Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 83
Текст из файла (страница 83)
существует вектор x 6= 0,принадлежащий обоим этим подпространствам.Убедимся, что это на самом деле так.Формула Грассмана (см. п. 8.2) дает:dim(W1 ∩ W2 ) = dim(W1 ) + dim(W2 ) − dim(W1 + W2 ) == s + (n − s0 ) − dim(W1 + W2 ) = (s − s0 ) + (n − dim(W1 + W2 )) > 0,поскольку s > s0 и dim(W1 + W2 ) 6 n.Значит, W1 ∩ W2 6= O; противоречие получено; теорема доказана. ¤Замечание 38.2.
Итак, корректность сопоставления сигнатуры(индексов инерции) симметрической билинейной (квадратичной)форме над полем R обоснована. Те же характеристики принятосопоставлять симметрическим матрицам над R, говоря, например,о сигнатуре симметрической матрицы. Согласно доказанному втеореме 38.1, сигнатура не изменяется при замене матрицы на конгруэнтную.Подобно тому, как после выяснения (в предложении 36.1) простейшего возможного (скелетного) диагонального вида для с.б.ф.
(кв.ф.)над алгебраически замкнутым полем P, мы немедленно получили(в предложении 36.2) критерий когруэнтности для симметрическихквадратных матриц с элементами из P , здесь, после доказательстватеоремы инерции, мы можем сформулировать аналогичный критерий над полем P = R.§ 38Квадратичные формы над полем R . Сигнатура485Предложение 38.1.
Две симметрические матрицы A и B с действительными элементами конгруэнтны тогда и только тогда, когдаих сигнатуры одинаковы. ¤38.3. Знакоопределенные и знакопеременные симметрические билинейные (квадратичные) формы над полем R .Вводимые ниже понятия, связанные со знакоопределенностью (знакопеременностью), по своей природе относятся к квадратичным формам над R.
Однако, ввиду наличия изоморфизма между пространствами квадратичных и симметрических билинейных форм, к последним их также принято относить. (Например, с.б.ф. считается знакоопределенной, если таковой является соответствующая ейкв.ф.; точные определения — ниже.)Определение 38.1. Кв.ф. h ∈ K(V ) [а также полярная ей с.б.ф.f ∈ L2s (V )] называется— положительно определенной (п.о.), если на любом ненулевомвекторе x ∈ V значение h(x) > 0;— отрицательно определенной (о.о.), если на любом ненулевомвекторе x ∈ V значение h(x) < 0;— положительно полуопределенной (п.п.о.), если на любом векторе x ∈ V значение h(x) > 0;— отрицательно полуопределенной (о.п.о.), если на любом векторе x ∈ V значение h(x) 6 0;— знакопеременной, если h может принимать значения различных знаков, т.
е. существуют векторы x, y ∈ V , такие, что h(x) > 0и h(y) < 0.Ясно, что положительно (отрицательно) определенные формы являются частным случаем положительно (отрицательно) полуопределенных. Единственной квадратичной формой, являющейся одновременно и положительно, и отрицательно полуопределенной, являетсянулевая форма.Положительная (полу)определенность формы h влечет отрицательную (полу)определенность формы −h, и наооборот. Форма, противоположная знакопеременной, сама является таковой.Характер квадратичной формы (в плане ее знакоопеределенности, полуопределенности или переменности) определяется ее сигнатурой.486Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Предложение 38.2.
Пусть h — квадратичная форма сигнатуры[s, t] на n-мерном действительном линейном пространстве V. Тогда(1) h является п.о. ⇐⇒ s = n ;(2) h является о.о. ⇐⇒ t = n ;(3) h является п.п.о. ⇐⇒ t = 0 ;(4) h является о.п.о. ⇐⇒ s = 0 ;(5) h является знакопеременной ⇐⇒ s > 0 ∧ t > 0 .Доказательство. 1.1. Если s = n (и, следовательно, t = 0 иr = s = n), то в нормализирующем базисе форма h выражаетсяформулойh(x) = x21 + x22 + ... + x2n ,(38.14)из которой немедленно следует, что h(x) > 0 для любого x ∈ V , аесли x 6= 0, то h(x) > 0. Значит форма h является п.о.1.2.
