Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 82
Текст из файла (страница 82)
Этот факт допускает иное выражение: каким бы ни было ненулевое действительное число λ, квадратный корень можно извлечьлибо из него, либо из противоположного числа −λ.Для теории квадратичных форм особенно существенным является следующее свойство поля R: −1 не может быть представленав виде суммы квадратов. Последнее свойство берется в качествеодного из определяющих для класса так называемых вещественнозамкнутых полей.
Многое из того, что в данном и последующихпараграфах будет установлено над R, остается справедливым надлюбым вещественно замкнутым полем. Подробнее об этом см., например, во всемирно знаменитом учебнике Б. Л. ван дер Вардена"Алгебра" (М.: Наука, 1976).Итак, пусть V — к.л.п. размерности n над полем R, f и h — заданные на V и соответствующие друг другу с.б.ф.
и кв.ф. Согласнотеореме Лагранжа, в пространстве V существует диагонализирующий базис B, в котором данным формам отвечает матрицаA = diag(µ1 , µ2 , ... , µr , 0, ... , 0),(38.1)где r = rank(f ); µi ∈ R, µi 6= 0 (i = 1, ... , r).В этом базисе координатная запись кв.ф. h будет иметь следующий вид:(38.2)h(x) = µ1 x21 + µ2 x22 + ... + µr x2r .Предположим, что среди r ненулевых диагональных элементовв матрице A имеется s положительных и t отрицательных чисел(0 6 s, t 6 r; s + t = r).480Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Меняя, в случае необходимости, нумерацию базисных векторов,мы всегда можем добиться такого расположения диагональных элементов, чтобы в начале диагонали находились s положительных чисел: µ1 , ...
, µs , а за ними следовали t отрицательных: µs+1 , ... , µr(если r < n, то далее на диагонали будут еще располагаться n − rнулей).Далее применяется такой прием: если в одночлене второй степени ax2 коэффициент a является положительным действительнымчислом, то этот одночлен можно представить как квадрат линейногоодночлена:√ax2 = ( a x)2 ;если же a < 0, то надо записать a = (−1)(−a) и, оставив −1 перед скобкой, "подвести под общий квадрат" корень квадратный изположительного числа −a:√ax2 = −( −a x)2 .Применяя описанный прием ко всем слагаемым в (38.2), мы получим:√√h(x) = ( µ1 x1 )2 + ...
+ ( µs xs )2 −p√− ( −µs+1 xs+1 )2 − ... − ( −µr xr )2 .(38.3)Теперь ясно, какую замену переменных надо произвести, чтобы вновом диагональном виде, в качестве коэффициентов при квадратахфигурировали только единицы, минус единицы и нули:xi =1√ yi , при i = 1, ... , s;µi1√yi , при i = s + 1, ... , r;−µiyi , при i = r + 1, ... , n.(38.4)(Обратите внимание на третью строку в последней формуле: замена должна распространяться на все переменные, в том числе ина те, которые в явном виде в квадратичной форме отстутствуют.Фактически, "замена" xi = yi ничего не меняет, просто происходитпереименование "незадействованных" переменных, связанное с общим переходом "к новой букве".)§ 38Квадратичные формы над полем R .
Сигнатура481В результате замены (38.4) кв.ф. (38.3) приобретет вид:2h(x) = y12 + ... + ys2 − ys+1− ... − yr2 = y t Gy,гдеG =n×nEsOs×ss×tO−Ett×sO(n−r)×st×tO(n−r)×tOs×(n−r)Ot×(n−r)O(38.5).(38.6)(n−r)×(n−r)Основной результат данного пункта получен. Остается ввести новый термин для полученного выше вида (38.5) — самого простогоиз возможных диагональных видов для матриц, отвечающих симметрическим билинейным (квадратичным) формам над R, и сформулировать (уже установленный) результат.Определение 38.1. Нормализирующим базисом для симметрической билинейной (квадратичной) формы над полем R называетсятакой диагонализирующий базис, в котором этим формам отвечаетматрица вида (38.6).
Запись (38.5) называется нормальным видомдля кв.ф. h.Подчеркнем, что в нормальном виде диагональными коэффициентами могут быть только плюс или минус единицы и нули, причемрасполагаются они именно в таком порядке: сначала s единиц, потом t минус единиц, потом n−(s+t) нулей. (Разумеется, не исключаются случаи обращения в нуль каких-либо из указанных количеств.)Предложение 38.1. Для любой с.б.ф.
(кв.ф.) над полем R существует нормализирующий базис.Доказательство см. выше. ¤38.2. Индексы инерции для с.б.ф. (кв.ф.) над полем R .Теорема инерции. В определение нормального вида для симметрической билинейной формы f ∈ L2s (V ) (квадратичной формыh ∈ K(V )) входят две количественные характеристики: s и t, являющиеся неотрицательными целыми числами, сумма которых равняется рангу r = rank(f ) = rank(h).482Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Определение 38.2. Список [s, t] неотрицательных целых чисел,характеризующих нормальный вид (38.5), называется сигнатуройдля (соответствующих друг другу) с.б.ф. f и кв.ф. h.Сами эти числа называются (соответственно) положительным иотрицательным индексами инерции для f и h.Замечание 38.1. А теперь сознаемся: только что данное определение — по крайней мере пока — совершенно некорректно.
