорядоченным полям, для которых развивается особая, интересная и важнаятеория.Сравнение с числом нуль разбивает упорядоченное поле R на триподмножества: множество положительных чисел R+ , одноэлементное множество {0} и множество отрицательных чисел R− . Как всемвам хорошо и давно известно, это разбиение связано с разрешимостью задачи об извлечении в R квадратного корня: действительныйквадратный корень можно извлечь только из неотрицательных чисел.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
