Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 85
Текст из файла (страница 85)
е. для любого вектора ∆x значение H(x0 , ∆x) < 0, то при достаточно малых ∆x имеетместо неравенство f (x) < f (x0 ) и, следовательно, x0 является точкойлокального максимума;— если форма H знакопеременна, т. е. найдутся такие векторы ∆xи ∆x0 , что H(x0 , ∆x) > 0, а H(x0 , ∆x0 ) < 0, то в любой окрестноститочки x0 найдутся такие точки x, x0 , в которых значения функцииf (x) > f (x0 ) и f (x0 ) < f (x0 ), и, следовательно, x0 не является точкой экстремума.Для различения трех указанных случаев вполне достаточным оказывается критерий Сильвестра:— если все угловые миноры матрицы Гессе положительны, то x0 —точка максимума;— если их знаки чередуются, начиная с минуса, то x0 — точкаминимума;— если определитель матрицы Гессе (старший из угловых миноров, называемый еще гессианом) отличен от нуля, но распределениезнаков угловых миноров не таково, как в двух предыдущих случаях,или некоторые из них равны нулю, то в точке x0 нет экстремума.Во всех трех описанных выше случаях влияние α2 пренебрежимо.Это перестает быть справедливым в случае вырожденной критической точки.
Тогда требуются гораздо более тонкие и кропотливыеисследования.§ 39. Примеры решения задачна исследование симметрических билинейных(квадратичных) форм39.1. Типовой расчет по теме "Диагонализация симметрических билинейных (квадратичных) форм". Ниже будетописано индивидуальное задание (ТР3 — типовой расчет № 3) на498Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4применение алгоритмов 36.1, 37.1, 38.1 и будет приведено подробноерешение демонстрационного варианта.В качестве основного поля в данном типовом расчете будет фигурировать поле действительных чисел P = R, хотя первые два этапавычислений, использующие алгоритмы диагонализации Лагранжа иЯкоби, фактически реализуются над Q и лишь на третьем этапе,свзанном с нормализацией, используется специфика поля R.Общее условие типового расчетап о т е м е "Д и а г о н а л и з а ц и ясимметрических билинейных(к в а д р а т и ч н ы х) ф о р м"В n-мерном линейном пространстве V над полем R заданы (своими выражениями в некотором базисе B) соответствующие друг другусимметрическая билинейная и квадратичная формы:f (x, y) = xt Ay; h(x) = xt Ax,(39.1)где A — симметрическая (n × n)-матрица.Требуется:(1) определить с помощью алгоритма Лагранжа 36.1 диагонализирующий базис D для указанных форм и диагональный вид (дляквадратичной формы):th(x) = ξ Dξ;(39.2)искомый базис D должен быть задан матрицей перехода T от B к D,или же — с помощью формул пересчета координат:x = T ξ,(39.3)выражающих старый координатный столбец x ∈ Rn через новыйξ ∈ Rn ; вычисления следует завершить проверкой:D = T t AT ;(39.4)(2) если в условиях задачи применим метод Якоби, то — повторить работу, используя алгоритм 37.1:h(x) = χt D0 χ; x = T 0 χ;(39.5)cравнить полученные двумя методами диагональные матрицы Dи D0 , а также матрицы перехода T и T 0 ;§ 39Задачи на диагонализацию квадратичных форм499(3) продолжить вычисления пункта (1) до определения нормализирующего базиса N и нормального вида квадратичной формы (см.п.
38.1):h(x) = η t N η; ξ = T1 η,(39.6)где T1 — матрица перехода от диагонализирующего базиса к нормализирующему, а η — координатный столбец, отвечающий вектору x вбазисе N ; вычислить также матрицу "сквозного" перехода от исходного вида к нормальному, или же предъявить формулы пересчетакоординат:T2 = T T1 ; x = T2 η;(39.7)(4) определить ранг r, сигнатуру [s, t] и характер (в плане знакоопределенности) данных форм f и h (см. пп.