Дело в том,что мы отнесли характеристики s и t к заданным формам, хотя, попостроению, они зависят не только от f и h, но и от выбора нормализируещего базиса. Мы уже говорили о неоднозначности определениядиагонального вида, еще бо́льшая неоднозначность имеет место привыборе диагонализирующего базиса. Нормализирующий базис определяется по диагонализирующему и, следует ожидать, что он такжеопределяется неоднозначно.А вот нормальный вид, как будет показано ниже, определен совершенно однозначно, т.
е. числа s и t не зависят от выбора диагонализирующего базиса (иначе говоря: от способа приведения формы кнормальному виду).Кому-то из математиков показалось, что это свойство чем-то напоминает (физическое) явление инерции. Так родилось название"индексы инерции" и имя "теорема инерции". (Любителям истории — задание: выяснить, кто первым предложил такую "образную"терминологию?)Кого-то (из любителей филологии) может смутить словоупотребление "отрицательный индекс" применительно к неотрицательномучислу t.
Но таковы математики: иногда очень щепетильны в терминологии, а иногда — небрежны.Итак, для того чтобы обеспечить корректность определения 38.2,должна быть доказана следующаяТеорема 38.1. Нормальный вид для симметрической билинейной (квадратичной) формы над полем R определен однозначно, т. е.сигнатура формы не зависит от выбора диагонализирующего базиса(способа приведения формы к нормальному виду).Доказательство. Рассуждения будем вести для квадратичнойформы h ∈ K(V ). Как известно (см. п. 35.3), понятие ранга определено инвариантно: в любом базисе матрица кв.ф. имеет один итот же ранг. В частности, в любом диагонализирующем базисе ко-§ 38Квадратичные формы над полем R . Сигнатура483личество ненулевых элементов на диагонали матрицы одно и то жеи равняется рангу r = rank(h).Рассмотрим для кв.ф. h два любых нормализирующих базиса, Bи C.
Пусть вектору x ∈ V отвечают в указанных базисах координатные столбцы β(x) = x и γ(x) = y соответственно. (В их определенииучаствуют координатные изоморфизмы β, γ : V → P n ; см. п. 6.4.)Выпишем и приравняем два координатных выражения для значения h(x) формы h на произвольном векторе x ∈ V (т.е. два нормальных вида):x21 + ... + x2s − (x2s+1 + ... + x2r ) == y12 + ... + ys20 − (ys20 +1 + ...
+ yr2 ),(38.7)где s и s0 — положительные индексы инерции в базисах B и C соответственно (уже учтена инвариантность ранга, так что для отрицательных индексов получаются значения t = r − s и t0 = r − s0 ).Надо доказать, что s = s0 , тогда равенство t = t0 окажется справедливым автоматически и инвариантность сигнатуры будет доказана. Предположим противное: s 6= s0 , и пусть, для определенности, s > s0 .Равенство (38.7) справедливо для любого вектора x (который пробегает всё пространство V ); вектор-столбец x связан с x координатным изоморфизмом β, и, следовательно, пробегает — также всё —арифметическое линейное пространство P n ; то же самое можно сказать и про вектор-столбец y.Кроме того, мы помним, что при линейных изоморфизмах линейные подпространства переходят в линейные подпространства, причем — с сохранением размерности.Рассмотрим далее s-мерное координатное линейное подпространствоU1 = {x ∈ P n : xs+1 = ...
= xn = 0} 6 P n(38.8)в арифметическом линейном пространстве (заданное n − s линейными уравнениями простейшего возможного типа).Такую же размерность будет иметь прообраз W1 подпространства U1 при изоморфизме β:−1W1 = β (U1 ) = {x ∈ V : β(x) ∈ U1 } == {x ∈ V : xs+1 = ...
= xn = 0} 6 V.(38.9)484Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Выполним еще одно, совершенно аналогичное, построение:U2 = {y ∈ P n : y1 = ... = ys0 = 0} 6 P n ; dim(U2 ) = n − s0 ;(38.10)−1W2 = γ (U2 ) = {x ∈ V : γ(x) ∈ U2 } == {x ∈ V : y1 = ... = ys0 = 0} 6 V ; dim(W2 ) = n − s0 . (38.11)Вычисление значения h(x) на произвольном ненулевом вектореx ∈ W1 дает [в соответствии с левой частью (38.7)]:h(x) = x21 + ... + x2s > 0.(38.12)(Строгость последнего неравенства обусловливается тем, что, всилу предположения s > s0 , положительный индекс инерции s > 0.)Аналогично, на любом x ∈ W2 имеем:h(x) = −(ys20 +1 + ... + yr2 ) 6 0.(38.13)Неравенства (38.12) и (38.13) приведут к противоречию, если пересечение W1 ∩ W2 нетривиально, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