Обратно, пусть h положительно определена. Докажем, чтоs = n. Предположим противное. Тогда— либо t > 0,— либо t = 0, но r = s < n.1.2.1. В первом случае нормальный вид формы h содержит хотябы один член с минусом: −x2s+1 . Рассмотрев произвольный векторx ∈ V, все координаты которого (в нормализирующем базисе) равнынулю, кроме одной: xs+1 = 1, мы получим значение h(x) = −1, чтопротиворечит положительной определенности h.1.2.2. Во втором случае годится то же самое рассуждение: значение h(x) окажется не отрицательным, а нулевым, но и это противоречит положительной определенности.2.
Второе утверждение немедленно следует из первого, поскольку, как отмечалось выше, переменой знака случай положительнойопределенности сводится к случаю отрицательной определенности,и обратно.3.1. Если t = 0, то в нормализирующем базисе выражение дляформы h имеет слеедующий [более общий, чем (38.14)] вид:h(x) = x21 + x22 + ... + x2r ;(38.15)неотрицательность всех ее значений очевидна.3.2. Обратно, предположим, что h является п.п.о. Докажем, чтоt = 0. Предположив противное, мы тут же приходим к противоречию, рассуждая точно так же, как в 1.2.1.§ 38Квадратичные формы над полем R . Сигнатура4874. Это утверждение переменой знака сводится к предыдущему.5.1.
Если оба индекса инерции отличны от нуля, то в нормальном виде для формы h присутствуют как квадраты с плюсом, так иквадраты с минусом:h(x) = (x21 + ... + x2s ) − (x2s+1 + ... + x2r ).(38.16)Взяв вектор x, все координаты которого, кроме первой, равнынулю, а x1 = 1, мы получим полжительное значение: h(x) = 1. Еслиже выбрать вектор y, все координаты которого равны нулю, кромеys+1 = 1, то получится отрицательное значение h(y) = −1.5.2. Обратно, если форма h знакопеременна, то невозможны нислучай t = 0, ни случай s = 0.
Действительно, согласно третьему утверждению, обращение в нуль индекса t влечет положительную полуопределенность и, следовательно, исключает знакопеременность. (Возможность s = 0 отвергается аналогично.) ¤Замечание 38.3. Очень важное обстоятельство: положительная(отрицательная) определенность влечет невырожденность.
Полуопределенные (но не определенные) формы вырождены. Знакопеременные могут быть как невырожденными, так и вырожденными.Замечание 38.4. Для вычисления сигнатуры и определения характера квадратичной формы (над полем R) вовсе не обязательноприводить ее к нормальному виду; достаточно достичь диагонального (и подсчитать количество s положительных диагональных элементов и количество t отрицательных).Пример 38.1. Квадратичная форма из примера 36.1 имеет сигнатуру [2, 1], является знакопеременной и невырожденной.
Переходот полученного в примере 36.1 диагонального вида к нормальномувидуh(x) = u21 + u22 − u23осуществляется с помощью замены:z1 = u1 ; z2 =11u2 ; z3 = u3 .22Форма из примера 36.2 также знакопеременна и невырожденна;ее сигнатура равна [2, 2]. Диагональный вид, полученный в этомпримере, нормализируется заменой:√2√y1 = z1 ; y2 = 2 5 z3 ; y3 = 2z4 ; y4 =3 z2 .5488Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4(Обратите внимание на то, что здесь потребовалась перенумерация переменных.)Приведение квадратичной формы к нормальному виду, вычисление сигнатуры и определение характера формы (в плане знакоопределенности или переменности) предусмотрено в качестве завершающего этапа в типовом расчете ТР3 (см. § 39).Пример 38.2 (продолжение примеров 34.1 и 34.2).
