Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 79
Текст из файла (страница 79)
+ a2n x2 xn + eh(x3 , ... , xn ),где eh(x3 , ... , xn ) — кв.ф. от указанных n − 2 переменных.Произведем в (36.18) замену (преобразующую произведение первых двух переменных в разность квадратов):x1 = y1 − y2 ; x2 = y1 + y2 ; xk = yk (k = 3, ... , n).(36.19)§ 36Диагонализация квадратичных форм по Лагранжу461Матрицей перехода, соответствующей (36.19), будет1 −1 1 1Q6 = 0 0··· ···0 000......En−200;(36.20)она обратима, поскольку det(Q6 ) = 2 6= 0 в силу предположенияо характеристике поля. (Для доказательства это не нужно, но излюбопытства попробуйте представить матрицу Q6 как произведениеэлементарных матриц типов I — III.)В новых переменных кв.ф. (36.18) предстанет в виде:h(x) = 2a12 (y12 − y22 )+¡+2 a13 (y1 − y2 )y3 + ... + a1n (y1 − y2 )yn +¢+ a23 (y1 + y2 )y3 + ...
+ a2n (y1 + y2 )yn +(36.21)+eh(y3 , ... , yn ).В формуле (36.21) лишь в первой строке присутствует y12 , причем — с коэффициентом 2a12 6= 0, что позволяет перейти к этапу 2.1.2 и применить первый прием Лагранжа.3. Цикл этапа 2 повторяется не более n−1 раз. Останов наступает— либо если, после очередного прохождения цикла, "остаточная"кв.ф. окажется нулевой,— либо по достижении юго-восточного угла.Работа алгоритма завершена; квадратичная форма приведена кдиагональному виду; теорема доказана. ¤Замечание 36.1 (для служебного пользования).
Наше (алгоритмическое) доказательство теоремы Лагранжа является значительноболее подробным, по сравнению с изложением этого вопроса в стандартных учебниках (см., например, [1]). Однако и оно не является"настоящим" представлением алгоритма, соответствующим канонамкомпьютерных дисциплин. Некоторым приближением к "каноническому" описанию может служить комментированный текст Mapleпроцедуры Lagr (см.
прил. 1).462Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Пример 36.1. Приведем к диагональному виду следующую квадратичную форму (основным полем можно считать Q):h(x) = x21 + 4x22 + x23 − 4x1 x2 + 2x1 x3 .В данном примере n = 3 и матрицей для h служит1A = −21−2 140 .0 1.(Обратите внимание на "располовинивание" коэффициентов припроизведениях переменных. Скажем, коэффициент −4 при x1 x2 вформе h — это сумма двух равных друг другу элементов симметрической матрицы A: −4 = a12 +a21 = 2a12 , и поэтому: a12 = a21 = −2.)В методе Лагранжа приходится параллельно вестиПреобразованиеквадратичной формы:Протоколзамен переменных:первый прием Лагранжа:h(x)=(x21 −4x1 x2 +2x1 x3 )+4x22 +x23 =вводим новые переменныеи выражаем через них старые:=(x1 −2x2 +x3 )2 −y1 =x1 −2x2 +x3 ;x1 =y1 +2y2 −y3 ;−(4x22 +x23 −4x1 x2 )+4x22 +x23 ==(x1 −2x2 +x3 )2 +4x2 x3 =y2 =;x2 =x3 ;x3 =x2y3 =y2;y3 ;=y12 +4y2 y3 =...второй прием Лагранжа:вводим новые переменныеи выражаем через них самые старые:y1 =z1;x1 =z1 +z2 −3z3 ;y2 =z2 −z3 ;x2 =z2 − z3 ;...=z12 +4z22 −4z32 .y3 =z2 +z3 ;x3 =z2 + z3 ;результирующаядиагональная матрица:матрица перехода:1D=0000400−4;11T =0101−3−1 .1§ 36Диагонализация квадратичных форм по ЛагранжуП р о в е р к а:463T t · A · T = D.После отыскания диагонализирующего базиса D (который связан с исходным базисом B вычисленной выше матрицей перехода T )может понадобиться записать в координатах диагональный вид нетолько для кв.ф.
[см. (35.13b)]:h(x) = z t Dz = z12 + 4z22 − 4z32 ,где z — координатный столбец, отвечающий вектору x в базисе D,но и для (полярной h) с.б.ф. [см. (35.13a)]:f (x, y) = z t Dw = z1 w1 + 4z2 w2 − 4z3 w3 ,где w — координатный столбец, отвечающий в базисе D вектору y.Более серьезные примеры будут рассмотрены в § 39, при постановке задач и решении демонстрационного варианта типового расчета ТР3.Замечание 36.2. Диагональный вид для симметрической билинейной формы f (квадратичной формы h) определен отнюдь не однозначно.
Уже имея диагонализирующий базис D и диагональнуюматрицу D [см. (35.12)], отвечающую в этом базисе формам f и h),мы можем, например, применить замену с диагональной (и, следовательно, симметрической: T t = T ) матрицей переходаT =τ1τ2... ; τi ∈ P ; τi 6= 0 (i = 1, ... , n)(36.22)τnи получить новый диагонализирующий базис D0 , в котором рассматриваемым формам соответствует новая диагональная матрица:0tD = T DT = µ1 τ12µ2 τ22..,.µr τr20...0где, напомним, r = rank(f ) = rank(h).(36.23)464Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 436.2.
