Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 87
Текст из файла (страница 87)
Может быть, некоторым из вас не терпится окунуться в мир510Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4геометрии уже сейчас? Тогда, помимо наших стандартных учебников (см. список литературы), вам можно порекомендовать заглянуть в захватывающие геометрические сочинения, такие, например,как книга В. В. Прасолова и В. М.
Тихомирова "Геометрия" (М.:МЦНМО, 1997), написанная для первокурсников уникального учебного заведения — Независимого Московского университета.)40.3. Линейный изоморфизм между пространствами л.э.и б.ф., определяемый с помощью невырожденной с.б.ф. Если g есть билинейная форма, заданная на линейном пространстве V ,а ϕ является линейным эндоморфизмом, действующим в V , то формулаfϕ (x, y) = g(x, ϕ(y)); x, y ∈ V(40.7)снова определяет билинейную форму на V (проверка билинейности fϕ — простейшее упражнение).Так возникает отображениеξg : L(V ) −→ L2 (V ); ϕ 7→ fϕ ; ϕ ∈ L(V );(40.8)доказательство его линейности — еще один повод проверить, насколько вы владеете основным понятием нашего курса.Предложение 40.2.
Если g является невырожденной с.б.ф., толинейный гомоморфизм (40.8) является линейным изоморфизмом.Доказательство. Докажем, что ядро Ker(ξg ) тривиально. Пустьϕ ∈ Ker(ξg ), т. е. fϕ = ξg (ϕ) = 0, что равносильно обращению в нульвсех значений fϕ (x, y), для любых векторов x, y ∈ V . В соответствиис (40.7), это равносильно утверждению:g(x, ϕ(y)) = 0 (∀ x, y ∈ V ),(40.9)или, по определению ортогонального дополнения:ϕ(y) ∈ V ⊥ (∀ y ∈ V ).(40.10)Однако, в силу невырожденности g, имеем: V ⊥ = O; так чтоϕ(y) = 0 (для любого y) и, следовательно, ϕ = o.Тривиальность ядра доказана. Значит, ξg — мономорфизм, а сучетом равенства размерностейdim(L(V )) = dim(L2 (V )) = n2 ,(40.11)— изоморфизм. ¤Выберем произвольный базис B = [b1 , ...
, bn ] в пространстве V .§ 40Одновременная диагонализация двух форм511Предложение 40.3. Пусть в базисе B билинейной форме g отвечает матрица G, а линейному эндоморфизму ϕ — матрица A. Тогдабилинейной форме fϕ = ξg (ϕ) будет отвечать матрицаFϕ = G · A.(40.12)Доказательство сводится к следующей выкладке:[Fϕ ]ij = fϕ (bi , bj ) = g(bi , ϕ(bj )) == g(bi ,nXk=1akj bk ) =nXk=1akj g(bi , bk ) =nXgik akj = [G · A]ij .
¤k=140.4. Самосопряженные л.э. и их матрицы. Выясним, какиелинейные эндоморфизмы отвечают при изоморфном соответствии ξgсимметрическим билинейным формам.Предложение 40.4. Если g является невырожденной с.б.ф. налинейном пространстве V, то билинейная форма fϕ является симметрической тогда и только тогда, когда л.э. ϕ удовлетворяет условию:g(ϕ(x), y) = g(x, ϕ(y)) (∀ x, y ∈ V ).(40.13)Доказательство практически очевидно: если расписать условиесимметричности б.ф. (40.7), то, с учетом предполагаемой симметричности формы g, оно приобретет вид (40.13). ¤Проанализируем смысл соотношения (40.13). Обращаясь еще разк замечанию 34.8, напомним, что задание на линейных пространствах V и W невырожденных симметрических билинейных форм,f и g соответственно, позволяет сопоставить всякому линейному оператору ϕ : V → W линейный оператор ϕ? : W → V, называемый(f, g)-сопряженным к ϕ и связанный с ϕ соотношением:g(ϕ(x), y) = f (x, ϕ? (y)) (∀ x ∈ V, y ∈ W ).(40.14)В данном случае: W = V, g = f и рассматривается линейныйэндоморфизм ϕ : V → V .
