Н.И. Яцкин - Линейная алгебра (Теоремы и алгоритмы) (1109879), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Линейные формына конечномерном линейном пространстве.Двойственное линейное пространство31.1. Понятие линейной формы. Линейные формы не разуже "всплывали" (на ознакомительном уровне; см. примеры 1.11и 12.2, определение 13.3). Более того, в пособии [A1 ] (см. п. 48.4) рассматривались формы (однородные многочлены) произвольной степени, а линейные формы понимались как однородные многочлены(от нескольких переменных) степени единица. Ниже дается общее(абстрактное)Определение 31.1. Линейной формой на линейном пространстве V (над полем P ) называется линейное отображение из пространства V в поле P , рассматриваемое как линейное пространство надсамим собой.Замечание 31.1. В математике трудно отыскать объект, обладающий единственным, общепринятым наименованием.
Вот и линейныеформы называются (в различных разделах математики):— линейными функциями,— линейными функционалами,— ковекторами.Термин форма является специфическим для алгебры, он явно подчеркивает свойство однородности. Ниже мы убедимся в том, что вкоординатах линейные формы (в смысле определения 31.1) на конечномерных линейных пространствах задаются однородными линейными многочленами (в смысле определения 48.6 из [A1 ]).§ 31Линейные формы. Двойственное пространство397Термин функция является скорее аналитическим, и даже — общематематическим, знакомым "с детства" и — несколько обманчивым."Школьная" линейная функция f (x) = ax + b заслуживает такоеназвание (в строгом смысле линейной алгебры) только при b = 0.В противном случае (в рамках линейной алгебры) ее правильнее называть аффинной (или линейной неоднородной) функцией.Термин функционал является более "солидным" и "уважительным", характерным для функционального анализа, "бесконечномерной" науки, о предмете и задачах которой мы (вскользь) упоминалинеоднократно.
В старых учебниках по функциональному анализуфункционал определяли как "функцию на функциях", имея в виду, что значения этой функции суть скаляры, тогда как аргументможет сам быть функцией (или даже каким-то иным, нескалярнымобъектом).Термин ковектор специфичен для геометрии, а префикс ’ко-’ является сигналом о рассмотрении объектов двух типов, двойственныхдруг другу. (Кое-что на эту тему будет рассказано ниже. Однаковсе богатство понятия двойственности может раскрыться вам лишьв дальнейших, "продвинутых" разделах алгебры и геометрии.)Пример 31.1. Выбор произвольного базисаB = [ b1 , b2 , ... , bn ](31.1)в n-мерном линейном пространстве V (над полем P ) определяет наV набор из n линейных формβi : V −→ P ; βi (x) = xi , x =nXxi bi ∈ V.(31.2)i=1Форма βi (i = 1, ...
, n) сопоставляет произвольному вектору x ∈ Vего i-ю координату относительно базиса B.Полный набор таких форм составляет известный (см. п. 6.4) координатный изоморфизм:β : V −→ P n ; β(x) = x; x ∈ V.(31.3)Пример 31.2. В названных в начале данного пункта примерахрассматривалась линейная форма int[a,b] , заданная в примере 1.11 на(бесконечномерном) пространстве непрерывных функций C([a, b], R),398Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4а в примере 12.2 — на (также бесконечномерном) пространстве многочленов R[x] или на его (конечномерном) подпространстве Rn [x],и сопоставляющая функции (многочлену) f (x) определенный интеRbграл a f (x)dx.В определении 13.3 вводилось понятие следа квадратной матрицы,после чего устанавливалось, что функция tr : L(n, P ) → P являетсялинейной формой на пространстве квадратных матриц L(n, P ).31.2.
Матрица-строка и координатное выражение для линейной формы. Предположим, что линейное пространство V является конечномерным (размерности n), и зафиксируем в нем какойлибо базис (31.1). В поле P, рассматриваемом как одномерное пространство над самим собой, в качестве базисного можно выбратьлюбой ненулевой вектор, однако естественным считается выбор базисного вектора (фактически — скаляра), совпадающего с полевойединицей: E1 = [1].В п. 12.2 мы изучали понятие матрицы A [см. (12.9)] для линейного отображения ϕ : V → W относительно некоторых базисов Bи C в к.л.п. V и W соответственно.
В частном случае, когда второепространство W = P , матрица для линейной формыf :V →P(31.4)имеет всего одну строку, которую мы переобозначим следующим образом:A = at = (α1 α2 ... αn ),(31.5)гдеαj = f (bj ); j = 1, ... , n.(31.6)[В отличие от формулы (12.9), здесь не нужны черты, посколькуодномерные арифметические векторы естественно отождествляютсясо скалярами.]Определение 31.2. Строка (31.5) называется матрицей-строкой, отвечающей линейной форме f ∈ L(V, P ) в базисе (31.1) пространства V.Вспомним далее, что в общем случае действие линейного отображения y = ϕ(x) может быть выражено [см.