Скелетный вид для с.б.ф. (кв.ф.) над алгебраически замкнутым полем. Получив диагональный вид для симметрической билинейной (квадратичной) формы, мы не обязаны успокаиваться на достигнутом. Поскольку такой вид определен не однозначно (см. замечание 36.2), то естественно попытаться его, насколько возможно, упростить. Логично для этого использовать замены сдиагональными матрицами перехода (именно так мы и поступали вуказанном замечании).Если поле P , над которым заданы формы, является алгебраически замкнутым, то можно достичь "весьма радикального" упрощения диагонали, а именно — привести матрицу к скелетному виду.(Здесь есть, однако, существенные отличия от ситуации, изучавшейся в §§ 6, 14 пособия [A1 ] и в § 13 настоящего пособия.
Во-первых,рассматриваются лишь симметрические квадратные матрицы, а вовторых, применяется другой класс преобразований: матрицы заменяются не на эквивалентные, но на конгруэнтные. Конгруэнтностьже отличается от эквивалентности тем, что всякое элементарное преобразование над столбцами квадратной матрицы дублируется точнотаким же преобразованием над ее строками, и наоборот.
Иначе необеспечить сохранение свойства симметричности матрицы.)Предложение 36.1. Пусть P — алгебраически замкнутое поле,характеристика которого отлична от двух, V — n-мерное линейноепространство над полем P , f и h — соответствующие друг другус.б.ф. и кв.ф., заданные на пространстве V , r — их ранг.
Тогда впространстве V существует такой диагонализирующий базис, в котором формам f и h отвечает матрица скелетного вида, единственными ненулевыми элементами которой являются r единиц в началеглавной диагонали.Доказательство. Сразу оговоримся: требование алгебраическойзамкнутости поля P является в данном случае чрезмерным. На самом деле нам достоточного того, чтобы из любого элемента поляможно было извлечь квадратный корень, или, другими словами, в Pдолжны быть разрешимы все уравнения вида x2 = a (a ∈ P ).Приступаем к доказательству.
Существование хотя бы какогонибудь диагонализирующего базиса B гарантируется теоремой Лагранжа. Будем считать, что формам f и h в базисе B отвечает матрица (35.12). Подберем обратимую диагональную матрицу (36.22) так,§ 37Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта465чтобы матрица (36.23) стала скелетной. Для этого нужно взять: √1 , при i = 1, ... , r;µiτi =(36.24)1, при i = r + 1, ... , n,√где µi обозначает любое (из двух возможных) решение уравненияx2 = µi в поле P.В новом базисе данные формы будут иметь матрицу видаA0 = diag(1, ... , 1, 0, ... , 0),(36.25)где количество единиц на диагонали равно r. ¤Непосредственным следствием предложения 36.1 является следующий критерий конгруэнтности для симметрических матриц над алгебраически замкнутым полем.Предложение 36.2.
Две симметрические квадратные матрицыс элементами из алгебраически замкнутого поля P (char(P ) 6= 2)конгруэнтны тогда и только тогда, когда их ранги одинаковы. ¤§ 37. Диагонализация по Якобисимметрических билинейных(квадратичных) форм.Метод Грама — Шмидта37.1. Метод Якоби диагонализации с.б.ф. (кв.ф.). Второйосновной метод диагонализации симметрических билинейных (квадратичных) форм, к изучению которого мы приступаем, обладает рядом важных преимуществ:— диагональные элементы µi (i = 1, ...
, n) искомой матрицы Dвычисляются по данной (симметрической) матрице A с помощьюявных формул;— матрица перехода T (от данного базиса к диагонализирующему)имеет специальный (унитреугольный, т. е. треугольный с единичнойдиагональю) вид.Как чаще всего бывает, за преимущества приходится платить —потерей универсальности: метод Якоби применим не всегда.
Переходим к подробному изложению.466Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Рассмотрим симметрическую (n × n)-матрицу A ∈ Ls (n, P ) с элементами из поля P (как всегда в этой главе, характеристики, отличной от двух).Рассмотрим далее последовательность квадратных подматриц северо-западного угла:A(k) = (aij )ki,j=1 ; k = 1, ... , n;k×k(37.1)все они также являются симметрическими, первая из них является одноэлементной: A(1) = (a11 ), последняя совпадает с исходнойматрицей: A(n) = A.Определители подматриц (37.1)∆k = det(A(k) ); k = 1, ...
, n(37.2)принято называть угловыми минорами для матрицы A. Для единообразия записи последующих формул к скалярам (37.2) добавляетсяеще один: ∆0 = 1.Определение 37.1. Говорят, что матрица A ∈ Ls (n, P ) удовлетворяет условию Якоби, если все угловые миноры (37.2), кроме, может быть, последнего, ∆n = det(A), отличны от нуля:∆k 6= 0; k = 1, 2, ... , n − 1.(37.3)Замечание 37.1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