Формула (40.14) приобретает видg(ϕ(x), y) = g(x, ϕ? (y)) (∀ x, y ∈ V )(40.15)512Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4и однозначно определяет g-сопряженный л.э.ϕ? : V −→ V.(40.16)Это определение можно пересказать несколько подробнее, соссылкой на известный изоморфизм Риса [см. (34.39)] g ] : V → V ∗ :при любом y ∈ V левая часть (40.15) является линейной формойна V , для которой, ввиду наличия указанного изоморфизма, существует однозначно определенный вектор, обозначаемый ϕ? (y), такой,что (для любого x ∈ V ) справедливо равенство (40.15).Используя понятие g-сопряженного л.э., можно истолковать условие (40.13) как равенствоϕ? = ϕ.(40.17)Линейные эндоморфизмы, удовлетворяющие (40.17), можно назвать g-самосопряженными.
Пересказ в этих терминах предложения 40.4 выглядит следующим образом.Предложение 40.40 . Если с.б.ф. g невырожденна, то симметричность билинейной формы fϕ равносильна g-самосопряженностил.э. ϕ. ¤Таким образом, линейный изморфизм (40.8) сужается до (так жеобозначаемого) линейного изоморфизма∼=ξg : Ls (V ) −→ L2s (V )(40.80 )линейного пространства g-самосопряженных линейных эндоморфизмов (мы обозначили его Ls (V )) на линейное пространство симметрических билинейных форм. В частности, оба этих пространстваимеют размерность, равную n(n + 1)/2.В данном и предыдущем пунктах мы несколько уклонились (в сторону большей общности) от обрисованной в пп. 40.1 и 40.2 "евклидовой" ситуции.
Сейчас мы снова возвращаемся к ней, т. е. предполагаем, что с.б.ф. g не только невырожденна, но и положительноопределена, причем — зафиксирована. Так что можно отказаться отее постоянного упоминания в тексте и в обозначениях. Префикс ’g-’будет далее опускаться; так, например, условие самосопряженности(40.13) будет представляться в виде:(ϕ(x), y) = (x, ϕ(y)) (∀ x, y ∈ V ).(40.130 )§ 40Одновременная диагонализация двух форм513Предложение 40.5. В произвольном о.н.б.
евклидова пространства V самосопряженный л.э. ϕ ∈ L(V ) имеет симметрическую матрицу, совпадающую с матрицей симметрической билинейной формы fϕ , сооответствующей ϕ.Доказательство можно провести с помощью предложений 40.3и 40.40 : в о.н.б. скалярное произведение (п.о. с.б.ф. g) имеет матрицу G = E. Следовательно, формула (40.12) приобретает вид: Fϕ = A,т. е. л.э. ϕ и соответсвующая б.ф.fϕ (x, y) = (x, ϕ(y))(40.18)имеют одинаковые матрицы. Но самосопряженный л.э. ϕ соответствует симметрической б.ф.
fϕ ; так что матрица Fϕ и, с ней вместе,матрица A — обязаны быть симметрическими.Есть, однако, более прямой путь доказательства симметричностиматрицы A, с использованием формул Фурье (40.50 ):(40.50 )(40.130 )aij = [ϕ(bj )]i === (ϕ(bj ), bi ) ===(40.50 )= (bj , ϕ(bi )) = (ϕ(bi ), bj ) === [ϕ(bi )]j = aji . ¤Замечание 40.1. Легко убедиться в том, что верно и обратное:если л.э. имеет симметрическую матрицу в некотором о.н.б., то онявляется самосопряженным (и, следовательно, уже в любом о.н.б.ему соответствует симметрическая матрица).
В других (не ортонормированных) базисах свойство симметричности матрицы самосопряженного оператора, вообще говоря, теряется.Любопытно проследить за изменением матриц (для с.б.ф. и длясоответствующего самосопряженного л.э.) при переходе от одногоо.н.б. к другому. Как мы помним из пункта 34.3, при замене базиса(с матрицей перехода T ) матрицы для линейных эндоморфизмов идля билинейных форм преобразуются по различным законам: длял.э.
матрица A заменяется на подобную матрицу T −1 AT , для б.ф. —на конгруэнтную матрицу T t AT.Однако эти преобразования будут давать один и тот же результат, если матрица перехода удовлетворяет условию T −1 = T t , которое есть не что иное, как условие ортогональности (40.6). В рассматриваемом случае оно выполняется (в силу предложения 40.1),поскольку мы осуществляем переход от одного о.н.б. к другому о.н.б.514Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
440.5. Спектральные свойства самососопряженных линейных эндоморфизмов. Прежде всего отметим важное свойство инвариантых подпространств.Предложение 40.6. Ортогональное дополнение к инвариантному подпространству для самосопряженного л.э. само является инвариантным подпространством.Доказательство легко выводится из формулы (40.130 ). Пусть линейное подпространство W 6 V инвариантно относительно самосопряженного л.э. ϕ ∈ L(V ), т. е. ϕ(y) ∈ W для любого y ∈ W.