(12.28) и (12.32)] координатной формулой y = A · x. В случае линейной формы (31.4) эта§ 31Линейные формы. Двойственное пространство399формула приобретает вид:tf (x) = a · x =nXαj xj = α1 x1 + α2 x2 + ... + αn xn ,(31.7)j=1с коэффициентами, определяемыми формулами (31.6).Выражение (31.7) как раз и демонстрирует тот факт, что линейные формы "заслуживают свое название", т. е. представляются вкоординатах однородными многочленами первой степени.Пример 31.3.
Координатным формам (31.2) [см. пример 31.1]соответствуют единичные векторы-строки ei t .В примере 12.2 (см. также пример 31.2) фактически была вычислена матрица-строка для линейной формы int[a,b] на пространствемногочленов Rn [x].Попробуйте описать матрицу-строку для формы tr [см. (13.33)].(Для этого вам придется подвергнуть векторизации квадратную матрицу — аргумент этой формы.)31.3.
Понятие двойственного (сопряженного) линейногопространства. Двойственный (сопряженный) базисОпределение 31.3. Линейное пространство L(V, P ) всех линейных форм, заданных на линейном пространстве V, называется двойственным (или сопряженным) для пространства V . Используетсяобозначение:V ∗ = L(V, P ).(31.8)Замечание 31.2 (для служебного пользования). В отечественнойучебной литературе второй вариант названия употребляется болеешироко, нежели первый, который автору представляется предпочтительным (благодаря его большей выразительности, а также —с учетом чрезмерной перегрузки термина "сопряженный").Согласно общему результату о пространствах линейных отображений (см.
предложения 12.2), размерность двойственного пространства (31.8) равна размерности исходного пространства:dim(V ∗ ) = dim(L(V, P )) = 1 · n = n.(31.9)Следовательно, в силу теоремы 6.2 (об изоморфизме к.л.п.), двойственное пространство изоморфно исходному:V∗ ∼= V.(31.10)400Линейные, билинейные и квадратичные формыГл. 4Для конкретизации изоморфизма (31.10) в пространствах V и V ∗должны быть выбраны какие-либо базисы.В исходном пространстве базис (31.1) выбирается произвольно.Для двойственного пространства применяется общая конструкциябазиса в пространстве линейных операторов L(V, W ), описанная вупомянутом выше предложении 12.2: базис составляют линейныеоператоры εij (i = 1, ... m; j = 1, ...
, n), которые на векторы базиса Bдействуют по формулам [см. (12.12)]:εij (bk ) = δjk ci ; k = 1, ... , n,(31.11)где C = [c1 , ..., cm ] — базис, фиксированный в W , а δjk — символыКронекера.В данном случае: W = P, m = 1, и в качестве базиса C мы всегдабудем выбирать естественный базис E1 = [1]. Так что в соотношениях (31.11) первый индекс принимает лишь одно значение (i = 1) иc1 = 1; следовательно, этот индекс фактически не нужен. Вводитсяспециальное обозначение b∗j для линейной формы ε1j (j = 1, ..., n),после чего указанные соотношения приобретают вид:b∗j (bk ) = δjk ; j, k = 1, ...
, n.(31.12)Подчеркнем, что, в силу ОТЛО, линейные формы (как и всякиелинейные отображения) однозначно определяются своими значениями на базисных векторах. Следовательно, формулы (31.12) однозначно определяют b∗j ∈ V ∗ .Рассмотрим систему векторов в двойственном пространстве (т. е.систему линейных форм)B ∗ = [ b∗1 , b∗2 , ... , b∗n ],(31.13)являющуюся, по построению, базисом в V ∗ .Определение 31.3. Базис (31.13) в пространстве V ∗ называетсядвойственным (сопряженным) к базису B в пространстве V .Замечание 31.3.
Тот факт, что система форм (31.13), связанная сбазисом (31.1) сотношениями (31.12), является базисом в V ∗ , мы доказали с использованием ранее установленного общего факта. Можно провести независимое доказательство, использующее лишь формулы (31.12). Автор обращается к читателям с рекомендацией проделать это. Тогда вы гораздо более живо и осязаемо представитесебе линейные формы и их действие на векторы.§ 31Линейные формы. Двойственное пространство401Базисные формы b∗j действуют на произвольный вектор x ∈ Vследующим образом:b∗j (x) = b∗j (nXx i bi ) =i=1nXxi b∗j (bi ) =nXi=1xi δij = xj ,i=1или, в окончательном виде:b∗j (x) = xj ; j = 1, ... , n.(31.14)(Можно заметить, что предварительное знакомство с формами b∗jу нас состоялось в примере 31.1; там они имели "временное" обозначение βj .)Теперь мы располагаем базисами как в V , так и в V ∗ , и, возвращаясь к (31.10), можем задать конкретный изоморфизмιB : V −→ V ∗ ,(31.15)по принципу равенства координат:ιB (nXi=1xi bi ) =nXxi b∗i ;(31.16)i=1вектору x ∈ V сопоставляется форма ιB (x) ∈ V ∗ , имеющая в двойственном базисе B∗ такие же координаты, какие данный вектор имеет в базисе B.Замечание 31.4.∗ Будучи "конкретным", изоморфизм (31.15) зависит, тем не менее, от выбора базиса B.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
