Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Из определения 37.1 следует, что (n×n)-матрица,удовлетворяющая условию Якоби, либо невырожденна, либо имеетранг n − 1. Ясно, что этого не достаточно. Скажем, матрица0 1 0A = 1 1 00 0 0симметрична, имеет ранг 2, но условию Якоби не удовлетворяет поочевидной причине: ∆1 = a11 = 0.Однако в этом примере (и в некоторых других простых случаях)удается заменить данную матрицу, не удовлетворяющую условиюЯкоби, на конгруэнтную матрицу, удовлетворяющую ему. Обычно это делается с помощью перестановочного перехода. Переставивв A первый и второй столбцы, и, одновременно, — первую и вторуюстроки, мы придем к матрице1 1 0A0 = 1 0 0 ,0 0 0для которой ∆1 = 1, ∆2 = −1, ∆3 = 0.§ 37Диагонализация по Якоби.
Метод Грама — Шмидта467Теорема 37.1 (теорема Якоби). Пусть V — n-мерное линейное пространство над полем P , характеристики, отличной от двух;f и h — соответствующие друг другу симметрическая билинейная иквадратичная формы на пространстве V ; B = [b1 , ...
, bn ] — некоторый базис в V.Если формам f и h отвечает в базисе B матрица A, удовлетворяющая условию Якоби, то в пространстве V существует базис D,связанный с исходным базисом B верхней унитреугольной матрицейперехода T и являющийся диагонализирующим для данных форм,причем диагональные элементы диагональной матрицы D, отвечающей в базисе D формам f и h, могут быть выражены через угловыеминоры (37.2) по формулам∆i; i = 1, ...
n.(37.4)∆i−1Доказательство. Рассмотрим симметрическую матрицу A с "выгороженными" угловыми минорами:µi =a11 a12 a13 . . . a1na21 a22 a23 . . . a2nA = a31 a32 a33 . . . a3n .(37.5)... ... ... ... ...an1 an2 an3 . . . ann(Здесь и далее в доказательстве нам показалось уместным представление матриц не в обычной записи, но — обрамленными таблицами. Когда в качестве элементов матриц служат достаточно длинныевыражения, табличная форма более наглядна.)Матрицу перехода T такую, чтобы матрицаD = T t AT(37.6)была диагональной, будем искать в предопределенном теоремой виде — как верхнюю унитреугольную:1t12 t13 .
. . t1n01T = 00t23 . . . t2n1. . . t3n ,... ... ... ... ...000...1(37.7)468Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4с Cn2 = n(n − 1)/2 неизвестными наддиагональными элементами tij(1 6 i < j 6 n). Для однозначного определения этих элементов достаточно получить "крамеровскую" систему с таким же количествомлинейных уравнений, т. е.
квадратную с.л.у., главный определителькоторой отличен от нуля (см. [A1 , п. 29.2]).Выполним матричное умножение AT , точно вычисляя лишь диагональные и наддиагональные элементы (поддиагональные клеткизаполним звездочками; их содержимое будет нам безразлично):Pn−1a11 a11 t12 + a12 a11 t13 + a12 t23 + a13 . . .∗j=1Pn−1j=1Pn−1j=1a21 t12 + a22 a21 t13 + a22 t23 + a23 . . .AT = ∗...∗a31 t13 + a32 t23 + a33 .
. ..........∗∗∗...Pn−1j=1a1j tjn + a1na2j tjn + a2na3j tjn + a3n ....anj tjn + annПотребуем, чтобы Cn2 наддиагональных элементов в последнейматрице обращались в нуль:[AT ]ij = 0; (1 6 i < j 6 n).(37.8)Если мы этого добьемся, то вычисление произведения T t (AT ) даст(поскольку при умножении нули как раз придутся на звездочки) следующий результат:100...0µ100...0t1210...0∗µ20...01...0 · ∗∗µ3 . .
.T t AT = t13 t23... ... ... ... ...t1n t2n t3n . . .... ... ... ... ...1∗∗µ100...00µ20...0= 00µ3 . . .0 ,... ... ... ... ...0000 =. . . µn∗. . . µn§ 37Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидтагдеµ1 = a11 ; µ2 = a21 t12 + a22 ;µ3 = a31 t13 + a32 t23 + a33 ;.............................................................................. µ = a t + a t + a t + ... + atnn1 1nn2 2nn3 3n(n−1)1 1(n−1)469(37.9)+ ann ,т. е. будет достигнут диагональный вид.Условия (37.8) представляют из себя систему из Cn2 линейныхуравнений с Cn2 неизвестными.
Автор полагает, что читатели будуттолько благодарны, если мы эту систему распишем "без многоточий", для случая конкретного небольшого размера (n = 4), и приэтом особо подчеркнем в обозначениях тот факт, что она распадается на n − 1 = 3 независимые между собой с.л.у.
