Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Теорема Фредгольма419Определение 33.3. Линейный оператор (33.4) называется двойственным (сопряженным) к линейному оператору (33.1).Действие оператора ϕ∗ на линейные формы можно описать подробнее, с указанием аргумента форм (вектора x ∈ V ):ϕ∗ (g) (x) = (g ◦ ϕ)(x) = g(ϕ(x)); g ∈ W ∗ ; x ∈ V.(33.5)Переход от линейного оператора к двойственному определяет отображение∗: L(V, W ) −→ L(W ∗ , V ∗ ); ϕ 7→ ϕ∗ ; ϕ ∈ L(V, W ).(33.6)Алгебраические свойства отображения (33.6) составляют содержание следующего предложения.Предложение 33.1.
Операция перехода к двойственному линейному оператору1) сохраняет тождественые операторы, т. е.ε∗V = εV ∗ ;(33.7)2) является линейным отображением линейных пространств линейных операторов, т. е.(λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 )∗ = λ1 ϕ∗1 + λ2 ϕ∗2(33.8)для любых ϕ1 , ϕ2 ∈ L(V, W ) и любых скаляров λ1 , λ2 ∈ P ;3) переводит композицию операторов в композицию двойственныхоператоров, взятых в противоположном порядке, т.
е.(ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗(33.9)для любых ϕ ∈ L(V, W ) и ψ ∈ L(W, U ).Доказательство. 1. Первое утверждение совершенно очевидно:ε∗V (g) = g ◦ εV = gдля любого g ∈ V ∗ .2. Доказательству второго утверждения мы предпошлем следующую диаграмму.420Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Диагр. 33.2Pg ◦ϕ1 %%g ◦ϕ2gϕ1V −−−−−−−−−−−→ Wϕ2Собственно доказательство состоит в проверке выполнения равенства (33.8) на произвольной форме g ∈ W ∗ :(λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 )∗ (g) == (λ1 ϕ1 + λ2 ϕ2 ) ◦ g = λ1 (ϕ1 ◦ g) + λ2 (ϕ2 ◦ g) = λ1 ϕ∗1 (g) + λ2 ϕ∗2 (g) == (λ1 ϕ∗1 + λ2 ϕ∗2 )(g),где снова сработали законы (i) — (xiii) для алгебраических действийнад линейными операторами.3. Доказательство третьего утверждения также начнем с диаграммной иллюстрации.Диагр.
33.3Pg ◦ψ ◦ϕ % ↑g ◦ψ -gV −−−→ W −−−→ UϕψПроверка (33.9) на произвольной форме g ∈ W ∗ :(ψ ◦ ϕ)∗ (g) == g ◦ (ψ ◦ ϕ) = (g ◦ ψ) ◦ ϕ = ψ ∗ (g) ◦ ϕ = ϕ∗ (ψ ∗ (g)) == (ϕ∗ ◦ ψ ∗ ) (g). ¤Замечание 33.1.∗ К неудовольствию автора в данном замечаниисошлись:— звездочка как знак необязательности (или повышенной сложности) материала и— звездочка как математический символ, обозначающий переходк двойственному объекту.Второй двойственный к оператору (33.1) определяется как двойственный к первому двойственному:ϕ∗∗ = (ϕ∗ )∗ : V ∗∗ −→ W ∗∗ .(33.10)§ 33Двойственный оператор. Теорема Фредгольма421Действие оператора (33.10) на произвольном элементе α ∈ V ∗∗представляется [вытекающей из общего определения (33.4)] формулойϕ∗∗ (α) = α ◦ ϕ∗ ,(33.11)которая, будучи равенством в пространстве W ∗∗ , может быть расписана подробнее, на любой линейной форме g ∈ W ∗ :ϕ∗∗ (α) (g) = (α ◦ ϕ∗ )(g) = α(ϕ∗ (g)) = α(g ◦ ϕ).(33.12)Если (конечномерные) линейные пространства V и W с помощьюканонических изоморфизмов κ [см.
