Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 89
Текст из файла (страница 89)
С помощью алгоритма 21.1 убеждаемся в (обязательно имеющей место) диагонализируемости матрицы A, при этом уже получается в окончательном виде диагональная матрица D, а такжеобратимая матрицаT = (F1 |F2 |...|Fs ),(40.33)содержащая диагонализирующий базис для данной формы; каждаяиз зон матрицы T представляет базис в соответствующем собственном подпространстве (для л.э., отвечающего A).2. Каждый из блоков Fi , содержащих более одного столбца, должен быть подвергнут "переработке" с помощью алгоритма Грама —Шмидта 37.2; новые блоки Gi будут иметь попарно ортогональные [всмысле скалярного произведения (40.31)] столбцы (столбцы из разных блоков ортогональны автоматически).3.
Каждый столбец матрицыG = (G1 |G2 |...|Gs )(40.34)должен быть пронормирован, т. е. подвергнут покомпонентному делению на свою длину (норму). В результате будет получена искомаяортогональная матрица U.4. В ответе может быть представлен диагональный вид данныхформ:f (x, y) = ut D v; h(x) = ut D u,(40.35)а также выражения старых координат векторов через новые:x = U u; y = U v.(40.36)Пример 40.1. В связи с тем, что наше знакомство с евклидовойгеометрией является здесь лишь предварительным, мы рассмотримсамый простой пример, не содержащий вычислительных трудностей.Приведем к главным осям квадратичную формуh(x) = x21 − 2x22 + x23 + 4x1 x2 − 8x1 x3 − 4x2 x3 .Р е ш е н и е.
Форму можно считать заданной на V = R3 ; вестественном (ортонормированном) базисе ей соответствует симметрическая матрица12 −4A = 2 −2 −2 ,−4 −2 1522Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4имеющая характеристический многочленhA (λ) = λ3 − 27λ − 54и характеристические корни λ1 = −3 (кратности m1 = 2) и λ2 = 6(кратности m2 = 1).Первое собственное подпространство W1 двумерно; вычисленияприводят к фундаментальной матрице10¡ ¯ ¢F1 = f1 ¯f2 = −2 2 ,0 1содержащей некоторый базис в W1 .Второе собственное подпространство W2 одномерно; фундаментальная матрица2¡ ¢F 2 = f3 = 1 −2содержит единственный базисный вектор.Матрица1 0 2T = (F1 |F2 ) = −2 2 1 0 1 −2содержит диагонализирующий базис для формы h.
В этом базисеей отвечает диагональная матрица−3D= 000 0−3 0 .0 6Легко убедиться в том, что вектор f3 ортогонален двум предыдущим, которые между собой не ортогональны:(f1 , f3 ) = (f2 , f3 ) = 0; (f1 , f2 ) = −4.Поэтому первые два вектора должны быть ортогонализированыпо Граму — Шмидту (см. алгоритм 37.2); третий вектор остаетсяпока неизменным:§ 40Одновременная диагонализация двух форм5231g1 = f1 = −2 ;0 014/5(f2 , g1 )−4 g2 = f2 −g1 = 2 −−2 = 2/5 ;(g1 , g1 )51012g3 = f3 = 1 .−2Матрица1 4/5 2G = (g1 |g2 |g3 ) = −2 2/5 1 01 −2содержит ортогональный диагонализирующий базис для h (матрица D, здесь и на следующем этапе, не меняется).Вычислим длины (нормы) векторов-столбцов матрицы G:|g1 | =ppp√3(g1 , g1 ) = 5; |g2 | = (g2 , g2 ) = √ ; |g3 | = (g3 , g3 ) = 3.5Поделив каждй столбец матрицы G на его норму, мы получимортогональную матрицу1√5 2U = (u1 |u2 |u3 ) = − √504√3 52√3 55√3 52 3 1 ,3 2−3содержащую ортонормированный базис, диагонализирующий форму h.Для страховки можно проверить выполнение условия ортогональности: U t U = E.
Решающей будет проверка справедливости соотношения D = U t AU.В о т в е т включаем диагональный вид данной формы и формулы пересчета координат:524Линейные, билинейные и квадратичные формы x1x2x3Гл. 4h(x) = −3y12 − 3y22 + 6y32 ;√1 y1=51√= − 5 y1=++4√y3 5 22√y3 5 25√y3 5 22+3 y3 ;1+3 y3 ;+ − 23 y3 .40.8. Полулинейные, полуторалинейные и эрмитовы формы. За рамками нашего пособия остается ряд очень интересныхразделов линейной алгебры. Один из них нельзя не упомянуть,ввиду его исключительного богатства и первостепенной важности вприложениях. Речь идет о теории форм на комплексных линейныхпространствах.В приближающейся к завершению четвертой главе нашего курсабо́льшая часть материала относилась к теории линейных и билинейных форм над полем действительных чисел.
