Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 88
Текст из файла (страница 88)
4ного эндоморфизма χ = ϕC , действующего в комплексифицированном линейном пространстве V C = V ⊕ iV [см. п. 27.4; напомним, чтоэто пространство состоит из "комплексных векторов" z = x + iy, гдеx, y ∈ V , на которые комплексифицированный оператор действуетпо формуле χ(z) = ϕ(x) + iϕ(y)]. Исходное пространство V вкладывается в свою комплексификацию V C в качестве вещественного подпространства; произвольный базис B пространства V также можносчитать расположенным в комплексификации и рассматривать какее базис над C; в этом (вложенном) базисе оператору χ отвечает таже самая матрица A, которая соответствовала оператору ϕ в исходном базисе; действие χ на вещественные векторы совпадает с действием ϕ.Мы хотим доказать, что σC (A) = σR (A).
Предположим противноеи рассмотрим произвольный невещественный элементλ0 = α + iβ ∈ σC (χ) = σC (A),(40.21)а также произвольный собственный вектор z ∈ V C , отвечающий собственному значению λ0 . В вещественном базисе B вектор z изображается арифметическим вектором z ∈ Cn , удовлетворяющим условиямA z = λ0 z; z 6= 0.(40.22)Собственное подпространство для χ, отвечающее сопряженномуf0 , состоит из векторов ze = x − iy, сопрясобственному значению λженных собственным векторам, отвечающим λ0 . (Это объяснялосьв п.
27.4, причем даже в большей общности — применительно к корневым векторам.) Применяя операцию комплексного сопряжения(которая, как известно, согласована со всеми алгебраическими действиями) к матричному равенству (40.22) и пользуясь тем, что, в сиe = A, мы получим соотношениелу вещественности, Af0 eAez=λz.(40.23)Транспонируя (40.23) и пользуясь симметричностью A, получаем:f0 eez tA = λz t.(40.24)Комплексное сопряжение векторов-столбцов (-строк) осуществляется покомпонентно; в дальнейших рассуждениях нам понадобятся§ 40Одновременная диагонализация двух форм517следующие формулы: z1ze1z ze tz = 2 ; ez = 2 ; ez = ( ze1......znzfnze2...
zfn );t222ez · z = ze1 z1 + ze2 z2 + ... + zfn zn = |z1 | + |z2 | + ... + |zn | ,последняя сумма является (в силу того, что z 6= 0) положительнымдействительным числом.В следующей цепочке преобразований, помимо ассоциативного закона для матричного умножения, используются лишь соотношения(40.22) и (40.24):f0 (ef0 eλz t · z) = (λz t ) · z = (ez t · A)z = ez t (A · z) = ez t · (λ0 z) = λ0 (ez t · z).В итоге получается равенство:f0 − λ0 ) · (e(λz t · z) = 0.(40.25)Второй сомножитель в левой части (40.25) отличен от нуля (является положительным действительным числом); следовательно, перf0 = λ0 , что противоречитвый сомножитель является нулевым, т.
е. λпредположению о невещественности λ0 .Итак, для самосопряженного л.э., действующего в евклидовомпространстве, доказана непустота спектра (и даже более сильноесвойство, которое можно выразить следующим образом: сумма m0алгебраических кратностей всех собственных значений равна размерности n данного пространства). ¤Следующим нашим шагом будет доказательство того, что n0 (сумма геометрических кратностей) также равняется n.40.6. Ортогональная диагонализируемость самосопряженного л.э.
В данном пункте мы установим, что любой самосопряженный л.э. является диагонализируемым, причем будет получена важнейшая дополнительная информация о возможности специальноговыбора диагонализирующего базиса, с использованием евклидовойструктуры пространства.518Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Теорема 40.2. Для любого самосопряженного л.э., действующего в конечномерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный диагонализирующий базис.Доказательство.
В соответствии с теоремой 40.1, собственнаясумма W 0 = S(ϕ) для самосопряженного л.э. ϕ ∈ Ls (V ) является нетривиальным линейным подпространством в евклидовом пространстве V.Докажем равенство S(ϕ) = V , что является (см. теорему 21.1) одним из критериев диагонализируемости л.э. Предположив противное (т. е.
наличие строгого включения W 0 < V ), мы рассмотрим(нетривиальное, в силу сделанного предположения) ортогональноедополнение W 00 = (W 0 )⊥ < V.Инвариантность относительно ϕ собственной суммы W 0 влечет,согласно предложению 40.6, ϕ-инвариантность W 00 . Эндоморфизм ϕ,будучи суженным на W 00 , остается самомосопряженным. (В самомделе, на векторы из W 00 оператор ϕ00 действует так же, как оператор ϕ, и, значит, условие самосопряженности (40.13) для ϕ влечетусловие самосопряженности для ϕ00 .)Вновь применяя теорему 40.1, мы можем утверждать, что собственная сумма для л.э. ϕ00 опять-таки нетривиальна, т.