Скалярноепроизведение [см. (34.7)]tf (x, y) = x y =nXxi yi ,(38.17a)i=1заданное на действительном арифметическом линейном пространстве V = Rn , является п.о. с.б.ф. Соответствующая кв.ф.th(x) = x x =nXx2i(38.17b)i=1интерпретируется как квадрат длины вектора.Аналогичным образом (но уже в бесконечномерном пространстве)можно трактовать скалярное произведение функций, определяемоекак интеграл (34.8) от произведения функций.В качестве замены термину "длина" здесь чаще употребляетсятермин "норма функции".
Квадрат нормы выражается как кв.ф.Z bh(x(t)) =x2 (t) dt,aположительная определенность которой должна обосновываться спомощью свойств интегралов.Пример 38.3 (продолжение примеров 34.3 и 35.1). Рассмотримна n2 -мерном действительном линейном пространстве V = L(n, R)с.б.ф.f (X, Y ) = tr(X t · Y ); X, Y ∈ V.(38.18a)Из формулыth(X) = tr(X · X) =nXx2ij(38.18b)i,j=1для соответствующей кв.ф. следует положительная определенностьформ f и h.§ 38Квадратичные формы над полем R . Сигнатура48938.4.
Критерий Сильвестра положительной (отрицательной) определенности с.б.ф. (кв.ф.). Пользуясь предложением38.1, можно выяснить характер симметрической билинейной (квадратичной) формы по ее нормальному (или хотя бы — диагональному) виду. Доказываемая ниже теорема (критерий Сильвестра)позволяет установить, является ли форма положительно (отрицательно) определенной по угловым минорам матрицы, соответствующей данной форме в некотором базисе. Естественно, этот методнапрямую связан с методом Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.),рассмотренным в п. 37.1.Теорема 38.1 (критерий Сильвестра). Пусть V — к.л.п.
размерности n над полем R, B = [b1 , ... , bn ] — какой-либо базис в V,f и h — соответствующие друг другу с.б.ф. и кв.ф., заданные на V ,A — симметрическая матрица, отвечающая этим формам в базисе B,∆i (i = 1, ... , n) — угловые миноры матрицы A. Тогда(1) формы f и h являются п.о. тогда и только тогда, когда всеугловые миноры положительны:∆i > 0; i = 1, ... , n;(38.19)(2) формы f и h являются о.о. тогда и только тогда, когда всегловые миноры отличны от нуля и их знаки чередуются, начиная сминуса:∆1 < 0; ∆2 > 0; ∆3 < 0; . . .(38.20)Доказательство. 1.1. Если выполнено условие (38.19), то диагонализация кв.ф.
h по Якоби приводит (в новом базисе) к виду[см. (37.14)]:h(x) =∆1 2 ∆2 2∆n 2y1 +y2 + ... +y ,∆0∆1∆n−1 n(38.21)со всеми положительными коэффициентами при квадратах. Значит,s = n и форма h положительно определена.1.2. Докажем обратное утверждение. Пусть кв.ф. h является п.о.,т. е. h(x) > 0 для любого ненулевого вектора x ∈ V.1.2.1.
Согласно предложению 38.1, положительный индекс инерции равен размерности: s = n, и, следовательно, в нормализирующем базисе B0 форма h будет записываться в виде (38.14). Другими словами, в базисе B0 ей будет соответствовать единичная матрица: A0 = E.490Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Согласно правилам пересчета (34.20), матрицы A и A0 связаныформулойA = S t A0 S,(38.22)где S = T −1 является матрицей обратного перехода, от B 0 к B.В данном случае получается: A = S t S. Пользуясь свойствамиопределителей, находим, чтоdet(A) = (det(S))2 > 0,(38.23)а это и есть требуемое неравенство для старшего углового минора ∆n .1.2.2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
