Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 86
Текст из файла (страница 86)
Ранг, сигнатура и характер заданных форм могут быть названысразу после завершения первого этапа (диагонализации):— ранг с.б.ф. f (кв.ф. h) равен 4, и, следовательно, эти формывырождены;— сигнатура равна [3, 1], и, следовательно, формы являются знакопеременными.В о т в е т можно включить:— диагональный вид для кв.ф. h и соответствующую ему матрицу D;— нормальный вид для h и соответствующую матрицу N ;— матрицы перехода T , T1 и T2 , связывающие исходный базис сдиагонализирующим и нормализирующим, а также (в развернутойзаписи) формулы пересчета координатных столбцов:x = T ξ; ξ = T1 η; x = T2 η;— ранг, индексы инерции (сигнатуру) и заключение о характереформ.39.2.
Пакет Maple-процедур для решения ТР3. В пакетеLinearAlgebra не предусмотрено команд, специально ориентированных на работу с симметрическими билинейными (квадратичными)формами. Диагонализация по Лагранжу (Якоби) даже не упоминается. Разумеется, пользователями системы сочинены (и могут бытьнайдены в сети) недостающие процедуры. Автор настоящего пособия остается верен "сценарной" методике.Цель не в том, чтобы написать Maple-процедуру приведения с.б.ф.(кв.ф.) к диагональному виду, а в том, чтобы представить пользователям системы алгоритм (открытый для программного совершенствования).В прил.
1 (п. 3) вашему вниманию предлагается небольшой Mapleпакет Quadro, содержащий три процедуры:— процедуру Lagr, позволяющую привести любую квадратичнуюформу к диагональному виду, или, что равносильно, вычислить диагональную матрицу, конгруэнтную данной симметрической квадратной матрице;— процедуру Jacob, решающую аналогичную задачу в том специальном случае, когда матрица квадратичной формы удовлетворяетусловиям Якоби;— процедуру Signatura, нормализирующую диагональный видквадратичной формы (над полем R), вычисляющую сигнатуру этой506Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4формы и определяющую ее тип (в плане знакоопределенности/переменности).Все эти процедуры подробно прокомментированы, носят "сценарный характер", т. е. , помимо возращаемого окончательного результата, выдают на печать много промежуточных данных, позволяющих отслеживать ход работы алгоритма.
(Особенно это важно приизучении метода Лагранжа; процедура Lagr значительно превосходит по сложности две другие.)В п. 3a указанного приложения приводится пример примененияпакета, причем, в отличие от задач ТР3, здесь в методе Лагранжа оказывается необходимым не только первый, но и второй прием(а метод Якоби не срабатывает).Чтобы полнее продемонстрировать работу процедуры Jacob, мыизменяем один элемент в исходной матрице, после чего условия Якоби оказываются выполненными и процедура вычисляет искомую диагональную матрицу, а также составляет и решает систему линейныхуравнений для определения неизвестных элементов унитреугольнойматрицы перехода.§ 40.∗ Одновременная диагонализациядвух симметрических билинейных(квадратичных) форм40.1. К.л.п.
с фиксированной положительно определенной с.б.ф.; ортогональные и ортонормированные базисы. Вомногих математических задачах оказывается важным найти общийдиагонализирующий базис для двух с.б.ф., f и g, заданных на действительном к.л.п. V . Такая задача не всегда разрешима, однакоесли одна из форм является положительно определенной, одновременная диагонализация двух форм оказывается возможной.Данный материал по своей природе является пограничным междулинейной алгеброй и геометрией, и мы к нему обязательно вернемсяв геометрических главах курса.
В данном параграфе планируетсяпредварительное знакомство с темой, привлекающее лишь необходимый минимум геометрической терминологии.Прежде всего договоримся считать фиксированной одну из форм,а именно — положительно определенную с.б.ф. g ∈ L2s (V ). Как известно (см. предложение 38.2), п.о. форме соответствует в нормализирующем базисе B (который всегда существует) единичная матри-§ 40Одновременная диагонализация двух форм507ца и следующая координатная запись:g(x, y) = xt · y = x1 y1 + x2 y2 + ... + xn yn ; x, y ∈ V ; n = dim(V ).
(40.1)Мы уже встречались с такого вида с.б.ф. в нескольких примерах,начиная с 34.1 [см. формулу (34.7)]. Форма (40.1) обладает всемисвойствами скалярного произведения (и — в геометрии — так и называется).Пространство (над полем R) с фиксированной в нем п.о. с.б.ф.(скалярным произведением) принято называть евклидовым.
Обычноу фиксированной формы "отбрасывают имя", т. е. исключают иззаписи букву g, оставляя для скалярного произведения "скобочное"обозначение (x, y).Соответствующая квадратичная форма q(x) = g(x, x) (или — просто (x, x), если отбрасывается имя) имеет в нормализирующем базисекоординатную записьq(x) = xt · x = x21 + x22 + ...