(заодно, свободныечлены будут перенесены в правые части):{a11 t12 = −a12 ;(a11 t13 + a12 t23 = −a13 ; a21 t13 + a22 t23 = −a23 ;(37.10)at+at+at=−a;11141224133414a21 t14 + a22 t24 + a23 t34 = −a24 ; a t + a t + a t = −a .31 1432 2433 3434При желании (37.10) можно представить как крамеровскую с.л.у.с блочно-диагональной матрицей diag(A(1) , A(2) , A(3) ) и главным определителем, равным произведению ∆1 ∆2 ∆3 . Но все равно решениеищется для каждого из блоков по отдельности.Разрешив очередной блок системы (37.10), мы будем возвращаться к диагональным элементам (37.9), первый из которых уже известен (µ1 = ∆1 ), а каждый из остальных выражается через (расположенные над ним и к этому моменту уже определенные) элементы tij .Первое из уравнений (37.10) дает:(2)t12−a12A== 21 ,a11∆1(37.11a)где, в качестве подгонки под будущую общую формулу, числитель−a12 представлен как алгебраическое дополнение к (симметричному)элементу a21 в блоке A(2) .470Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4Вычисляем второй диагональный элемент:µµ2 = a21 t12 + a22 = a21−a12a11¶+ a22 ==−a21 a12 + a11 a22∆2=.a11∆1(37.11b)Решая вторую подсистему в (37.10) по формулам Крамера, получим:¯¯¯¯¯ −a13 a12 ¯¯ a12 a13 ¯¯¯¯¯(3)¯ −a23 a22 ¯¯ a22 a23 ¯A31t13 ===,(37.12a)∆2∆2∆2и, аналогично:¯¯¯¯¯ a11 −a13 ¯¯ a11 a13 ¯¯¯¯− ¯¯(3)¯ a21 −a23 ¯a21 a23 ¯A32t23 ===,(37.12b)∆2∆2∆2где снова числители представлены как алгебраические дополнения(к элементам a31 и a32 ) в очередном блоке A(3) . Между прочим,и знаменатель в формулах (37.12a,b), т. е. второй угловой минор,выражается как алгебраическое дополнение:(3)∆2 = A33 ,(37.12c)что позволяет нам получить (с использованием теоеремы Лапласа овычислении определителей разложением по строке) следующее выражение для третьего диагонального элемента:(3)(3)AAµ3 = a31 t13 + a32 t23 + a33 = a31 31 + a32 32 + a33 =∆2∆2³´ ∆13(3)(3)(3)=a31 A31 + a32 A32 + a33 A33 =.∆2∆2(37.12d)Процесс пошел.
При решении третьей подсистемы мы получим;¯¯¯¯¯ −a14 a12 a13 ¯¯ a12 a13 a14 ¯¯¯¯¯¯ −a24 a22 a23 ¯¯ a22 a23 a24 ¯−¯¯¯¯(4)¯ −a34 a32 a33 ¯¯ a32 a33 a34 ¯A41t14 ===,(37.13a)∆3∆3∆3§ 37Диагонализация по Якоби. Метод Грама — Шмидта471и, аналогично:(4)(4)A∆4A(4)t24 42 ; t34 = 43 ; ∆3 = A44 ; µ4 =.∆3∆3∆3(37.13b)Наше рассмотрение случая n = 4 было даже избыточно подробным. В общем случае ("с многоточиями") все — точно так же, надотолько (пользуясь свойствами определителей) внимательно следитьза сменами знака (при вынесеннии −1 из столбца и при транспортировке этого столбца на "свое место").Доказательство завершено. ¤Переоформим проведенное выше доказательное рассуждение вописание алгоритма.А л г о р и т м 37.
1.Приведение симметрической билинейной(квадратичной) формы к диагональному видуметодом ЯкобиПусть с.б.ф. f ∈ Ls (V ) [кв.ф. h ∈ K(V )] задана в некотором базисе B n-мерного пространства V симметрической (n × n)-матрицей A.1. Вычисляем для A угловые миноры ∆i (i = 1, ... , n).
Если всеони, кроме, может быть, ∆n , отличны от нуля, то метод Якоби применим, причем диагональный вид заданных форм можно записатьсразу; для h он таков:h(x) =∆1 2 ∆2 2∆n 2y1 +y2 + ... +y ; x ∈ V,∆0∆1∆n−1 n(37.14)где ∆0 = 1, а новые переменные yi (i = 1, ... , n) являются координатами вектора x в новом (диагонализирующем) базисе D, которыйсвязан с B матрицей перехода T , подлежащей определению далее.2. Матрицу перехода ищем в виде (37.7) с неопределенными наддиагональными элементами tij (1 6 i < j 6 n). Для определенияэтих элементов вычисляем и приравниваем нулю наддиагональныеэлементы в матричном произведении AT. Остается решить полученную с.л.у.О т в е т должен содержать:— диагональный вид данной формы (или диагональную матрицу,составленную из ее коэффициентов);472Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
4— унитреугольную матрицу перехода T (или — выписанные в развернутом виде — формулы перехода x = T y, выражающие старыепеременные через новые).Замечание 37.2 (для служебного использования). Трудно объяснить почему, но в большинстве учебников по линейной алгебре излагается несколько иная версия метода Якоби, приводящая к "перевернутым" [по сравнению с (37.14)] диагональным элементам ∆i−1 /∆i ,что приводит к усилению условий, необходимых для применимости метода: приходится требовать, чтобы старший угловой минор∆n = det(A) также был отличен от нуля.Замечание 37.3.
Процесс диагонализации по Якоби обладает важной особенностью, проистекающей из унитреугольного характераматрицы перехода T [см. (37.7)] от исходного базиса B = [b1 , b2 , ... , bn ]к диагонализирующему базису D = [d1 , d2 , ... , dn ].Заметим, что обратная матрица S = T −1 также является унитреугольной:1 s12 s13 . . . s1n01S= 00s23 . . . s2n1. . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