(32.3)] отождествить с их вторыми двойственными пространствами V ∗∗ и W ∗∗ , то оператор ϕ∗∗отождествится ϕ.Точный смысл последнему высказыванию можно придать с помощью еще одной диаграммы.Диагр. 33.4∗∗ϕV ∗∗ −−−−−−−−−→ W ∗∗∼κ↑∼= ↑κ=ϕV −−−−−−−−−−→ WДокажем, что отображения, представленные на дигр.
33.4, связаны условием:ϕ∗∗ ◦ κ = κ ◦ ϕ.(33.13)Заметьте, что (и в диаграмме, и в формуле) одна и та же буква κобозначает два разных изоморфизма (для разных пространств).Формула (33.13) есть равенство операторов, оно подлежит проверке на произвольном векторе x ∈ V :(ϕ∗∗ ◦ κ)(x) = (κ ◦ ϕ)(x).(33.14)Обе части равенства (33.14) представляют из себя элементы второго двойственного пространства W ∗∗ , т. е. линейные формы на линейных формах. Следовательно, это равенство подлежит проверкена произвольном элементе (форме) g ∈ V ∗ :(ϕ∗∗ ◦ κ)(x) (g) = (κ ◦ ϕ)(x) (g).(33.15)Далее следует выкладка, доказывающая (33.15):(33.12)(ϕ∗∗ ◦ κ)(x) (g) = ϕ∗∗ (κ(x)) (g) === κ(x) (g ◦ ϕ) =(32.3)(32.3)=== (g ◦ ϕ)(x) = g(ϕ(x)) === κ(ϕ(x)) (g) = (κ ◦ ϕ)(x) (g).422Линейные, билинейные и квадратичные формыГл.
433.2. Матрица двойственного оператора. Пусть V и W являются конечномерными линейными пространствами (размерностейn и m соответственно, над полем P ); пусть в них зафиксированыбазисыB = [ b1 , b2 , ... , bn ](33.16)иC = [ c1 , c2 , ... , cm ].(33.17)В двойственных пространствах рассмотрим двойственные базисыиB ∗ = [ b∗1 , b∗2 , ...
, b∗n ](33.16∗ )C ∗ = [ c∗1 , c∗2 , ... , c∗m ].(33.17∗ )Рассмотрим далее линейный оператор ϕ : V → W и двойственныйоператор ϕ∗ : W ∗ → V ∗ .Предложение 33.2. Если оператору ϕ в базисах (33.16) и (33.17)отвечает матрица A , то оператору ϕ∗ отвечает в базисах (33.16 ∗)∗m×nи (33.17 ) транспонированная матрица At .n×mДоказательство. Введем временное обозначение S для матрицыдвойственного оператора.
Нам надо доказать равенство S = At .Очевидно, что матрица S должна иметь именно такие размеры, какие имеет транспонированная матрица; так что остается проверитьпоэлементное совпадение:sji = aij ; i = 1, ... , m; j = 1, ... , n.(33.18)Согласно правилу составления матрицы линейного отображения[см. (12.7)], имеем:mXϕ(bj ) =akj ck ,(33.19)k=1гдеakj = [ϕ(bj )]k ,и, аналогично,ϕ∗(c∗i )=nXj=1sji b∗j ,(33.20)(33.21)§ 33Двойственный оператор. Теорема Фредгольма423гдеsji = [ϕ∗ (c∗i )]j .(33.22)Формула (33.21) является равенством линейных форм (элементов V ∗ ); их координаты относительно базиса (33.16∗ ) могут бытьвычислены с помощью соотношений (31.6); далее используется описание (33.5) действия двойственного оператора, а также определениедвойственного базиса:(31.6)(33.5)mX∗ci (akj ck )k=1mX(33.19)sji = [ϕ∗ (c∗i )]j === ϕ∗ (c∗i ) (bj ) === c∗i (ϕ(bj )) =====(31.14)akj c∗i (ck ) ===k=1mXakj δik = aij .k=1Соотношение (33.18) доказано.