Возьмемлюбой вектор x ∈ W ⊥ . Имеем: (x, y) = 0 для любого y ∈ W. Следовательно, (ϕ(x), y) = (x, ϕ(y)) = 0, т. е. ϕ(x) ∈ W ⊥ . ¤Рассмотрим теперь собственную сумму для ϕ, т. е. (см. п. 19.2) —прямую сумму всех собственных подпространств:0W = S(ϕ) =sMWi ,(40.19)i=1где Wi = Sλi (ϕ) — собственное подпространство, отвечающее собственному значению λi ; собственные значения составляют спектрσ(ϕ) = {λ1 , λ2 , ... , λs },(40.20)являющийся подмножеством в поле R. (В принципе, не исключается,что спектр является пустым; тогда подпространство W 0 считаетсятривиальным: W 0 = O.)Как известно, (40.19) является ϕ-инвариантным подпространством, содержащим все собственные векторы для ϕ.
В случае самосопряженности л.э. собственная сумма оказывается не только прямой,но и ортогональной; точнее, справедливо следующееПредложение 40.7. Любые два различных собственных подпространства для самосопряженного л.э. ортогональны между собой.Доказательство. Пусть векторы x и y принадлежат двум различным собственным подпространствам: x ∈ Sλi (ϕ), т. е. ϕ(x) = λi x, аy ∈ Sλj (ϕ), т. е. ϕ(y) = λj y, причем λi 6= λj . В следующей выкладке используются лишь свойства скалярного произведения и условиесамосопряженности (40.130 ):λi (x, y) = (λi x, , y) = (ϕ(x), y) = (x, ϕ(y)) = (x, λj y) = λj (x, y).§ 40Одновременная диагонализация двух форм515Приходим к равенству (λi − λj )(x, y) = 0, в котором первый множитель отличен от нуля и, следовательно, второй — равен нулю:(x, y) = 0.
Значит, векторы x и y ортогональны, что и требовалось. ¤Теперь мы подступаем к самому главному. Все утверждения оструктуре и свойствах собственной суммы могут оказаться совершенно бесполезными, если не гарантирована ее нетривиальность.Спектр л.э. ϕ, действующего в действительном линейном пространстве V , может оказаться пустым, что как раз и приводит к тривиальности подпространства S(ϕ).В случае самосопряженного л.э. непустоту спектра и нетривиальность собственной суммы гарантировать можно. Залогом этого служит следующаяТеорема 40.1. Cамосопряженный л.э. ϕ, действующий в n-мерном евклидовом пространстве V , имеет непустой спектр. Более того,его характеристический многочлен hϕ (λ) имеет (с учетом кратностей) ровно n действительных корней.Доказательство. Во многих случаях доказательство "действительных" (справедливых над R) фактов требует "выхода в комплексную область", с последующим возвратом в действительную.Пусть в n-мерном евклидовом пространстве V действует самосопряженный л.э.
ϕ. Выбрав в V какой-либо о.н.б. B, сопоставим этомуэндоморфизму симметрическую (согласно предложению 40.5) матрицу A. Спектр σ(ϕ), т. е. множество собственных значений для ϕ,совпадает (см. предложение 17.3) со спектром σ(A) = σR (A) матрицы A, состоящим из всех действительных корней характеристического многочлена hA (λ) ∈ R[λ].Согласно общей теории многочленов над R (см. [A1 , § 43]), этотмногочлен имеет (с учетом кратностей) ровно n корней в поле комплексных чисел C, причем недействительные корни встречаютсяпопарно: вместе с корнем λ0 = α + iβ (β 6= 0) имеется сопряженныйf0 = α − iβ, такой же кратности. (В очередной раз нам прикорень λходится прибегать к обозначению тильдой операции комплексногосопряжения, поскольку черта используется в обозначениях арифметических векторов.)Докажем, что в данном случае недействительных корней не будет.Множество σC (A) всех комплексных характеристических корней дляматрицы A непусто (ввиду алгебраической замкнутости поля C) иможет рассматриваться как спектр комплексифицированного линей-516Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