38.1 и 38.3).Исходные данныек д е м о н с т р а ц и о н н о м у в а р и а н т у:n = 6;4 −3A= 11−2−320−121 1 −20 −1 2 3 21 .2 201 02Решение демонстрационного вариантаПрежде всего укажем на то, что исходные данные могут бытьпредставлены иначе: в виде координатных формул (39.1). В силу своей компактности, чаще используется вторая из этих записей,имеющая в данном случае вид:h(x) = 4x21 + 2x22 + 3x23 + 2x24 + 2x25 −− 6x1 x2 + 2x1 x3 + 2x1 x4 − 4x1 x5 − 2x2 x4 + 4x2 x5 + 4x3 x4 + 2x3 x5 .Разумеется, надо уметь восстанавливать запись с.б.ф., полярнойзаданной кв.ф.:f (x, y) = 4x1 y1 + 2x2 y2 + 3x3 y3 + 2x4 y4 + 2x5 y5 −− 3(x1 y2 + x2 y1 ) + (x1 y3 + x3 y1 ) + (x1 y4 + x4 y1 ) − 2(x1 y5 + x5 y1 )−− (x2 y4 + x4 y2 ) + 2(x2 y5 + x5 y2 ) + 2(x3 y4 + x4 y3 ) + (x3 y5 + x5 y3 ).500Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
41. Приступаем к диагонализации кв.ф. h(x) методом Лагранжа.В примере 36.1 мы рекомендовали табличный стиль оформления спараллельным показом преобразований квадратичной формы и протоколированием замен переменных, что очень удобно и наглядно.Здесь, однако, мы не сможем последовать своей рекомендации, ввидунедостаточности книжного (и даже альбомного) формата для размещения необходимой в рассматриваемом примере таблицы.Первое применение первого приема Лагранжа: производим группировку членов, содержащих x1 , выносим за скобку коэффициентпри x21 , в скобке выделяем полный квадрат, приводим подобные члены и выполняем первую замену переменных:h(x) == 4(x21 − 32 x1 x2 + 12 x1 x3 + 12 x1 x4 − x1 x5 )++ 2x22 + 3x23 + 2x24 + 2x25 − 2x2 x4 + 4x2 x5 + 4x3 x4 + 2x3 x5 =¡9 21 21 2x2 − 16x3 − 16x4 − 14 x25 += 4 (x1 − 43 x2 + 14 x3 + 14 x4 − 12 x5 )2 − 16¢+ 83 x2 x3 + 38 x2 x4 − 34 x2 x5 − 18 x3 x4 + 14 x3 x5 + 14 x4 x5 ++ 2x22 + 3x23 + 2x24 + 2x25 − 2x2 x4 + 4x2 x5 + 4x3 x4 + 2x3 x5 == 4y12 − 14 y22 ++ 32 y2 y3 −211 27 24 y3 + 4 y4 + y5 +172 y2 y4 + y2 y5 + 2 y3 y4+ 3y3 y5 + y4 y5 ,гдеy1 = x1 − 34 x2 + 41 x3 + 41 x4 − 12 x5 ; yi = xi (i = 2, 3, 4, 5),или, в обратную сторону:x1 = y1 + 34 y2 − 14 y3 − 41 y4 + 12 y5 ; xi = yi (i = 2, 3, 4, 5).Продолжим преобразования, повторно применяя первый приемЛагранжа, на этот раз — к кв.ф.
от переменных yi (i = 2, 3, 4, 5):h(x) == 4y12 − 41 (y22 − 6y2 y3 + 2y2 y4 − 4y2 y5 )+211 27 274 y3 + 4 y4 + y5 + 2 y3 y4 + 3y3 y5 + y4 y5 =¡4y12 − 14 (y2 − 3y3 + y4 − 2y5 )2 − 9y32 − y42 − 4y52 + 6y3 y4 −¢227 27− 12y3 y5 + 4y4 y5 + 114 y3 + 4 y4 + y5 + 2 y3 y4 + 3y3 y5 + y4 y54z12 − 14 z22 + 5z32 + 2z42 + 2z52 + 2z3 z4 + 6z3 z5 ,+===§ 39Задачи на диагонализацию квадратичных форм501гдеz2 = y2 − 3y2 + y4 − 2y5 ; zi = yi (i = 1, 3, 4, 5),или, в обратную сторону:y2 = z2 + 3z3 − z4 + 2z5 ; yi = zi (i = 1, 3, 4, 5).На третьем шаге первый прием Лагранжа применяется к кв.ф.
отпеременных zi (i = 3, 4, 5):h(x) == 4z12 − 14 z22 + 5(z32 + 52 z3 z4 + 56 z3 z5 ) + 2z42 + 2z52 = 4z12 − 14 z22 +¡¢1 29 26+ 5 (z3 + 15 z4 + 35 z5 )2 − 25z4 − 25z5 − 25z4 z5 + 2z42 + 2z52 == 4w12 − 41 w22 + 5w32 + 95 w42 + 15 w52 − 65 w4 w5 ,гдеw3 = z3 + 15 z4 + 53 z5 ; wi = zi (i = 1, 2, 4, 5),или:z3 = w3 − 15 w4 − 53 w5 ; zi = wi (i = 1, 2, 4, 5).Четвертое применение того же приема приведет к окончательномурезультату:h(x) == 4w12 − 14 w22 + 5w32 + 95 (w42 − 23 w4 w5 + 19 w52 ) == 4w12 − 14 w22 + 5w32 + 95 (w4 − 13 w5 )2 = 4ξ12 − 14 ξ22 + 5ξ32 + 95 ξ42 ,гдеξ4 = w3 − 31 w5 ; ξi = wi (i = 1, 2, 3, 5),или:w4 = ξ4 + 13 ξ5 ; wi = ξi (i = 1, 2, 3, 5).Диагональный вид формы h получен:h(x) = 4ξ12 − 41 ξ22 + 5ξ32 + 95 ξ42 ;искомая диагональная матрица D такова:4−1/4D=59/5.0502Линейные, билинейные и квадратичные формыВыражая "самые старые" переменные xi (i"самые новые", фигурирующие в диагональномx1 = ξ1 − 34 ξ2 + 2ξ2 − 75 ξ4x2 =ξ2 + 3ξ3 − 85 ξ4x3 =ξ3 − 15 ξ4x4 =ξ4x5 =Гл.