е. в W 00существует хотя бы один собственный вектор для ϕ00 ; он будет собственным и для ϕ, поскольку, как уже отмечалось, эти два оператора одинаково действуют на W 00 . Но все собственные для ϕ векторы содержатся в W 0 , что приводит к противоречию, посколькуW 0 ∩ W 00 = O.Итак, S(ϕ) = V и диагонализируемость ϕ доказана. Диагонализирующий базис может быть построен как объединениеB = [ B1 , B2 , ... , Bs ](40.26)произвольных базисов Bi в собственных подпространствахWi = Sλi (ϕ); i = 1, ... s.(40.27)Согласно предложению 40.7, подпространства (40.27) попарно ортогональны.
Если в каждом из них выбрать о.н.б. Bi0 (например,ортогонализовав Bi с помощью алгоритма Грама — Шмидта, а затем пронормировав полученные базисные векторы), то, очевидно, вовсем пространстве V сформируется ортонормированный диагонализирующий базисB0 = [ B10 , B20 , ... , Bs0 ]. ¤(40.260 )§ 40Одновременная диагонализация двух форм51940.7. Ортогональная диагонализация (приведение к главным осям) с.б.ф. в евклидовом пространстве. Начав в п.
40.1с задачи об одновременной диагонализации двух с.б.ф., мы перешлив п. 40.3 к рассмотрению самосопряженных л.э. и доказали в п. 40.6их диагонализируемость в ортонормированных базисах. Теперь мывозвращаемся к формам.Теорема 40.3. Для любой симметрической билинейной формыв конечномерном евклидовом пространстве, существует ортонормированный диагонализирующий базис.Доказательство. Пусть f (x, y) является симметрической билинейной формой на конечномерном евклидовом пространстве V.В соответствии с предложениями 40.2 и 40.40 , с помощью положительно определенной с.б.ф. g(x, y) = (x, y), задающей скалярноепроизведение на V , форме f однозначно сопоставляется самосопряженный л.э.
ϕ, такой, что f = fϕ = ξg (ϕ), т. е.f (x, y) = (x, ϕ(y))(40.29)для любых x, y ∈ V.По теореме 40.2, для ϕ существует диагонализирующий о.н.б. B.По предложению 40.5, в любом о.н.б. матрицы с.б.ф. f и соответствующего л.э. ϕ совпадают. Так что B будет диагонализирующимбазисом и для f . ¤Вспоминая о том, что ортонормированный базис в евклидовомпространстве является нормализирующим (и, в частности, диагонализирующим) для п.о. с.б.ф., задающей евклидову структуру, мыможем переформулировать теорему 40.3 так, чтобы геометрия в ней"не звучала".Теорема 40.30 .
Любые две симметрические билинейные формына действительном к.л.п., одна из которых положительно определена, имеют общий диагонализирующий базис. ¤По традиции продолжает использоваться несколько иная, пришедшая из классических геометрических трактатов, терминология:ортогональная диагонализация именуется приведением к главнымосям.
Задача о приведении к главным осям симметрической билинейной (квадратичной) формы на евклидовом пространстве можетбыть описана на матричном языке. Считается заданным исходный520Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4ортонормированный базис B, в котором с.б.ф. f (кв.ф. h) соответствует симметрическая квадратная матрица A. Требуется найти такой о.н.б. D, в котором указанным формам соответствовала бы диагональная матрица D (также подлежащая определению).Искомый о.н.б. D однозначно определяется матрицей перехода Uот B к D.
В силу предложения 40.1, эта матрица обязана быть ортогональной (U −1 = U t ).Таким образом, по симметрической матрице A подлежат определению диагональная матрица D и ортогональная матрица U , такие,чтоD = U t AU.(40.30)Ниже будет (схематически) описан алгоритм, решающий поставленную задачу. Как обычно, алгоритм работает в арифметизированной (оцифрованной) ситуации, причем оцифровка евклидова пространства предполагает и стандартизацию скалярного произведения. Последнее означает, что исходный базис должен выбиратьсяортонормированным; тогда, после отождествлениия V и Rn , скалярное произведение будет определяться стандартной формулой:(x, y) =nXxi yi .(40.31)i=1А л г о р и т м 40. 1.Приведение симметрической билинейной(квадратичной) формы в евклидовом пространствек главным осямДанная с.б.ф. (или кв.ф.) задается с помощью симметрической(n × n)-матрицы A:f (x, y) = xt A y; h(x) = xt A x.(40.32)Подлежат определению:— ортогональная (n × n)-матрица U , являющаяся матрицей перехода к искомому диагонализирующему о.н.б.,— диагональная (n × n)-матрица D,такие, что выполнено соотношение (40.30).§ 40Одновременная диагонализация двух форм5211.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