И это естественно:линейная алгебра над полем R является наиболее элементарным иблизким к жизни разделом этой науки. Вторым по важности случаем является комплексная линейная алгебра, которая в чем-то дажепроще действительной, но, в некоторых отношениях — значительнобогаче.Существенной особенностью поля C является наличие автоморфизма сопряжения: a + bi = z 7→ z = a − bi. Эта операция фигурирует в определениях многих "специфически комплексных" понятийи конструкций. Так, наряду с линейными формами f : V → C, накомплексных пространствах рассматриваются полулинейные; отличаются они тем, что второе из условий линейности заменяется натребование f (λx) = λ x (иначе говоря, скалярный множитель из-подзнака формы выносится с сопряжением).Далее, наряду с билинейными, рассматриваются полуторалинейные формы f (x, y), являющиеся полулинейными по первому аргументу и линейными по второму.
Аналогом свойства симметричностидля таких форм служит свойство эрмитовости: f (x, y) = f (y, x).Обычные квадратичные формы, связанные с обычными симметрическими билинейными, в комплексном случае представляют меньший интерес, чем в действительном. (Вспомните, что они приводятся к скелетному виду и единственным их инвариантом служит ранг.)А вот эрмитовы формы, получаемые из эрмитово симметричныхполуторалинейных по правилу h(x) = f (x, x), значительно более интересны и, к тому же, "действительнозначны". Для них вводит-§ 40Одновременная диагонализация двух форм525ся понятие сигнутуры, рассматриваются классы знакоопределенныхформ.Комплексные линейные пространства, наделенные эрмитовымискалярными произведениями, т.
е. положительно определенными эрмитово симметричными полуторалинейными формами, называютсяунитарными пространствами. (Они является аналогом евклидовыхпространств, которые, как вы помните, наделяются положительноопределенными симметрическими билинейными формами.)Во всяком конечномерном унитарном пространстве существуютортонормированные базисы, в которых эрмитово скалярное произведение двух векторов задается формулой:(z, w) = z1 w1 + z2 w2 + ... + zn wn ,а квадрат нормы вектора — формулой:|z|2 = |z1 |2 + |z2 |2 + ... + |zn |2 .На этом мы остановимся, переадресовав заинтересованных читателей к более подробным учебникам и богатой специальной литературе.
Особо упомянем лишь одну книгу, без преувеличения, составившую эпоху в формировании отечественной школы линейной алгебры и функционального анализа. Она относится к жанру "пособийв задачах". Подобных руководств написано по разным математическим дисциплинам уже довольно много, но та книга, о которой идетречь, была в числе первых: И. М. Глазман, Ю. И.
Любич. Конечномерный линейный анализ в задачах. М.: Наука, 1969.Обратите внимание на аналитическую ориентацию указанного пособия. Сущность линейной алгебры — в ее вездесущности. Она —не для алгебраистов, а — для всех.Список рекомендуемой литературыОсновной1. Кострикин А. И. Введение в алгебру.
Ч. 2. Линейная алгебра. М.: Физматлит,2000.2. Кострикин А. И., Манин Ю. И. Линейная алгебра и геометрия. М.: Наука,1986.3. Проскуряков А. И. Сборник задач по линейной алгебре. М.: Наука, 1984.4. Сборник задач по алгебре / Под ред. А. И. Кострикина. М.: Физматлит, 2000.Дополнительный5. Аладьев В. З., Богдявичус М. А. Maple 6: Решение математических, статистических и физико-технических задач.
М.: Лаборатория базовых знаний, 2001.6. Архангельский А. В. Конечномерные векторные пространства. М.: Изд-воМГУ, 1982.7. Беклемишев Д. В. Дополнительные главы линейной алгебры. М.: Наука, 1983.8. Винберг Э. Б. Курс алгебры. М.: Факториал Пресс, 2001.9. Воеводин В. В. Линейная алгебра. М.: Наука, 1980.10. Воеводин В.
В., Кузнецов Ю. А. Матрицы и вычисления. (Справочная математическая б-ка.) М.: Наука, 1984.11. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.12. Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре. М.: Наука, 1998.13. Говорухин В., Цибулин В. Компьютер в математическом исследовании: Maple,MATLAB, LaTeX: Учеб. курс. СПб.: Питер, 2001.14.
Ефимов Н. В., Розендорн Э. Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия.М.: Наука, 1970.15. Куликов Л. Я. Алгебра и теория чисел. М.: Высшая школа, 1979.16. Ланкастер П. Теория матриц. М.: Наука, 1978.17. Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.18. Маркус М., Минк Х. Обзор по теории матриц и матричных неравенств. М.:Наука, 1972.19.
Мишина А. П., Проскуряков И. В. Высшая алгебра: Линейная алгебра, многочлены, общая алгебра. (Справочная математическая б-ка.) М.: ГИФМЛ,1962.20. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. М.: Наука, 1996.21. Самсонов Б. Б., Плохов Е. М., Филоненков А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