4= 1, 2, 3, 4, 5) черезвиде, получим:+ 13 ξ5 ;− 13 ξ5 ;− 23 ξ5 ;+ 13 ξ5 ;ξ5 ,или, в матричной записи:x = T ξ,где1 3/4 2 −7/53 −8/50 1T = 0 0 1 −1/50 0010 0001/3−1/3 −2/3 1/31является искомой матрицей перехода к диагонализирующему базису D. Обратите внимание на то обстоятельство, что в данной задачемы обошлись исключительно первым приемом Лагранжа, в связи счем матрица T оказалась унитреугольной.Выполните также п р о в е р к у: T t · A · T = D.2. Переходим ко второму пункту расчета. Выясним, примени́мли в рассматриваемой задаче метод Якоби.
С этой целью вичислимугловые миноры матрицы данной A:∆1 = 4; ∆2 = −1; ∆3 = −5; ∆4 = −9; ∆5 = 0.В нуль обращается только самый старший из них; стало бытьусловия Якоби выполнены. Диагональные элементы искомой диагональной матрицы D0 определяются по формуламµ1 =∆1∆0= 4; µ2 =∆2∆1= − 14 ; µ3 =∆3∆2= 5; µ4 =∆4∆3= 95 ; µ5 =∆5∆4= 0,и, как выясняется, матрица D0 совпадает с найденной по методуЛагранжа матрицей D.§ 39Задачи на диагонализацию квадратичных форм503Ищем теперь унитреугольную матрицу перехода1 t120 10T = 0 00 00 0t13t23100t14t24t3410t15t25 t35 .t451Вычислим и приравняем к нулю все наддиагональные элементыв произведении матриц A · T 0 ; придем к следующей с.л.у.:4t124t13−3t13 4t14−3t14t144t15−3t15 t15t15=3;− 3t23+ 2t23==−1;0;− 3t24+ 2t24+t34+ 3t34− 3t25+ 2t25−t25+t35+ 3t35+ 2t35===−1;1;−2;+ t45− t45+ 2t45+ 2t45=2;= −2;= −1;=0.Решив эту систему (например, по формулам Крамера, поблочно),приходим к выводу, что матрица перехода T 0 , определяемая по методу Якоби, в точности совпадает с матрицей перхода T , полученнойранее по методу Лагранжа.(Разумеется, это не случайно: если по Лагранжу получается унитреугольная матрица перехода и при этом выполнены условия Якоби, то алгоритм Якоби выдает тот же диагональный вид и ту жематрицу перехода, что и алгоритм Лагранжа.)3.
Переделаем диагонализирующий базис в нормализирующий.Для этого достаточно:— "подвести под квадраты" положительные множители, стоящиеперед ними в диагональном виде;— сгруппировать слагаемые по принципу: положительные, затемотрицательные, затем нулевые;— ввести новые переменные так, чтобы коэффициенты при квадратах равнялись ±1 или нулю.504Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Вычисления дают:19h(x) = 4ξ12 − ξ22 + 5ξ32 + ξ42 =45√13= (2ξ1 )2 + ( 5 ξ3 )2 + ( √ ξ4 )2 − ( ξ2 )2 =252222= η1 + η2 + η3 − η4 ,гдеη1 = 2ξ1 ; η2 =√315 ξ3 ; η3 = √ ξ4 ; η4 = ξ2 ; η5 = ξ5 ,25или, в обратную сторону:√√155ξ1 = η1 ; ξ2 = 2η4 ; ξ3 =η2 ; ξ4 =η3 ; ξ5 = η5 .253(Еще раз обратим ваше внимание на необходимость "перерегистрации незадействованных переменных".)Матрица, отвечающая нормальному виду, такова:10N = 0000100000100000−10000.00Можем выписать матрицу перехода от диагонализирующего базиса D к нормализирующему N : 1/2 0T1 = 00000002√05/5 √ 0005/3 0000000,01а также — матрицу "сквозного" перехода от исходного базиса B к N :√√1/2 2√5/5 −7√5/15 3/2 1/3 0 3 5/5 −8 5/15 2−1/3 √√T2 = T · T1 = 5/5−√ 5/150−2/3 0. 005/301/3 00001§ 39Задачи на диагонализацию квадратичных форм5054.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