¤Замечание 33.2. Как известно (см. п. 12.4), действие y = ϕ(x);(x ∈ V ; y ∈ W ) линейного оператора может быть арифметизовано(выражено в координатах) с помощью матрицы этого оператора:y = Ax; x ∈ P n ; y ∈ P m .(33.23)Для действия f = ϕ∗ (g) (g ∈ W ∗ ; f ∈ V ∗ ) двойственного оператора также может быть произведена арифметизация:гдеa = At · b,(33.24)β1α1β α b = 2 ∈ P m; a = 2 ∈ P n......βmαn(33.25)— координатные столбцы, отвечающие формам f и g в соответствующих двойственных базисах.Однако для форм более естественной является запись координатв строку (см. п. 31.2), в связи с чем можно транспонировать соотношение (33.24):tat = b · A,(33.24t )t∗∗где b ∈ P m , at ∈ P n .424Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Такой подход позволяет видоизменить утверждение предложения 33.2 о матрице двойственного линейного оператора: если координаты линейных форм записывать в строку и так же, по строкам,заполнять матрицу для двойственного оператора, то последняя окажется тождественной с матрицей исходного оператора.Замечание 33.3.
Ранг линейного оператора совпадает с рангомего матрицы, поэтому предложение 33.2 влечет равенство ранговданного оператора и двойственного к нему:rank(ϕ∗ ) = rank(At ) = rank(A) = rank(ϕ).(33.25)В то же время дефекты операторов ϕ и ϕ∗ , вообще говоря, различны, посколькуdfc(ϕ) = n − r,(33.26)аdfc(ϕ∗ ) = m − r,(33.27)где r = rank(ϕ).Замечание 33.4 (продолжение замечания 12.2). Во второй главе,в предложении 12.1 приводился список из 13 законов алгебры линейных операторов, в то время как для алгебры матриц (см. [A1 , п.
2.2])рассматривалось 17 законов. Последние четыре из них относилиськ алгебраической операции транспонирования матриц.В начальных параграфах настоящей главы мы познакомились сновым алгебраическим действием в алгебре линейных операторов —переходом к двойственному оператору ϕ 7→ ϕ∗ . Далее это действиебыло увязано с переходом A 7→ At к транспонированной матрице.В предложении 33.1 и в замечании 33.1 были фактически сформулированы "недостающие законы" алгебры операторов, соответствующие законам (xiv) — (xvii) алгебры матриц.Ниже они приводятся повторно, в форме, аналогичной соотношениям (i) — (xiii):ϕ(xiv ) ( ∀ V −→ W ) [ ϕ∗∗ = ϕ ] (при отождествлении V ∗∗ ≡ V );ϕ,ψ(xv ) ( ∀ V −−→ W ) [ (ϕ + ψ)∗ = ϕ∗ + ψ ∗ ];ϕ(xvi ) ( ∀ λ ∈ P ; V −→ W ) [ (λϕ)∗ = λ ϕ∗ ];ϕψ(xvii ) ( ∀ V −→ W −→ U ) [ (ψ ◦ ϕ)∗ = ϕ∗ ◦ ψ ∗ ].§ 33Двойственный оператор.
Теорема Фредгольма42533.3. Теорема Фредгольма. Еще одна встреча со шведскимматематиком Эриком Иваром Фредгольмом (1866 — 1927). Перваясостоялась в первом семестре; см. [A1 , п. 6.3]. Основным достижением Фредгольма считается развитие теории интегральных уравнений.Нам до этого еще учиться и учиться. То, что излагалось в первомпособии и касалось альтернативы Фредгольма, и то, что будет изложени ниже, в данном пункте, является конечномерным аналогомбесконечномерной теории.
Однако, по мнению автора, предварительное знакомство со сложной наукой в простейшей (элементарной)ситуации весьма полезно.Итак, рассмотрим линейный оператор ϕ, действующий из n-мерного линейного пространства V в m-мерное пространство W, а также — двойственный линейный оператор ϕ∗ , действующий из W ∗в V ∗ . Образы и ядра этих операторов оказываютя двойственнымидруг другу.Теорема 33.1 (теорема Фредгольма). Являются аннуляторамидруг друга:— образ оператора ϕ и ядро двойственного оператора ϕ∗ ;— ядро ϕ и образ ϕ∗ .Доказательство. Нам предстоит доказать две формулы:Im(ϕ) = (Ker(ϕ∗ ))◦(33.28)Ker(ϕ) = (Im(ϕ∗ ))◦ .(33.29)и1. Пусть y ∈ Im(ϕ), т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