+ x2n ; x ∈ V(40.2)и интерпретируется как квадрат длины (нормы) вектора x (мы ужеупоминали об этомp в примере 38.2). Длина вектора определяетсяформулой |x| = (x, x); она строго положительна для всякого ненулевого x.В евклидовом пространстве два вектора называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю.
Точнее было быговорить о g-ортогональности (см. замечаниие 34.8), явно указываяту с.б.ф., которая задает евклидову геометрию пространства. Нов ситуации, когда эта форма раз и навсегда зафиксирована, надобность в подобных уточнениях отпадает.Ортогональное дополнение W ⊥ (см. замечания 34.8 и 38.5) к линейному подпространству W в евклидовом пространстве V состоитиз векторов, ортогональных всем векторам из W. В силу невырожденности g, ортогональным ко всему пространству V является только нулевой вектор: V ⊥ = O.Для любого W 6 V имеет место ортогональное прямое разложение [см. (38.27)]: V = W ⊕ W ⊥ .(Независимость подпространств W и W ⊥ обосновывается так: если вектор x принадлежит пересечению W ∩ W ⊥ , то он сам себе ортогонален, g(x, x) = 0, что, в силу положительной определенностиформы g, влечет равенство x = 0.)508Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Базис B = [b1 , ... , bn ] в евклидовом пространстве называется ортогональным базисом (о.б.), если(bi , bj ) = 0; 1 6 i < j 6 n;(40.3)ср. с замечанием 35.5, согласно которому ортогональность (или, еслиуточнять имя формы, — g-ортогональность) базиса B равносильнатому факту, что B диагонализирует форму g.Нормализирующий базис является частным случаем диагонализирующего, его определение получается, если к соотношениям (40.3)добавить условия(bi , bi ) = 1; i = 1, ...
, n(40.4)нормированности базисных векторов, геометрический смысл которых состоит в следующем: все базисные векторы имеют единичнуюдлину (норму). Используется геометрический термин ортонормированный базис (о.н.б.), синонимичный (в рассматриваемой ситуации)алгебраическому термину "нормализирующий базис".Произвольный базис в евклидовом пространстве можно "перестроить" в ортогональный, следуя алгоритму Грама — Шмидта (см.п.
37.2). Затем полученный о.б. можно "пронормировать" (т. е. поделить каждый из базисных векторов на его длину, в результате чегодлина нового вектора станет единичной). В итоге мы придем к о.н.б.PnКоординаты произвольного вектора x =i=1 xi bi евклидововапространства V в ортогональном базисе B могут быть найдены позамечательно простым формулам, называемым формулами Фурье:xj =(x, bj ); j = 1, ... , n.(bj , bj )(40.5)В самом деле, умножая скалярно обе части координатного выражения для вектора x на базисный вектор bj и пользуясь (40.3),мы приходим к равенству (x, bj ) = xj (bj , bj ), в котором (bj , bj ) > 0(в силу положительной определенности скалярного произведения).В случае ортонормированности B формулы (40.5) еще упрощаются:xj = (x, bj ); j = 1, ...
, n.(40.50 )§ 40Одновременная диагонализация двух форм50940.2. Ортогональные матрицы. Любые два базиса в к.л.п.связаны (обратимой) матрицей перехода. Исследуем вопрос о том,как характеризуются матрицы перехода от одного о.н.б. в евклидовом пространстве к другому о.н.б.Пусть B и B0 — два о.н.б. в n-мерном евклидовом пространстве V,геометрия которого задается п.о. с.б.ф. g(x, y) = (x, y). В каждом изо.н.б. этой форме отвечает единичная матрица; так что, по правилу (34.20) пересчета матриц для билинейных форм, мы будем иметь:E = U t EU , где U — матрица перехода от B к B0 . Полученное условиеравносильно соотношениюU −1 = U t .(40.6)Матрицы, удовлетворяющие (40.6), называются ортогональными;их множество обозначается O(n, R); оно, как легко доказать (займитесь этим), представляет собой подгруппу в группе GL(n, R) всехобратимых матриц.Вывод, к которому привело наше исследование, таков:Предложение 40.1.
Ортогональные матрицы, и только они, являются матрицами перехода между ортонормированными базисамив евклидовом пространстве. ¤Если расписать условие ортогональности U t U = E как соотношение для столбцов матрицы U , то станет очевидной его равносильность следующему факту: столбцы ортогональной матрицы образуют о.н.б. в арифметическом линейном пространстве Rn , снабженномстандартным скалярным произведением.Существует только две ортогональных матрицы первого порядка,а именно: (±1).Элементарные вычисления показывают, что всякая ортогональная матрица второго порядка U ∈ O(2, R) имеет один из двух возможных видов:µ¶µ¶cos α − sin αcos αsin α(1) U =, (2) U =;sin α cos αsin α − cos αпервый вид отвечает оператору поворота евклидовой плоскости наугол α, а второй — зеркальному отражению (относительно первойоси) с последующим поворотом на α.(С сожалением приходится напоминать читателям, что подробноезнакомство с геометрическими приложениями у нас пока откладывается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
